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67. **Problema:** Quantos números de 9 dígitos podem ser formados usando os dígitos 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, permitindo repetições? 
 - **Resposta:** Há \( 7^9 = 1977326743 \) números possíveis. 
 - **Explicação:** Cada posição no número pode ser qualquer um dos 7 dígitos 
disponíveis. 
 
68. **Problema:** Em um grupo de 80 pessoas, quantos pares não ordenados de pessoas 
podem ser formados? 
 - **Resposta:** Há \( \binom{80}{2} = 3160 \) pares possíveis. 
 - **Explicação:** Escolha 2 pessoas de um grupo de 80. 
 
69. **Problema:** Quantos anagramas da palavra "ALGORITMOS" começam com a letra 
A? 
 - **Resposta:** O número de anagramas que começam com A é \( \frac{10!}{2!} \). 
 - **Explicação:** A palavra "ALGORITMOS" tem 10 letras com repetições de O. 
 
70. **Problema:** Qual é o número máximo de regiões que 80 linhas retas podem dividir o 
plano? 
 - **Resposta:** O número máximo de regiões divididas por 80 linhas é \( 1 + \frac{80 
\cdot 79}{2} = 3241 \). 
 - **Explicação:** Cada nova linha pode intersectar todas as linhas anteriores em 
pontos que adicionam novas regiões ao plano. 
 
71. **Problema:** Quantos números binários de 40 bits têm exatamente vinte bits 1? 
 - **Resposta:** O número de tais números binários é \( \binom{40}{20} = 137846528820 
\). 
 - **Explicação:** Escolha 20 posições dentre 40 para colocar bits 1, o resto será 0. 
 
72. **Problema:** Quantos anagramas diferentes podem ser formados usando todas as 
letras da palavra "PARADIGMÁTICO"? 
 - **Resposta:** O número de anagramas é \( \frac{12!}{3! \cdot 3!} \). 
 - **Explicação:** A palavra "PARADIGMÁTICO" tem 12 letras com repetições de A, I. 
 
73. **Problema:** Qual é o número máximo de regiões que 90 linhas retas podem dividir o 
plano? 
 - **Resposta:** O número máximo de regiões divididas por 90 linhas é \( 1 + \frac{90 
\cdot 89}{2} = 4006 \). 
 - **Explicação:** Cada nova linha pode intersectar todas as linhas anteriores em 
pontos que adicionam novas regiões ao plano. 
 
74. **Problema:** Quantos números de 12 dígitos podem ser formados usando os dígitos 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, permitindo repetições? 
 - **Resposta:** Há \( 7^{12} = 13841287201 \) números possíveis. 
 - **Explicação:** Cada posição no número pode ser qualquer um dos 7 dígitos 
disponíveis. 
 
75. **Problema:** Em um grupo de 95 pessoas, quantos pares não ordenados de pessoas 
podem ser formados? 
 - **Resposta:** Há \( \binom{95}{2} = 4465 \) pares possíveis. 
 - **Explicação:** Escolha 2 pessoas de um grupo de 95. 
 
76. **Problema:** Quantos anagramas da palavra "LINGUÍSTICA" começam com a letra 
L? 
 - **Resposta:** O número de anagramas que começam com L é \( \frac{11!}{2!} \). 
 - **Explicação:** A palavra "LINGUÍSTICA" tem 11 letras com repetições de I. 
 
77. **Problema:** Quantos números de 11 dígitos podem ser formados usando os dígitos 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, permitindo repetições? 
 - **Resposta:** Há \( 7^{11} = 96889010407 \) números possíveis. 
 - **Explicação:** Cada posição no número pode ser qualquer um dos 7 dígitos 
disponíveis. 
 
78. **Problema:** Em um grupo de 100 pessoas, quantos pares não ordenados de 
pessoas podem ser formados? 
 - **Resposta:** Há \( \binom{100}{2} = 4950 \) pares possíveis. 
 - **Explicação:** Escolha 2 pessoas de um grupo de 100. 
 
79. **Problema:** Quantos anagramas da palavra "COMPUTAÇÃO" começam com a letra 
C? 
 - **Resposta:** O número de anagramas que começam com C é \( \frac{10!}{2!} \).