Cálculo de Proposições

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Cálculo de Proposições 
 
Pergunta. O que significa “oração” na linguagem comum? Lembra-se 
de alguma constatação sobre “um verbo”? Há possibilidade de ter uma oração 
com 47 verbos? E quais são os sinônimos de “oração”? 
(Dicas. Apresente exemplos de vários tipos de frases: com sentido, sem 
sentido, que transmitem um claro recado possuindo apenas uma ou duas 
palavras, às vezes não tendo um verbo, expressões da linguagem particular... 
Só na base de dados concretos pode-se partir para umas generalizações.). 
A decisão de simplificação leva à seguinte definição usada na 
matemática: criamos duas gavetas, uma para constatações verdadeiras, outra 
para constatações falsas. O que couber nelas chamaremos de proposições – 
deste modo ficará claro que não estamos falando sobre as “orações da língua 
portuguesa”. Portanto trabalhamos só com as construções que não deixam 
dúvidas sobre a existência de objetos descritos, sobre sentido, sobre coringas 
(“variáveis”) e não se preocupamos como estabelecer a qual das gavetas uma 
constatação pertence. 
O conjunto de todas essas constatações denotamos por , o fato que a 
constatação está verdadeira destacamos usando a notação , 
para falsa escrevemos e podemos imediatamente partir para a 
próxima pergunta: 
 
Como descrever a construção de “negação” na linguagem formalizada 
da matemática? 
O que se nega? As proposições? Ótimo. E que tipo de objeto é uma 
proposição negada? É de novo uma proposição? Então como descrever a 
função “negação”? (Quer dizer: qual é o seu conjunto de partida? e de 
chegada?). 
A negação é uma função definida no conjunto de proposições, seus 
valores são também proposições e a sua atuação consiste em modificação do 
valor “verdade” ou “falso” de cada proposição. Notação formalizada: 
 
(A primeira linha descreve o nome do argumento e a listagem dos 
argumentos. A segunda – a notação do valor e a listagem dos valores 
correspondentes.). 
O que pode ser feito ainda quando só uma variável percorre o conjunto 
de proposições? Há outra função evidente, a que “não faz nada” – que a 
cada atribui o valor . Em sua opinião, qual seria o nome adequado para 
ela? Conhece o nome que ela de fato ganha na matemática? Consegue 
descrevê-la por meio de uma tabela parecida com a anterior? 
Pergunta. Há outras possíveis funções de 1 argumento lógico (isto é, 
que dependem de uma variável só)? 
Reformulação: é possível inventar outras tabelas de funções que levam 
o conjunto em ? 
Quantas? Como descobrir a quantidade sem de fato construí-las? Qual 
sentido elas teriam (quer dizer: há algum tipo de construção em língua 
portuguesa a qual tal função corresponderia?). 
Passamos agora a analisar as construções que envolvem duas 
proposições. Naturalmente a primeira delas é aquela que junta umas 
proposições usando a palavra “ou”. Isto é: a alternativa. 
Procure encontrar (por sua própria conta, sem a ajuda dos livros ou 
professores da Universidade) várias diferenças entre o cotidiano sentido de 
“alternativa” e este termo em suas aplicações matemáticas (que 
inevitavelmente você já viu com frequência). Só depois passe a analisar a 
questão: 
Como na lógica matemática define-se a “alternativa”? 
Alternativa é uma função que atribui a cada par de proposições uma 
nova proposição do modo que o valor lógico de proposição obtida pode dar 
“falso” somente se ambos os argumentos são falsos. Em uma notação 
formalizada: 
 
(Esta vez não faço uma listagem de todas as possíveis quatro 
configurações de argumentos e correspondentes valores que atribuo a eles. 
Uso uma notação mais sucinta, conhecida desde a 3ª serie de 1º grau – a de 
tabuada. Os pares de argumentos estão colocados em linhas e em colunas. Os 
obtidos valores encontram-se no cruzamento de adequada linha com adequada 
coluna.). 
Considere agora as seguintes funções: 
Conjunção Equivalência Equivalência 
 
 
 
 
 
Na vida real a mais importante de todas elas parece ser a implicação. 
Aqui vem a sua definição. 
Implicação 
 
Dependências entre as funções recém-introduzidas 
 
Logo vamos ver como são importantes as seguintes relações entre os 
nossos novos objetos – importantes, pois descrevem de modo excelente as 
ligações entre aquelas construções da língua natural que deram origem a 
nossas formalizações matematizadas. 
Leis de De Morgan (como negar uma alternativa ou uma conjunção): 
 
 
Como dizer “se... então...” não usando a palavra “se”, expressando a 
proposição em forma “ou... ou...”? 
 
Como negar a implicação? 
 
 
A lei de contraposição: 
 
Uma contradição: 
 
Uma tautologia (a lei do meio excluído): 
 
O essencial é compreender bem como divergem os sentidos da mesma 
palavra se ela aparece na nossa vida em dois sentidos: o costumeiro, adquirido 
no uso cotidiano da língua portuguesa e o novo sentido técnico, de 
formalização trazida de aula ou de um livro-texto. 
Espero que você lembre bem como divergem os sentidos de “oração” 
em português e “proposição” em “matematiquês”. Parece que não há graves 
divergências entre os sentidos da “negação”. Mas não é o caso da alternativa. 
Parece que na linguagem comum entende-se que 
 Alternativa é cada uma das duas opções que são conectadas pela 
palavra “ou” (quer dizer: em expressão “isso ou outro” temos duas 
alternativas); 
 As opções têm alguma conexão pelo sentido; 
 Com frequência as opções são excludentes (não se cogita que ambas as 
opções sejam realizadas simultaneamente); 
A formalização matemática trata a alternativa com um par das opções e 
nenhuma das demais exigências é imposta sobre as proposições que aparecem 
na alternativa. 
Quero destacar um fato, bastante indesejável. Observam-se com certa 
frequência que os profissionais apegam-se tanto ao sentido técnico de algum 
termo da sua gíria que passam de tratar com ironia os seus usos cotidianos. 
Vejo às vezes essa atitude no caso de alternativa – cada vez que alguém 
anuncia na TV “temos aqui duas alternativas” um matemático comenta 
maliciosamente: “ah, então são quatro possibilidades!”. 
 Admito que também eu tenha tentação de corrigir o estranho emprego 
daquele termo que uso em outra maneira no meu cotidiano matemático, mas 
um momento de reflexão calma força-me a reconhecer que não é um lugar 
adequado para bairrismos linguísticos. Uso diferente não significa uso pior. É 
apenas diferente – e completamente legítimo. E não compensa iniciar guerras 
santas em nome de diferenças em definições aceitas no seu ambiente. 
E quais são as diferenças entre os dois sentidos – costumeiro e 
formalizado – no caso de conjunção? Na linguagem comum aqui também se 
espera que há alguma ligação entre os sentidos das proposições (a conjunção 
“vou cruzar a rua e Camões escreveu em português” não seria aceita 
pacificamente por maioria de pessoas). Mas, além disso, surge outro elemento 
complicador: juntando duas proposições em uma por meio da palavra “e” 
criamos uma narrativa que está assentada no tempo e compreendemos (sem 
mencionar esse fato) que a primeira parte da conjunção acontece antes da 
segunda; portanto a conjunção “cotidiana” não é bem comutativa; o meu 
exemplo preferido é a diferença no tamanho do prato no caso das expressões 
“nos almoçamos e João veio” e “João veio e nos almoçamos”. 
De novo: a versão da palavra aceita matematicamente é imune a essas 
nuanças: a tabela que define a conjunção tem uma visível simetria com 
respeito a diagonal – portanto a comutatividade é garantida pela construção da 
função (a troca da sequência de argumentos não afeta o valor da função) e não 
se menciona exigência qualquer sobre o conteúdo das proposições que estão 
sendo juntadas. 
Mas a construção que traz as maiores dificuldades conceituais é a 
função implicação. As dificuldades de negar, reformular ou desaprovar uma 
implicação são bem conhecidas e muito significativas. Indicam-nas que a 
palavra “então”, apesar de parecer inocente, tem muito conteúdo bastante 
complexo.(Quem sabe se não é uma das mais importantes palavras na 
ciência?) O seu trabalho vai ser mais simples se você guardar na memória o 
fato seguinte: 
O valor da implicação 
Não se refere à tese 
Mas à qualidade técnica do caminho. 
 
Isto é: os raciocínios hipotéticos, aqueles “experimentos virtuais” da 
ciência, não giram ao redor da validade ou falsidade da tese. No trabalho com 
uma expressão da forma não se procura comprovar mas conferir se 
existe um caminho que liga com . Do mesmo jeito como no caso de 
alternativa, não importa para nós o “sentido” ou “significado” das 
proposições.