EGC09N - 10 Flexão composta em elementos de madeira - 14 mai 2024 (5)

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Centro Universitário UniOpet
Bacharelado em Engenharia Civil – Estruturas de Madeira
Prof. Vinícius Hanser de Souza
Aula 11
Vigas –Flexão simples (Parte 03)
(30/04/2024)
Disciplina de Estruturas de Madeira
• Entrega questão ENADE até sábado (04/05).
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Aula 13
Flexão composta, e compressão simples 
em peças de madeira: Peças curtas e 
medianamente esbeltas (14/05/2024)
Disciplina de Estruturas de Madeira
• Flexão composta em peças de madeira;
• Compressão simples em peças de madeira;
• Revisão de flambagem.
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Tipos de flexão em elementos estruturais
• Flexão simples;
• Flexão oblíqua;
• Flexão composta:
✓Flexo-tração;
✓Flexo-compressão.
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𝐿𝒛
𝒙𝒒𝒛
𝒒𝒚
Flexão oblíqua
Carregamentos transversais à viga, tanto no 
eixo z, quanto no eixo y (ambos da seção 
transversal). Ex.: cargas 𝑞𝑧 e 𝑞𝑦.
Flexão simples
É o caso simplificado da flexão oblíqua, pois 
existe somente o carregamento transversal 
em um dos eixos da seção transversal.
Ex.: somente carga 𝑞𝑦.
Flexão composta
Carregamentos transversais ao 
elemento estrutural, tanto no eixo z, 
quanto no eixo y (ambos da seção 
transversal), em conjunto com a 
existência de esforço normal (tração ou 
compressão) ao longo do eixo 
longitudinal. Ex.: cargas 𝑞𝑧 e 𝑞𝑦 em 
conjunto à carga 𝑃𝑥.
𝑷𝒙
𝑷𝒙
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Flexão composta
• A força normal pode ficar excêntrica em 
relação aos dois eixos da seção.
• Ou seja, ela irá gerar dois momentos 
fletores solicitantes. Desta forma, os 
momentos iniciais das verificações de 
estabilidade ou de resistência não são 
nulos!
• Lembre-se de que os momentos fletores 
podem ser originados também por 
carregamentos distribuídos (em vigas). 
Para vigas biapoiadas:
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Mzd = Nd. ez Myd = Nd. ey
ez
ey
𝑧
𝑧
Mzd
Myd
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𝑦
Nd
Nd
𝑥
𝑦
Mzd =
qy. L
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Myd =
qz. L
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Flexão composta
• São duas verificações: resistência e estabilidade.
• Critério de estabilidade: classificação conforme o índice de esbeltez (λ):
✓ Peças curtas: 0 ≤ λ ≤ 40
✓ Peças medianamente esbeltas: 40 < λ ≤ 80
✓ Peças esbeltas: 80 < λ ≤ 140
• A NBR-7190 (2022) não permite o uso de peças de madeira sujeitas à 
compressão ou flexocompressão com índice de esbeltez maior que 140 
(λ > 140).
• Dependendo dos tipos de classificação, as verificações estruturais são 
diferentes. Lembrando que: no caso em que existem momentos fletores 
aplicados (solicitantes) → (Mzd e Myd), devem-se verificar ambos os 
eixos (Z e Y) quanto à estabilidade!
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λy =
Lfl,y
iy
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Flexo-compressão composta:
(1) Resistência
• Para as solicitações reais na peça, deve-se verificar a resistência da 
madeira usando as duas equações abaixo.
• São equações diferentes! Acopla-se o efeito de tensão normal 
causada por carga centrada, ao efeito de flexão oblíqua, que 
considera a variação do coeficiente km.
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σMz,d
fc0d
+ km.
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≤ 1
σNd
fc0d
2
+ km.
σMz,d
fc0d
+
σMy,d
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≤ 1
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• Pela sobreposição de efeitos e devido à 
propriedade anisotrópica da madeira, 
pode-se incluir um parâmetro 𝑘𝑚:
𝑘𝑚 = 0,7 (seções retangulares)
𝑘𝑚 = 1,0 (outras seções)
• Neste caso, as tensões 𝜎𝑀𝑧,𝑑 e 𝜎𝑀𝑦,𝑑
devem corresponder a tensões de 
compressão.
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σMz,d
fc0d
+ km.
σMy,d
fc0d
≤ 1
σNd
fc0d
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+ km.
σMz,d
fc0d
+
σMy,d
fc0d
≤ 1
Flexo-compressão composta:
(1) Resistência Z
g
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Flexo-compressão composta:
(2) Estabilidade
• A verificação recai nos casos vistos em compressão simples, 
levando-se sempre em conta se há momentos fletores aplicados 
em cada eixo (M1d,z e M1d,y).
✓Peças curtas: 0 ≤ λ ≤ 40
✓Peças medianamente esbeltas: 40 < λ ≤ 80
✓Peças esbeltas: 80 < λ ≤ 140
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Flambagem vs. Compressão
• Em peças sujeitas à compressão 
simples, a ruptura irá ocorrer:
✓Quando a tensão solicitante for 
maior que a tensão resistente:
❖σc0d > fc0d
✓Quando ocorrer uma instabilidade 
no elemento comprimido 
(FLAMBAGEM), rompendo com uma 
tensão menor que a de resistência.
• Portanto, peças que estejam sujeitas 
a cargas normais de compressão
podem sofrer flambagem!
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Flambagem
• Fatores que influenciam na flambagem:
✓Força aplicada;
✓Material da estrutura (neste caso, madeira);
✓Seção transversal (propriedades como área e inércia);
✓Comprimento da barra;
✓Apoios e travamentos ao longo
do elemento estrutural.
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Flambagem: Interferência dos Apoios
• Análise de apoios e 
travamentos.
• A análise se dá 
sempre observando 
a tendência de giro 
ao redor de algum 
eixo.
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Lfl,z = Kfl,z Lg,z
Lfl,y = Kfl,y Lg,y
Plano xy Plano xz
z-z
z
z
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Flambagem
• A classificação das peças sujeitas à flambagem se dá por meio do índice 
de esbeltez (λ), nos dois eixos da seção transversal.
• Para o caso da compressão simples (só carga centrada), a flambagem 
ocorrerá primeiramente no eixo que possui o maior índice de esbeltez.
• Porém, para os casos em que há momento fletor aplicado (flexão 
composta), devem ser verificados os 2 eixos da seção transversal.
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λz =
Lfl,z
iz
λy =
Lfl,y
iy
iz =
Iz
A
iy =
Iy
A
𝑧
𝑦
Iz =
nm3
12 𝑛
𝑚
Iy =
mn3
12
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Verificações: Resumo
• Em peças com esforço normal de compressão, sempre existirão2 
verificações necessárias: resistência e estabilidade.
• Porém, quando se trata de compressão simples, a verificação de 
resistência acaba coincidindo com a verificação de estabilidade 
(acaba virando 1 verificação única).
✓O “fato gerador” de ter que verificar a estabilidade já é a própria 
compressão simples!
• Geralmente as peças de madeira sempre sofrerão flexão (seja ela: 
simples, oblíqua ou composta).
✓Só o fato de existir a carga normal, já leva a flexão ser composta.
✓Se existe uma carga normal de compressão, tem que ser verificada a 
flambagem.
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Esbeltez relativa
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5.8.7 →
Caso λrel,z ≤ 0,3 e λrel,y ≤ 0,3
não há a necessidade de verificar
a estabilidade (peça ok!)
Em z: λrel,z =
λz
π
.
fc0k
E0,05
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(2) Estabilidade!
• Caso a esbeltez relativa seja maior que 0,3 em qualquer uma das 
direções, a peça tem que ser verificada à estabilidade!
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Caso λrel,z > 0,3 e/ou λrel,y > 0,3:
σNd
𝐤𝐜𝐳. fc0d
2
+
σMz,d
fc0d
+ km.
σMy,d
fc0d
≤ 1
σNd
𝐤𝐜𝐲. fc0d
2
+ km.
σMz,d
fc0d
+
σMy,d
fc0d
≤ 1
𝛽𝑐 é um fator corretor devido
ao alinhamento das peças (processo produtivo):
• 𝛽𝑐 = 0,2 (peças serradas e roliças)
• 𝛽𝑐 = 0,1 (madeira lamelada e madeira laminada)
kcz =
1
kz + kz 2 − λrel,z
2
kz = 0,5 . 1 + βc. λrel,z − 0,3 + λrel,z
2
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Exercício 16
• Verificar a condição de segurança da
barra de madeira flexo-comprimida,
indicada na figura.
✓ E.L.U. = Combinação normal.
✓ Critério da NBR-7190/2022.
✓Dimensões em centímetros.
✓Madeira conífera C-45, de espécie plantada com 
homogeneidade identificada em ensaios estruturais;
✓ Esforços atuantes e excentricidades:
❖NGk = 20 kN (permanente);
❖ eyg = 7,5 cm (permanente);
❖MQzk = 250 kN. cm (sobrecarga, de longa duração).
✓Vínculos nos extremos da barra:
❖ Ponto 1: indeslocável em torno dos dois eixos (Z e Y).
❖ Ponto 2: indeslocável em torno dos dois eixos (Z e Y).
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𝐌𝐐𝐳𝐤
𝐌𝐐𝐳𝐤
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Classificação das resistências
• Espécies nativas sem defeitos
• Espécies plantadas, sem homogeneidade, com teste
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Classificação das resistências
• Espécies plantadas, com homogeneidade, com teste
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Classificação das resistências
• Espécies plantadas, com homogeneidade, com teste
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(parte 2)
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Classificação das resistências
• Espécies plantadas, com homogeneidade, com teste
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(parte 3)
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Resistências de projeto -𝒌𝒎𝒐𝒅𝟏
• Coeficiente dependente do tempo de carregamento da carga 
variável, definida na combinação de ações, e do tipo da madeira 
utilizada na estrutura.
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Resistências de projeto -𝒌𝒎𝒐𝒅𝟐
• Coeficiente dependente do grau de umidade da madeira e da 
umidade relativa do ambiente, e do tipo da madeira utilizada na 
estrutura. Considera o efeito ambiental de exposição da madeira.
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Aula 14
Assessoria a dúvidas da lista de 
exercícios (21/05/2024)
Disciplina de Estruturas de Madeira
• Compressão e flambagem em peças de madeira (peças curtas, peças medianamente esbeltas e peças esbeltas)
• Assessoria em sala de aula no dia 21/05/2024, para dúvidas;
• Entrega de lista de exercícios até 23/05/2024 – vale 1,5 pontos da média! Não é exercício extra (é obrigatório).
• Entregar o memorial descritivo conforme procedimento padrão da disciplina!
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Exercício A: Peça curta
• Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, 
medindo 5x5cm, indicada na figura, quanto à compressão simples.
• Dados:
✓Espécie nativa sem defeitos, com
ensaio de resistência: classe D40;
✓Dimensões em centímetros;
✓Cargas:
❖RGk = ver tabela (permanente);
❖RQk = 15 kN (sobrecarga de longa duração).
✓Umidade do ar: 62%.
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Exercício B:
Peça medianamente esbelta
• Verificar a condição de segurança
da peça comprimida de madeira,
conforme indicada na figura,
quanto submetida ao esforço
de compressão Nk.
• Dados:
✓Espécie nativa sem defeitos, com ensaio de resistência: classe D60;
✓Dimensões em centímetros;
✓Cargas:
❖NGk = ver tabela (permanente);
❖NQk = 20 kN (sobrecarga de longa duração).
✓Umidade do ar: 62%.
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Exercício C: Peça esbelta
• Verificar a condição de segurança da barra de 
madeira comprimida, indicada na figura.
✓E.L.U. = Combinação normal.
✓Critério da NBR-7190/2022.
✓Dimensões em centímetros.
✓Espécie nativa sem defeitos, com ensaio de
resistência: classe C35;
✓Esforços atuantes:
❖NGk = ver tabela (permanente);
❖NQk = 30 kN (sobrecarga, de longa duração).
✓Vínculos nos extremos da barra:
❖Ponto 1: indeslocável em torno dos dois eixos (Z e Y).
❖Ponto 2: deslocável em torno do eixo Y (plano XZ).
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Exercício D
• Verificar a condição de segurança da 
barra de madeira, flexo-comprimida, 
indicadas nas figuras.
✓E.L.U. = Combinação normal.
✓Critério da NBR-7190/2022.
✓Dimensões em centímetros.
✓Madeira CEDRO DOCE.
✓Esforços atuantes:
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Nk = NGk + NQk ;
NGk = 5 kN (permanente)
NQk = 10 kN (vento de sobrepressão);
Mx = MGXk = 150 kN. cm (permanente)
MY = MQYk = 120 kN. cm (vento de sobrepressão)
Centro Universitário UniOpet
Bacharelado em Engenharia Civil – Estruturas de Madeira
Prof. Vinícius Hanser de Souza
Cargas por aluno (em kN)
Matrícula
Carga 
Exercício A
Carga 
Exercício B
Carga 
Exercício C
1101500696 2,3 10,1 9,2
1101500751 3,8 10,6 12,4
1101600892 2,2 8,8 12,4
1101701046 4,7 10,5 9,6
1101800363 4,2 7,9 9,8
1101800669 2,4 7,6 10,8
1102000140 4,8 7,4 11,9
1102000263 3,1 11 10,7
1102000407 2,3 8,8 12,9
1102000453 4,7 10,8 12,1
1102000559 2,1 9,5 12,9
1102000624 3,2 10,7 11,1
1102000951 2,6 8,1 12,1
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