Cinemática Movimento Multidimensional Exemplo Proposto 7 - Problema Inverso (Solução) (1)

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Cinemática: Movimento multidimensional.
Exemplo Proposto 7 - Problema Inverso - Solução.
O vetor aceleração instantânea de uma partícula é dado por �!a (t) = �tbi � 5t4bj. Considere as condições �!v (t =
2) = �bi e �!r (t = 0) = bj. Neste cenário, calcule:
(a) A expressão para �!v (t).
(b) A expressão para �!r (t).
Uma vez resolvidas as letras (a) e (b) acima, considere t1 = 1 e t2 = 3. Neste cenário, calcule*:
(c) O vetor posição para t = 2.
(d) O vetor velocidade instantânea para t = 0.
(e) O vetor deslocamento.
(f) O vetor velocidade média.
(g) O vetor aceleração média.
*A serem resolvidas pelos alunos conforme os exemplos já estudados!
Resolução das letras (a) e (b).
(a) Para calcularmos a expressão para o vetor velocidade instantânea, partimos da de�nição do vetor aceleração
instantânea, i.e.
�!a (t) = d
dt
�!v (t), (1)
a qual pode ser reescrita como
ax(t)bi+ ay(t)bj = d
dt
�
vx(t)bi+ vy(t)bj� , (2)
ou
ax(t)bi+ ay(t)bj = dvx
dt
bi+ dvy
dt
bj, (3)
na qual vx = vx(t) e vy = vy(t). Neste caso,
�!v (t) = vx(t)bi+ vy(t)bj é o vetor a ser calculado.
A seguir, multiplicamos ambos os lados da Equação (3) por dt. Assim, obtemos
ax(t)bidt+ ay(t)bjdt = dvxbi+ dvybj, (4)
ou
dvxbi+ dvybj = ax(t)bidt+ ay(t)bjdt. (5)
Agora, integramos ambos os lados da Eq. (5), i.e.Z
dvxbi+ Z dvybj = Z ax(t)bidt+ Z ay(t)bjdt. (6)
É importante observar que a expressão para �!a (t) está contida no enunciado. Assim, substituindo �!a (t) = �tbi�5t4bj
(i.e. ax(t) = �t e ay(t) = �5t4) na Eq. (6), resultaZ
dvxbi+ Z dvybj = Z (�t)bidt+ Z �
�5t4
�bjdt, (7)
ou biZ dvx + bjZ dvy = �biZ tdt� 5bjZ t4dt. (8)
Os resultados das integrais inde�nidas sãoZ
dvx = vx + C1x e
Z
dvy = vy + C1y , (9)
1
Z
tdt =
1
2
t2 + C2x e
Z
t4dt =
1
5
t5 + C2y , (10)
nas quais C1x , C1y , C2x e C2y são constantes de integração.
Assim, substituindo os resultados mostrados em (9) e (10) na Eq. (8), obtemos
bi (vx + C1x) + bj �vy + C1y� = �bi�12 t2 + C2x
�
� 5bj �1
5
t5 + C2y
�
, (11)
a qual pode ser rearranjada como
vx(t)bi+ vy(t)bj| {z }
=�!v (t)
= �1
2
t2bi+ (�C2x � C1x)| {z }
=C3x
bi� t5bj + ��5C2y � C1y�| {z }
=C3y
bj, (12)
ou
�!v (t) =
�
�1
2
t2 + C3x
�bi+ ��t5 + C3y�bj, (13)
na qual utilizamos as rede�nições C3x = �C2x � C1x e C3y = �5C2y � C1y .
Precisamos ainda descobrir quais são os valores das constantes C3x e C3y . Para isso, utilizamos a primeira condição
(i.e. �!v (t = 2) = �bi, contida no enunciado) conforme exempli�cado abaixo.
Ao calcularmos �!v (t = 2) a partir de nossa Eq. (13), obtemos
�!v (t = 2) =
�
�1
2
:22 + C3x
�bi+ ��25 + C3y�bj ! �!v (t = 2) = (�2 + C3x)bi+ ��32 + C3y�bj, (14)
e, ao compararmos esse resultado com a condição �!v (t = 2) = �bi (obtida do enunciado), resulta
�!v (t = 2) = �!v (t = 2)! (�2 + C3x)bi+ ��32 + C3y�bj = �bi+ 0bj, (15)
a partir da qual obtemos as equações
�2 + C3x = �1 e � 32 + C3y = 0, (16)
cujas soluções são
C3x = 1 e C3y = 32, (17)
i.e., os valores das constantes C3x e C3y .
Finalmente, substituindo C3x = 1 e C3y = 32 na Eq. (13), obtemos
�!v (t) =
�
�1
2
t2 + 1
�bi+ ��t5 + 32�bj, (18)
i.e. a expressão para o vetor velocidade instantânea (a resposta da letra (a)).
(b) Para calcularmos a expressão para o vetor posição, partimos da de�nição do vetor velocidade instantânea, i.e.
�!v (t) = d
dt
�!r (t), (19)
a qual pode ser reescrita como
vx(t)bi+ vy(t)bj = d
dt
�
x(t)bi+ y(t)bj� , (20)
ou
vx(t)bi+ vy(t)bj = dx
dt
bi+ dy
dt
bj, (21)
na qual x = x(t) e y = y(t). Neste caso, �!r (t) = x(t)bi+ y(t)bj é o vetor a ser calculado.
A seguir, multiplicamos ambos os lados da Equação (21) por dt. Assim, obtemos
vx(t)bidt+ vy(t)bjdt = dxbi+ dybj, (22)
2
ou
dxbi+ dybj = vx(t)bidt+ vy(t)bjdt. (23)
Agora, integramos ambos os lados da Eq. (23), i.e.Z
dxbi+ Z dybj = Z vx(t)bidt+ Z vy(t)bjdt. (24)
É importante observar que a expressão para �!v (t) foi calculada como resposta da letra (a), vide a Eq. (18). Assim,
substituindo �!v (t) =
�
� 1
2 t
2 + 1
�bi+ ��t5 + 32�bj (i.e. vx(t) = � 1
2 t
2 + 1 e vy(t) = �t5 + 32) na Eq. (24), resultaZ
dxbi+ Z dybj = Z �
�1
2
t2 + 1
�bidt+ Z �
�t5 + 32
�bjdt, (25)
ou biZ dx+ bjZ dy = �1
2
biZ t2dt+biZ dt� bjZ t5dt+ 32bjZ dt. (26)
Os resultados das integrais inde�nidas sãoZ
dx = x+ C4x e
Z
dy = y + C4y , (27)Z
t2dt =
1
3
t3 + C5x e
Z
dt = t+ C6x , (28)Z
t5dt =
1
6
t6 + C5y e
Z
dt = t+ C6y , (29)
na quais C4x , C4y , C5x , C5y , C6x e C6y são constantes de integração.
Assim, substituindo os resultados mostrados em (27), (28) e (29) na Eq. (26), obtemos
bi (x+ C4x) + bj �y + C4y� = �12bi
�
1
3
t3 + C5x
�
+bi (t+ C6x)� bj �16 t6 + C5y
�
+ 32bj �t+ C6y� , (30)
a qual pode ser rearranjada como
x(t)bi+ y(t)bj| {z }
=�!r (t)
=
�
�1
6
t3 + t
�bi+ ��1
2
C5x + C6x � C4x
�
| {z }
=C7x
bi+ ��1
6
t6 + 32t
�bj + ��C5y + 32C6y � C4y�| {z }
=C7y
bj, (31)
ou
�!r (t) =
�
�1
6
t3 + t+ C7x
�bi+ ��1
6
t6 + 32t+ C7y
�bj, (32)
na qual utilizamos as rede�nições C7x = � 1
2C5x + C6x � C4x e C7y = �C5y + 32C6y � C4y .
Precisamos ainda descobrir quais são os valores das constantes C7x e C7y . Para isso, utilizamos a segunda condição
(i.e. �!r (t = 0) = bj, contida no enunciado) conforme exempli�cado abaixo.
Ao calcularmos �!r (t = 0) a partir de nossa Eq. (32), obtemos
�!r (t = 0) =
�
�1
6
:03 + 0 + C7x
�bi+ ��1
6
:06 + 32:0 + C7y
�bj ! �!r (t = 0) = C7xbi+ C7ybj, (33)
e, ao compararmos esse resultado com a condição �!r (t = 0) = bj (obtida do enunciado), resulta
�!r (t = 0) = �!r (t = 0)! C7xbi+ C7ybj = 0bi+ bj, (34)
cujas soluções são
C7x = 0 e C7y = 1, (35)
i.e., os valores das constantes C7x e C7y .
Finalmente, substituindo C7x = 0 e C7y = 1 na Eq. (32), obtemos
�!r (t) =
�
�1
6
t3 + t
�bi+ ��1
6
t6 + 32t+ 1
�bj, (36)
i.e. a expressão para o vetor posição (a resposta da letra (b)).
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