Cinemática Movimento Multidimensional Exemplo Proposto 5 - Problema Direto (Solução) (1)

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Cinemática: Movimento multidimensional.
Exemplo Proposto 5 - Problema Direto - Solução.
O vetor posição de uma partícula é dado por �!r (t) =
�
t4 + 1
�bi � 3t3bj. Considere t1 = 2 e t2 = 4. Neste cenário,
calcule:
(a) O vetor deslocamento.
(b) O vetor velocidade média.
(c) O vetor velocidade instantânea.
(d) O vetor velocidade instantânea para t = 1.
(e) O vetor aceleração média.
(f) O vetor aceleração instantânea.
(g) O vetor aceleração instantânea para t = 1.
Solução.
(a) O vetor deslocamento é de�nido por
��!r = �!r2 ��!r1 , (1)
onde �!r1 = �!r (t = t1) é o vetor posição inicial e �!r2 = �!r (t = t2) é o vetor posição �nal. Estes vetores são calculados a
seguir, i.e. (utilizamos a expressão para �!r (t) e valores de t1 = 2 e t2 = 4 contidos no enunciado)
�!r1 = �!r (t = 2) =
�
24 + 1
�bi� 3:23bj = 17bi� 24bj e �!r2 = �!r (t = 4) =
�
44 + 1
�bi� 3:43bj = 257bi� 192bj. (2)
Assim, substituindo os resultados para �!r1 e �!r2 mostrados em (2) na Eq. (1), obtemos
��!r = �!r2 ��!r1 =
�
257bi� 192bj�� �17bi� 24bj� , (3)
a qual pode ser rearranjada como
��!r = (257� 17)bi+ (24� 192)bj, (4)
cujo resultado é
��!r = 240bi� 168bj, (5)
i.e. a resposta da letra (a).
(b) O vetor velocidade média é de�nido por
�!vm =
��!r
�t
, (6)
na qual ��!r é o vetor deslocamento (calculado como resposta ao item anterior, vide a Eq. (5)) e �t = t2 � t1 (a ser
calculado conforme dados contidos no enunciado, i.e. t1 = 2 e t2 = 4).
Assim, obtemos
�!vm =
��!r
�t
=
1
�t
��!r = 1
t2 � t1
��!r = 1
4� 2
�
240bi� 168bj� , (7)
ou seja
�!vm =
1
2
�
240bi� 168bj� = 240
2
bi� 168
2
bj, (8)
cujo resultado é
�!vm = 120bi� 84bj, (9)
i.e. a resposta da letra (b).
(c) O vetor velocidade instantânea é de�nido por
�!v (t) = d
dt
�!r (t), (10)
na qual deve ser utilizada a expressão para �!r (t) contida no enunciado, i.e. �!r (t) =
�
t4 + 1
�bi� 3t3bj.
1
Neste caso, obtemos
�!v (t) = d
dt
�!r (t) = d
dt
��
t4 + 1
�bi� 3t3bj� = d
dt
��
t4 + 1
�bi�+ d
dt
�
�3t3bj� , (11)
a qual pode ser rearranjada como
�!v (t) = d
dt
��
t4 + 1
�bi�+ d
dt
�
�3t3bj� = bi d
dt
�
t4 + 1
�
� 3bj d
dt
�
t3
�
= bi:4t3 � 3bj:3t2, (12)
ou
�!v (t) = 4t3bi� 9t2bj, (13)
i.e. a resposta da letra (c).
(d) O vetor velocidade instantânea para t = 1 é calculado diretamente a partir da Eq. (13), a saber
�!v (t = 1) = 4:13bi� 9:12bj = 4bi� 9bj, (14)
i.e. a resposta da letra (d).
(e) O vetor aceleração média é de�nido por
�!am =
��!v
�t
, (15)
na qual ��!v = �!v2 ��!v1 , onde �!v1 = �!v (t = t1) é o vetor velocidade inicial e �!v2 = �!v (t = t2) é o vetor velocidade �nal.
Estes vetores são calculados a seguir, i.e. (utilizamos a expressão para �!v (t) obtida como resposta à letra (c), vide a
Eq. (13), e também os valores de t1 = 2 e t2 = 4 contidos no enunciado)
�!v1 = �!v (t = 2) = 4:23bi� 9:22bj = 32bi� 36bj e �!v2 = �!v (t = 4) = 4:43bi� 9:42bj = 256bi� 144bj, (16)
a partir dos quais obtemos
��!v = �!v2 ��!v1 =
�
256bi� 144bj�� �32bi� 36bj� , (17)
a qual pode ser rearranjada como
��!v = (256� 32)bi+ (36� 144)bj, (18)
cujo resultado é
��!v = 224bi� 108bj. (19)
Assim, obtemos o vetor aceleração média como (vide a Eq. (15))
�!am =
��!v
�t
=
1
�t
��!v = 1
t2 � t1
��!v = 1
4� 2
�
224bi� 108bj� , (20)
ou seja
�!am =
1
2
�
224bi� 108bj� = 224
2
bi� 108
2
bj, (21)
cujo resultado é
�!am = 112bi� 54bj, (22)
i.e. a resposta da letra (e).
(f) O vetor aceleração instantânea é de�nido por
�!a (t) = d
dt
�!v (t), (23)
na qual deve ser utilizada a expressão para �!v (t) obtido como resposta à letra (c), i.e. �!v (t) = 4t3bi� 9t2bj, vide a Eq.
(13).
Neste caso, obtemos
�!a (t) = d
dt
�!v (t) = d
dt
�
4t3bi� 9t2bj� = d
dt
�
4t3bi�+ d
dt
�
�9t2bj� , (24)
2
a qual pode ser rearranjada como
�!a (t) = d
dt
�
4t3bi�+ d
dt
�
�9t2bj� = 4bi d
dt
�
t3
�
� 9bj d
dt
�
t2
�
= 4bi:3t2 � 9bj:2t1, (25)
ou
�!a (t) = 12t2bi� 18tbj, (26)
i.e. a resposta da letra (f).
(g) O vetor aceleração instantânea para t = 1 é calculado diretamente a partir da Eq. (26), a saber
�!a (t = 1) = 12:12bi� 18:1bj = 12bi� 18bj, (27)
i.e. a resposta da letra (g).
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