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209. **Problema:** Qual é o volume da maior esfera que pode ser inscrita em um cubo de 
volume \( 512 \) unidades cúbicas? 
 - **Resposta:** O volume da maior esfera é \( \frac{512}{3\sqrt{3}} \) unidades cúbicas. 
 - **Explicação:** Relacione o volume do cubo com o da esfera para encontrar o raio. 
 
210. **Problema:** Se \( \sin 3x = \cos 2x \), determine todos os valores de \( x \) no 
intervalo \( [0^\circ, 360^\circ] \). 
 - **Resposta:** \( x = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 270^\circ, 330^\circ \). 
 - **Explicação:** Utilize identidades trigonométricas para resolver a equação. 
 
211. **Problema:** Determine o valor de \( \log_{10}(2x+1) + \log_{10}(2x-1) = 1 \), 
determine \( x \). 
 - **Resposta:** \( x = 2 \). 
 - **Explicação:** Resolva a equação logarítmica utilizando as propriedades dos 
logaritmos. 
 
212. **Problema:** Determine a soma dos coeficientes do polinômio \( (1 + x)^{10} \). 
 - **Resposta:** A soma dos coeficientes é \( 2^{10} = 1024 \). 
 - **Explicação:** A soma dos coeficientes de \( (1 + x)^{10} \) é obtida substituindo \( x = 
1 \). 
 
213. **Problema:** Qual é o valor de \( \cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 
70^\circ \)? 
 - **Resposta:** \( \cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1}{8} \). 
 - **Explicação:** Utilize identidades trigonométricas para simplificar a expressão. 
 
214. **Problema:** Se \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} \), prove que \( 
\frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = \frac{1}{2} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aplique a condição dada para obter a igualdade. 
 
215. **Problema:** Determine o valor de \( \sqrt{16 + 2\sqrt{63}} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{16 + 2\sqrt{63}} = 3 \). 
 - **Explicação:** Encontre valores para os quais a expressão seja igual a 3. 
 
216. **Problema:** Qual é o volume da maior esfera que pode ser inscrita em um cubo de 
volume \( 512 \) unidades cúbicas? 
 - **Resposta:** O volume da maior esfera é \( \frac{512}{3\sqrt{3}} \) unidades cúbicas. 
 - **Explicação:** Relacione o volume do cubo com o da esfera para encontrar o raio. 
 
217. **Problema:** Se \( \sin 3x = \cos 2x \), determine todos os valores de \( x \) no 
intervalo \( [0^\circ, 360^\circ] \). 
 - **Resposta:** \( x = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 270^\circ, 330^\circ \). 
 - **Explicação:** Utilize identidades trigonométricas para resolver a equação. 
 
218. **Problema:** Determine o valor de \( \log_{10}(2x+1) + \log_{10}(2x-1) = 1 \), 
determine \( x \). 
 - **Resposta:** \( x = 2 \). 
 - **Explicação:** Resolva a equação logarítmica utilizando as propriedades dos 
logaritmos. 
 
219. **Problema:** Determine a soma dos coeficientes do polinômio \( (1 + x)^{10} \). 
 - **Resposta:** A soma dos coeficientes é \( 2^{10} = 1024 \). 
 - **Explicação:** A soma dos coeficientes de \( (1 + x)^{10} \) é obtida substituindo \( x = 
1 \). 
 
220. **Problema:** Qual é o valor de \( \cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 
70^\circ \)? 
 - **Resposta:** \( \cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1}{8} \). 
 - **Explicação:** Utilize identidades trigonométricas para simplificar a expressão. 
 
221. **Problema:** Se \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} \), prove que \( 
\frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = \frac{1}{2} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = \frac{1}{2} \). 
 - **Explicação:** Aplique a condição dada para obter a igualdade. 
 
222. **Problema:** Determine o valor de \( \sqrt{16 + 2\sqrt{63}} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{16 + 2\sqrt{63}} = 3 \).