Prévia do material em texto

Resposta e Explicação: \( a^2 + b^2 + c^2 = 13 \). Isso pode ser encontrado usando o 
teorema de Vieta para polinômios. 
 
23. Problema: Determine o número de soluções reais da equação \( \log_{10} (x^2 - 3x) = 2 
\). 
 Resposta e Explicação: A equação tem 2 soluções reais. Isso pode ser encontrado 
resolvendo a equação exponencial e verificando o número de soluções. 
 
24. Problema: Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( x^{x^{x^{\ldots}}} = 2 \)? 
 Resposta e Explicação: \( x = 2 \). Isso pode ser encontrado resolvendo a equação \( 
x^{x^{x^{\ldots}}} = 2 \) iterativamente. 
 
25. Problema: Se \( \frac{a}{b+c} = \frac{b 
 
}{c+a} = \frac{c}{a+b} \), encontre o valor de \( \frac{a}{b+c} \). 
 Resposta e Explicação: \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = \frac{1}{2} \). Isso 
pode ser encontrado resolvendo o sistema de equações dado. 
 
26. Problema: Qual é o menor número inteiro positivo \( n \) para o qual \( 3^n \) tem 8 
dígitos? 
 Resposta e Explicação: \( n = 6 \). Isso pode ser encontrado determinando o número de 
dígitos de \( 3^n \) e encontrando o menor \( n \) que satisfaz a condição. 
 
27. Problema: Se \( a + b + c = 6 \) e \( ab + bc + ca = 9 \), qual é o valor de \( a^3 + b^3 + c^3 
- 3abc \)? 
 Resposta e Explicação: \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 18 \). Isso pode ser encontrado 
usando a identidade \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \) e 
substituindo os valores dados. 
 
28. Problema: Qual é o valor de \( \cot 1^\circ \cdot \cot 2^\circ \cdot \cot 3^\circ \cdot 
\ldots \cdot \cot 89^\circ \)? 
 Resposta e Explicação: \( \frac{1}{\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot 
\ldots \cdot \sin 89^\circ} \). Isso pode ser encontrado usando as propriedades dos 
ângulos complementares e a relação entre cotangente e seno. 
 
29. Problema: Se \( a \) e \( b \) são raízes da equação \( x^2 - 4x + 1 = 0 \), qual é o valor de 
\( a^5 + b^5 \)? 
 Resposta e Explicação: \( a^5 + b^5 = 29 \). Isso pode ser encontrado usando a relação 
de recorrência para os termos da sequência de Fibonacci gerada pelas raízes da equação. 
 
30. Problema: Qual é o valor de \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \)? 
 Resposta e Explicação: \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \). Isso pode ser 
encontrado usando o método de tentativa e erro para fatorar a expressão dentro da raiz 
quadrada. 
 
31. Problema: Se \( \log_2 (x) + \log_3 (x) + \log_4 (x) = 7 \), qual é o valor de \( x \)? 
 Resposta e Explicação: \( x = 64 \). Isso pode ser encontrado usando as propriedades 
dos logaritmos para resolver a equação. 
 
32. Problema: Determine o valor de \( \sin 10^\circ \cdot \sin 20^\circ \cdot \sin 30^\circ 
\cdot \ldots \cdot \sin 80^\circ \). 
 Resposta e Explicação: \( \frac{\sqrt{5}}{32} \). Isso pode ser encontrado usando as 
propriedades dos ângulos complementares e a fórmula da multiplicação dos senos dos 
ângulos. 
 
33. Problema: Se \( a, b, c \) são raízes da equação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \), qual é o 
valor de \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)? 
 Resposta e Explicação: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 6 \). Isso pode ser 
encontrado usando o teorema de Vieta para polinômios. 
 
34. Problema: Se \( \log_2 (x) + \log_3 (x) = 4 \), qual é o valor de \( x \)? 
 Resposta e Explicação: \( x = 9 \). Isso pode ser encontrado usando as propriedades dos 
logaritmos para resolver a equação. 
 
35. Problema: Qual é o valor de \( \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 30^\circ 
\cdot \ldots \cdot \cos 80^\circ \)? 
 Resposta e Explicação: \( \frac{1}{256} \). Isso pode ser encontrado usando as 
identidades trigonométricas. 
 
36. Problema: Se \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = -1 \), encontre o valor de \( 
\frac{a}{b+c} \).