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Resposta e Explicação: \( \frac{1}{8} \). Isso pode ser encontrado usando as identidades 
trigonométricas. 
 
8. Problema: Se \( a \) e \( b \) são raízes da equação \( x^2 - 3x + 1 = 0 \), qual é o valor de \( 
a^3 + b^3 \)? 
 Resposta e Explicação: \( a^3 + b^3 = 7 \). Isso pode ser encontrado usando a identidade 
\( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \) e substituindo os valores dados. 
 
9. Problema: Determine o valor de \( \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot 
\ldots \cdot \tan 89^\circ \). 
 Resposta e Explicação: \( 45 \). Isso pode ser encontrado usando as propriedades dos 
ângulos complementares e a fórmula da multiplicação das tangentes dos ângulos. 
 
10. Problema: Se \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \) e \( x \neq y \), qual é o valor de \( 
x^2 + y^2 \)? 
 Resposta e Explicação: \( x^2 + y^2 = 5 \). Isso pode ser encontrado resolvendo o 
sistema de equações resultante. 
 
11. Problema: Qual é o maior número primo menor que 100? 
 Resposta e Explicação: \( 97 \). Isso pode ser encontrado verificando números primos 
menores que 100. 
 
12. Problema: Se \( \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} = \frac{c}{a+b} = k \), onde \( k \neq 1 \), 
encontre o valor de \( k \). 
 Resposta e Explicação: \( k = 1 \). Isso pode ser deduzido resolvendo o sistema de 
equações dadas. 
 
13. Problema: Qual é a soma das soluções da equação \( \log_2 (x^2 - 3x) = 2 \)? 
 Resposta e Explicação: A soma das soluções é \( 7 \). Isso pode ser encontrado 
resolvendo a equação exponencial e substituindo os valores. 
 
14. Problema: Se \( x = \frac{a}{b+c}, y = \frac{b}{c+a}, z = \frac{c}{a+b} \), prove que \( 
x+y+z+1 = 4xyz \). 
 Resposta e Explicação: A igualdade \( x+y+z+1 = 4xyz \) pode ser demonstrada usando 
as relações dadas entre \( x, y, z \). 
 
15. Problema: Qual é a soma das soluções reais da equação \( x^4 - 3x^3 - 4x^2 + 12x - 4 = 
0 \)? 
 Resposta e Explicação: A soma das soluções é \( 3 \). Isso pode ser encontrado usando 
o teorema de Vieta para polinômios. 
 
16. Problema: Se \( \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} = 3 \), qual é o valor de \( x \)? 
 Resposta e Explicação: \( x = 4 \). Isso pode ser encontrado elevando ambos os lados da 
equação ao quadrado e resolvendo a equação resultante. 
 
17. Problema: Determine o valor de \( \sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot 
\ldots \cdot \sin 89^\circ \). 
 Resposta e Explicação: \( \frac{1}{2^{44}} \). Isso pode ser encontrado usando as 
propriedades dos ângulos complementares e a fórmula da multiplicação dos senos dos 
ângulos. 
 
18. Problema: Se \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \) e \( x + y = 4 \), qual é o valor de \( 
xy \)? 
 Resposta e Explicação: \( xy = 3 \). Isso pode ser encontrado resolvendo o sistema de 
equações resultante. 
 
19. Problema: Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (x+y+z)^5 \)? 
 Resposta e Explicação: A soma dos coeficientes é \( 243 \). Isso pode ser encontrado 
substituindo \( x = 1, y = 1, z = 1 \) na expressão. 
 
20. Problema: Se \( \log_2 (x+1) + \log_2 (x-1) = 3 \), qual é o valor de \( x \)? 
 Resposta e Explicação: \( x = 5 \). Isso pode ser encontrado usando as propriedades dos 
logaritmos para resolver a equação. 
 
21. Problema: Qual é o valor de \( \tan 10^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ 
\cdot \ldots \cdot \tan 80^\circ \)? 
 Resposta e Explicação: \( 1 \). Isso pode ser encontrado usando as propriedades dos 
ângulos complementares e a fórmula da multiplicação das tangentes dos ângulos. 
 
22. Problema: Se \( a, b, c \) são raízes da equação \( x^3 - 3x^2 + 4x - 11 = 0 \), qual é o 
valor de \( a^2 + b^2 + c^2 \)?