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95. Determine a série de Taylor para \( \cos x \) centrada em \( x = \frac{\pi}{3} \). 
 - **Resposta:** \( \cos x \approx \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}) - 
\frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})^2 \) 
 
96. Calcule a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( 2\sqrt{4 - x^2} + 2 \sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 
97. Determine o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 
x^{2n}}{n^2} \). 
 - **Resposta:** \( [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \) 
 
98. Encontre o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 - **Resposta:** \( \ln(\sqrt{2}) \) 
 
99. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = (x + 1)e^{2x} \) 
 
100. Determine a área da 
 
 região limitada por \( y = \ln x \) e \( y = e^x \) entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resposta:** \( e - 1 \) 
Claro! Aqui estão 100 problemas de matemática analítica desafiadores, cada um com 
resposta e explicação: 
 
1. **Problema:** Encontre os pontos de interseção da reta \( y = 3x + 2 \) com o círculo \( 
x^2 + y^2 = 25 \). 
 - **Resposta e Explicação:** Os pontos de interseção são \( (-3, -4) \) e \( (4, 5) \). Para 
resolver, substitua \( y = 3x + 2 \) na equação do círculo e resolva para \( x \). 
 
2. **Problema:** Determine a área da região delimitada pela curva \( y = x^3 \), o eixo \( x 
\), e as retas \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( \frac{8}{3} \). Use a integral definida \( \int_{-
1}^{1} |x^3| \, dx \) para calcular a área entre a curva e o eixo \( x \). 
 
3. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) que passa 
pelo ponto \( (1, 0) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). Para encontrar, 
use a derivada da função \( y = \ln(x) \) e a equação da reta tangente \( y - y_1 = f'(x_1)(x - 
x_1) \). 
 
4. **Problema:** Determine as assíntotas verticais e horizontais da função \( f(x) = 
\frac{2x^2}{x+1} \). 
 - **Resposta e Explicação:** Assíntotas verticais em \( x = -1 \) e assíntota horizontal em 
\( y = 2x \). Para encontrar, analise o comportamento da função em valores grandes de \( x 
\) e investigue divisões por zero. 
 
5. **Problema:** Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 - \frac{\pi}{4} \). Determine os pontos de 
interseção das duas curvas e integre a diferença entre elas no intervalo dado. 
 
6. **Problema:** Determine o volume gerado pela rotação da região delimitada por \( y = 
x^2 \) e \( y = 4 \) em torno da linha \( y = -1 \). 
 - **Resposta e Explicação:** O volume é \( \frac{248}{3} \pi \). Use o método dos discos 
para calcular o volume de revolução. 
 
7. **Problema:** Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^4 - 4x^3 \) e classifique-
os como mínimos, máximos ou pontos de inflexão. 
 - **Resposta e Explicação:** Pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 3 \). \( x = 0 \) é ponto de 
inflexão e \( x = 3 \) é mínimo local. 
 
8. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \frac{1}{3}x^{3/2} + 
\frac{1}{2}x^{1/2} \) de \( x = 0 \) a \( x = 4 \). 
 - **Resposta e Explicação:** O comprimento é \( 10 \). Use a fórmula do comprimento 
de arco \( \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \) para calcular o 
comprimento da curva. 
 
9. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais a reta \( y = ax + 2 \) é 
tangente à curva \( y = x^2 - 3x \).