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- **Explicação:** Expanda \( (1+x+x^2+x^3)^6 \) usando o binômio de Newton e some os 
coeficientes. 
 
32. **Problema:** Se \( \sqrt{x+3\sqrt{x+3\sqrt{x+\ldots}}} = 5 \), qual é o valor de \( x \)? 
 - **Resposta:** \( 10 \) 
 - **Explicação:** Denote \( y = \sqrt{x+3\sqrt{x+3\sqrt{x+\ldots}}} \), então \( y = 5 \). 
 
33. **Problema:** Se \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), qual é o valor de \( \sin^4 
\theta + \cos^4 \theta \)? 
 - **Resposta:** \( 1 \) 
 - **Explicação:** Use a identidade trigonométrica \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = ( 
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta )^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \). 
 
34. **Problema:** Qual é o menor número natural \( n \) tal que \( 2^n > n^3 \)? 
 - **Resposta:** \( 10 \) 
 - **Explicação:** Teste valores de \( n \) para encontrar o menor número natural que 
satisfaça a desigualdade dada. 
 
35. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (1+x)^{50} \)? 
 - **Resposta:** \( 2^{50} \) 
 - **Explicação:** Use o binômio de Newton para expandir \( (1+x)^{50} \) e depois some 
os coeficientes. 
 
36. **Problema:** Se \( a^2 + b^2 = 10 \) e \( ab = 3 \), qual é o valor de \( a^3 + b^3 \)? 
 - **Resposta:** \( 37 \) 
 - **Explicação:** Use as equações dadas para encontrar \( a \) e \( b \), então calcule \( 
a^3 + b^3 \). 
 
37. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (1+x^2)^{10} 
\)? 
 - **Resposta:** \( 512 \) 
 - **Explicação:** Expanda \( (1+x^2)^{10} \) usando o binômio de Newton e some os 
coeficientes. 
 
38. **Problema:** Se \( \log_{10} 2 \approx 0.3010 \), qual é a parte inteira de \( \log_{10} 5 
\)? 
 - **Resposta:** \( 0 \) 
 - **Explicação:** Como \( \log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2 \), e dado \( \log_{10} 2 \approx 
0.3010 \), temos \( \log_{10} 5 \approx 0.6990 \). 
 
39. **Problema:** Qual é o número de soluções inteiras para a equação \( x^2 + y^2 = 100 
\)? 
 - **Resposta:** \( 9 \) 
 - **Explicação:** Encontre todos os pares de inteiros \( (x, y) \) que satisfazem \( x^2 + 
y^2 = 100 \). 
 
40. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (1+2x)^{20} 
\)? 
 - **Resposta:** \( 2^{20} \) 
 - **Explicação:** Use o binômio de Newton para expandir \( (1+2x)^{20} \) e depois 
some os coeficientes. 
 
41. **Problema:** Se \( a, b, c \) são raízes da equação \( x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0 \), qual é o 
valor de \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)? 
 - **Resposta:** \( \frac{22}{5} \) 
 - **Explicação:** Use as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação 
polinomial. 
 
42. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( 
(1+2x+3x^2)^6 \)? 
 - **Resposta:** \( 531441 \) 
 - **Explicação:** Use o binômio de Newton para expandir \( (1+2x+3x^2)^6 \) e depois 
some os coeficientes. 
 
43. **Problema:** Se \( \tan \theta = 3 \), qual é o valor de \( \cos 2\theta \)? 
 - **Resposta:** \( \frac{7}{25} \) 
 - **Explicação:** Use identidades trigonométricas para expressar \( \cos 2\theta \) em 
termos de \( \tan \theta \).