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- **Resposta:** \( 302 \) 
 - **Explicação:** Use a fórmula \( \lfloor \log_{10} (2^{1000}) \rfloor + 1 \). 
 
8. **Problema:** Se \( a + b + c = 6 \) e \( ab + bc + ca = 9 \), qual é o valor de \( abc \)? 
 - **Resposta:** \( 4 \) 
 - **Explicação:** Use a relação \( (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \) para 
encontrar \( abc \). 
 
9. **Problema:** Qual é o valor de \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \)? 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{4} \) 
 - **Explicação:** Decomponha \( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \) em frações parciais e some a 
série. 
 
10. **Problema:** Qual é o número mínimo de retas necessárias para dividir um círculo 
em 11 regiões? 
 - **Resposta:** \( 66 \) 
 - **Explicação:** Use a fórmula \( \frac{n(n+1)}{2} + 1 \), onde \( n \) é o número de partes 
desejadas. 
 
11. **Problema:** Se \( a, b, c \) são raízes da equação \( x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0 \), qual é o 
valor de \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)? 
 - **Resposta:** \( \frac{8}{7} \) 
 - **Explicação:** Use as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação 
polinomial. 
 
12. **Problema:** Qual é o maior valor possível para o produto \( xyz \), se \( x, y, z \) são 
inteiros positivos que satisfazem \( x + y + z = 16 \)? 
 - **Resposta:** \( 972 \) 
 - **Explicação:** Use a desigualdade das médias para maximizar o produto \( xyz \). 
 
13. **Problema:** Quantos números inteiros de três dígitos têm exatamente dois dígitos 
iguais entre si? 
 - **Resposta:** \( 81 \) 
 - **Explicação:** Considere os casos em que dois dígitos são iguais e o terceiro é 
diferente. 
 
14. **Problema:** Qual é o resto da divisão de \( 2^{2023} \) por \( 17 \)? 
 - **Resposta:** \( 2 \) 
 - **Explicação:** Use o pequeno teorema de Fermat para simplificar \( 2^{16} \equiv 1 
\pmod{17} \) e encontrar \( 2^{2023} \mod 17 \). 
 
15. **Problema:** Se \( \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 1 \), qual é o valor de \( \sin x + \sin 2x + 
\sin 3x \)? 
 - **Resposta:** \( 0 \) 
 - **Explicação:** Use identidades trigonométricas para relacionar \( \cos x + \cos 2x + 
\cos 3x \) com \( \sin x + \sin 2x + \sin 3x \). 
 
16. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (1+x+x^2)^5 
\)? 
 - **Resposta:** \( 243 \) 
 - **Explicação:** Expanda \( (1+x+x^2)^5 \) usando a fórmula do binômio de Newton e 
some os coeficientes. 
 
17. **Problema:** Quantos números inteiros positivos são divisíveis por pelo menos um 
dos números 4, 5 ou 6, mas não são divisíveis por nenhum dos três simultaneamente? 
 - **Resposta:** \( 165 \) 
 - **Explicação:** Use o princípio da inclusão-exclusão para contar os números que são 
divisíveis por pelo menos um dos três números dados. 
 
18. **Problema:** Se \( x^2 + y^2 = 49 \) e \( xy = 20 \), qual é o valor de \( x+y \)? 
 - **Resposta:** \( 9 \) 
 - **Explicação:** Use as equações dadas para encontrar \( x \) e \( y \), então calcule \( 
x+y \). 
 
19. **Problema:** Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (2+x)^{10} \)? 
 - **Resposta:** \( 2048 \) 
 - **Explicação:** Use o binômio de Newton para expandir \( (2+x)^{10} \) e depois some 
os coeficientes.