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- **Resposta:** O valor é \( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para relacionar \( \sin x \) e \( 
\cos 4x \), depois encontre \( \sin 2x \). 
 
196. **Problema:** Determine o valor de \( \cos 32^\circ \cdot \cos 58^\circ \). 
 - **Resposta:** O valor é \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \). 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto dos 
cossenos. 
 
197. **Problema:** Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( \sqrt{5x + 2} - \sqrt{x-2} = 2 
\)? 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é 10. 
 - **Explicação:** Resolva a equação para \( \sqrt{5x + 2} \) e \( \sqrt{x-2} \) e encontre \( x 
\). 
 
198. **Problema:** Se \( a + b = 24 \) e \( ab = 58 \), qual é o valor de \( a^3 + b^3 \)? 
 - **Resposta:** O valor é 13824. 
 - **Explicação:** Utilize as relações dadas entre \( a \) e \( b \) para encontrar \( a^3 + 
b^3 \). 
 
199. **Problema:** Determine o valor de \( \tan 23^\circ \cdot \tan 67^\circ \). 
 - **Resposta:** O valor é 9. 
 - **Explicação:** Utilize as identidades trigonométricas para simplificar o produto das 
tangentes. 
 
200. **Problema:** Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( \sqrt{8 + 4\sqrt{x}} \) é um 
número inteiro? 
 - **Resposta:** O maior valor de \( x \) é 9. 
 - **Explicação:** Resolva a equação \( \sqrt{8 + 4\sqrt{x}} = n \) para \( n \) inteiro e 
encontre \( x \). 
 
Espero que esses problemas adicionais sejam úteis e desafiadores! 
Peço desculpas pela repetição anterior. Aqui estão mais 150 problemas matemáticos 
desafiadores com suas respostas e explicações: 
 
1. Problema: Resolva a equação \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). 
 Resposta: \( x = \frac{1}{2} \) ou \( x = 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes da equação. 
 
2. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = 2 \). 
 Resposta: \( x = 9 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de logaritmo para resolver a equação. 
 
3. Problema: Resolva a equação \( \sin(x) = \cos(2x) \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a 
equação. 
 
4. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{2x+3} = 
5 \). 
 Resposta: \( x = 22 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
5. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_5(x-1) = \log_5(2x - 1) \). 
 Resposta: \( x = 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que afirma que se ambos os lados 
do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
6. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a 
equação. 
 
7. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+5} = 3 
\). 
 Resposta: \( x = 4 \).