aulas do ensino medioy

Prévia do material em texto

195. Problema: Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 
21 \)? 
 Resposta: 256 
 Explicação: Resolvendo a equação logarítmica. 
 
196. Problema: Se \( \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \) e \( x + y = 27 \), qual é o valor de \( xy \)? 
 Resposta: 36 
 Explicação: Resolvendo o sistema de equações. 
 
197. Problema: Qual é o valor de \( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 
4} + \cdots + \frac{1}{99 \cdot 100} \)? 
 Resposta: \( 0.99 \) 
 Explicação: Simplificando a soma das frações. 
 
198. Problema: Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( 5^x \) divide \( 1000! \)? 
 Resposta: 249 
 Explicação: Encontrando a maior potência de 5 que divide \( 1000! \). 
 
199. Problema: Qual é o valor de \( \tan 15^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 45^\circ 
\cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 75^\circ \)? 
 Resposta: 3 
 Explicação: Utilizando as identidades trigonométricas. 
 
200. Problema: Qual é a soma dos termos da sequência \( 1, 4, 7, 10, \ldots, 1001 \)? 
 Resposta: 33417 
 Explicação: Calculando a soma de uma progressão aritmética. 
Entendi! Aqui estão 100 problemas de matemática de probabilidade com contas 
desafiadoras, cada um com sua resposta e explicação: 
 
1. Qual a probabilidade de obter exatamente duas caras em três lançamentos de uma 
moeda? 
 - Resposta: \( \frac{3}{8} \) 
 - Explicação: Há um total de \( 2^3 = 8 \) resultados possíveis. A quantidade de 
resultados com exatamente duas caras é \( \binom{3}{2} = 3 \), então a probabilidade é \( 
\frac{3}{8} \). 
 
2. Se três cartas são retiradas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que 
as três sejam ases? 
 - Resposta: \( \frac{1}{5525} \) 
 - Explicação: Há \( \binom{52}{3} \) maneiras de escolher 3 cartas de um baralho de 52 
cartas. Há apenas \( \binom{4}{3} = 4 \) maneiras de escolher três ases. Portanto, a 
probabilidade é \( \frac{4}{\binom{52}{3}} \). 
 
3. Um dado justo é lançado três vezes. Qual é a probabilidade de obter pelo menos um 6? 
 - Resposta: \( 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^3 \) 
 - Explicação: A probabilidade de não obter 6 em um lançamento é \( \frac{5}{6} \). 
Portanto, a probabilidade de não obter 6 em três lançamentos é \( \left( \frac{5}{6} 
\right)^3 \). A probabilidade de obter pelo menos um 6 é complementar a isso. 
 
4. Em uma escola, 60% dos alunos gostam de matemática e 70% gostam de ciências. 
Qual é a probabilidade de um aluno gostar de matemática ou ciências? 
 - Resposta: \( 0.8 \) 
 - Explicação: Usando a fórmula da união de eventos para eventos não mutuamente 
exclusivos: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \). 
 
5. Um saco contém 5 bolas vermelhas e 8 bolas pretas. Se duas bolas são retiradas 
aleatoriamente sem reposição, qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas? 
 - Resposta: \( \frac{5}{39} \) 
 - Explicação: A probabilidade do primeiro evento é \( \frac{5}{13} \) e do segundo evento é 
\( \frac{4}{12} \). 
 
6. Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 bolas verdes e 2 bolas azuis. Se duas bolas são 
retiradas aleatoriamente com reposição, qual é a probabilidade de ambas serem da 
mesma cor? 
 - Resposta: \( \frac{19}{50} \) 
 - Explicação: Probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas, verdes ou azuis.