Prévia do material em texto

Explicação: Calculando o número de casos favoráveis sobre o número total de casos 
possíveis. 
 
12. Problema: Qual é a área da maior circunferência que pode ser inscrita em um 
triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5? 
 Resposta: \( 1.5 \pi \) 
 Explicação: Usando o raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo. 
 
13. Problema: Qual é o valor de \( \binom{20}{10} \)? 
 Resposta: 184756 
 Explicação: Calculando o coeficiente binomial. 
 
14. Problema: Qual é a soma das soluções para a equação \( \sqrt{x+5} = x \)? 
 Resposta: 5 
 Explicação: Resolvendo a equação quadrática resultante. 
 
15. Problema: Quantas diagonais tem um polígono convexo de 20 lados? 
 Resposta: 170 
 Explicação: Aplicando a fórmula para o número de diagonais em um polígono convexo. 
 
16. Problema: Qual é a probabilidade de escolher dois números primos distintos de um 
conjunto de números primos de 1 a 10? 
 Resposta: \( \frac{4}{9} \) 
 Explicação: Calculando o número de pares de números primos possíveis e dividindo 
pelo número total de pares possíveis. 
 
17. Problema: Qual é o valor de \( \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ \)? 
 Resposta: \( \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 Explicação: Utilizando as identidades trigonométricas. 
 
18. Problema: Qual é a área da região sombreada na figura onde um círculo é inscrito em 
um quadrado, e um segundo círculo é inscrito no espaço restante? 
 Resposta: \( 2\pi - 2 \) 
 Explicação: Calculando as áreas dos círculos e do quadrado. 
 
19. Problema: Qual é o valor de \( \cos 15^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ 
\cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 75^\circ \)? 
 Resposta: \( \frac{1}{32} \) 
 Explicação: Usando as identidades trigonométricas. 
 
20. Problema: Se \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( xy = \frac{1}{2} \), qual é o valor de \( x+y \)? 
 Resposta: \( \sqrt{2} \) 
 Explicação: Resolvendo o sistema de equações. 
 
21. Problema: Qual é o maior número inteiro \( n \) tal que \( 3^n \) divide \( 100! \)? 
 Resposta: 48 
 Explicação: Encontrando a maior potência de 3 que divide 100!. 
 
22. Problema: Se \( \log_{10} (a^2 + b^2) = 2 \) e \( \log_{10} (ab) = 1 \), qual é o valor de \( 
\log_{10} \left( \frac{a}{b} \right) \)? 
 Resposta: 0 
 Explicação: Utilizando as propriedades dos logaritmos. 
 
23. Problema: Qual é o centésimo número primo? 
 Resposta: 541 
 Explicação: Identificando o número primo na posição 100. 
 
24. Problema: Qual é o maior número natural \( n \) para o qual \( 3^n \) divide \( 1000! \) 
mas \( 3^{n+1} \) não divide \( 1000! \)? 
 Resposta: 498 
 Explicação: Determinando a maior potência de 3 que divide \( 1000! \). 
 
25. Problema: Qual é o valor de \( \tan 105^\circ \) em termos de \( \tan 15^\circ \)? 
 Resposta: \( -2 - \sqrt{3} \) 
 Explicação: Utilizando a fórmula de ângulo duplo para tangente.