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Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 65. Problema: Resolva a equação \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \). Resposta: Para qualquer \( x \) real. Explicação: Esta é a identidade fundamental da trigonometria que afirma que a soma dos quadrados do seno e cosseno de um ângulo é sempre igual a 1. 66. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \tan(x) = 1 \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{5\pi}{4} \). Explicação: A função tangente é igual a 1 em \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{5\pi}{4} \) dentro do intervalo dado. 67. Problema: Resolva a equação \( 2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 4 \). Resposta: \( x = 1 \). Explicação: Após substituir \( y = 2^x \), transformamos a equação em uma forma quadrática simples para resolver. 68. Problema: Determine todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \log_5(x-1) = 2 \). Resposta: \( x = 26 \). Explicação: Aplicamos a definição de logaritmo e resolvemos a equação exponencial correspondente. 69. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos^2(x) \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} \) ou \( x = \frac{3\pi}{4} \). Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 70. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} = 2 - \sqrt{x+1} \). Resposta: \( x = \frac{3}{3} \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis. 71. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_4(x-2) = \log_4(3x+1) \). Resposta: \( x = 1 \). Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 72. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \). Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 73. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = 3 \). Resposta: \( x = 4 \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis. 74. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = \log_3(2x - 5) \). Resposta: \( x = 5 \). Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 75. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \). Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 76. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} + \sqrt{3-x} = 2 \). Resposta: \( x = 1 \). Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e verificamos as soluções possíveis.