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Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do 
logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
52. Problema: Resolva a equação \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \). 
 Resposta: Para qualquer \( x \) real. 
 Explicação: Esta é a identidade fundamental da trigonometria que afirma que a soma 
dos quadrados do seno e cosseno de um ângulo é sempre igual a 1. 
 
53. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \tan(x) = 1 \) 
no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{5\pi}{4} \). 
 Explicação: A função tangente é igual a 1 em \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{5\pi}{4} \) dentro 
do intervalo dado. 
 
54. Problema: Resolva a equação \( 2^x + 3 \cdot 2^{-x} = 4 \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Após substituir \( y = 2^x \), transformamos a equação em uma forma 
quadrática simples para resolver. 
 
55. Problema: Determine todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \log_5(x-1) 
= 2 \). 
 Resposta: \( x = 26 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de logaritmo e resolvemos a equação exponencial 
correspondente. 
 
56. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{4} \) ou \( x = \frac{3\pi}{4} \). 
 Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 
 
57. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} = 
2 - \sqrt{x+1} \). 
 Resposta: \( x = \frac{3}{3} \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
58. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_4(x-2) = \log_4(3x+1) \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do 
logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
59. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \). 
 Explicação: Usamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a equação. 
 
60. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x-1} + 
\sqrt{x-4} = 3 \). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
61. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_3(x) = \log_3(2x - 5) \). 
 Resposta: \( x = 5 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do 
logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
62. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a 
equação. 
 
63. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} + 
\sqrt{3-x} = 2 \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
64. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-1) = \log_2(2x+3) \). 
 Resposta: \( x = 4 \).