aulas do ensino medio f

Prévia do material em texto

222. **Problema:** Determine os pontos de interseção das curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\sqrt{x} \). 
 - **Resolução:** Igualamos as duas equações e resolvemos para encontrar os pontos 
de interseção. 
 
223. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln x \) que passa 
pelo ponto \( (3, \ln 3) \). 
 - **Resolução:** Calculamos a derivada \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \) e utilizamos a 
forma ponto-inclinação da equação da reta para determinar a equação da tangente. 
 
224. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais a equação \( 2x 
 
^2 + ax + 1 = 0 \) tem raízes reais e distintas. 
 - **Resolução:** Aplicamos a condição de discriminante positivo à equação quadrática 
para encontrar os valores possíveis de \( a \). 
 
225. **Problema:** Calcule a derivada da função \( y = \ln(\tan x) \). 
 - **Resolução:** Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função composta, onde \( 
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). 
 
226. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = 
\cos x \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 - **Resolução:** Identificamos os pontos de interseção das curvas dentro do intervalo 
dado e calculamos a integral definida da diferença entre \( \sin x \) e \( \cos x \). 
 
227. **Problema:** Determine os pontos de máximos e mínimos relativos da função \( f(x) 
= \frac{3x^3 - 7x^2 + 6x - 1}{2x^2 - 5} \). 
 - **Resolução:** Calculamos a derivada primeira \( f'(x) \), encontramos os pontos 
críticos e aplicamos o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos 
extremos. 
 
228. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln x \) e \( y = e^x 
\). 
 - **Resolução:** Encontramos os pontos de interseção das curvas e calculamos a 
integral definida da diferença entre \( \ln x \) e \( e^x \) dentro dos limites de integração. 
 
229. **Problema:** Determine os pontos de interseção das curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\sqrt{x} \). 
 - **Resolução:** Igualamos as duas equações e resolvemos para encontrar os pontos 
de interseção. 
 
230. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln x \) que passa 
pelo ponto \( (1, 0) \). 
 - **Resolução:** Calculamos a derivada \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \) e utilizamos a 
forma ponto-inclinação da equação da reta para determinar a equação da tangente. 
 
231. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais a equação \( x^2 + 2ax + 1 
= 0 \) tem raízes reais e distintas. 
 - **Resolução:** Aplicamos a condição de discriminante positivo à equação quadrática 
para encontrar os valores possíveis de \( a \). 
 
232. **Problema:** Calcule a derivada da função \( y = \ln(\tan x) \). 
 - **Resolução:** Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função composta, onde \( 
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). 
 
233. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = 
\cos x \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \). 
 - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das curvas dentro do intervalo 
especificado e calculamos a integral definida da diferença entre \( \sin x \) e \( \cos x \). 
 
234. **Problema:** Determine os pontos de máximos e mínimos relativos da função \( f(x) 
= \frac{2x^3 - 9x^2 + 12x - 1}{x^2 - 4} \). 
 - **Resolução:** Calculamos a derivada primeira \( f'(x) \), encontramos os pontos 
críticos e aplicamos o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos 
extremos. 
 
235. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 - 4x + 4 \) e \( y 
= 0 \). 
 - **Resolução:** Encontramos os pontos de interseção das curvas e calculamos a 
integral definida da função \( x^2 - 4x + 4 \) entre esses limites.