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Explicação: Utilizando a fórmula quadrática. 
 
265. Problema: Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( 23^x \) divide \( 1000! \)? 
 Resposta: \( 43 \) 
 Explicação: Encontrando a maior potência de 23 que divide \( 1000! \). 
 
266. Problema: Qual é o valor de \( \tan 84^\circ \cdot \tan 6^\circ \)? 
 Resposta: \( 2 + 
 
 \sqrt{3} \) 
 Explicação: Utilizando as identidades trigonométricas. 
 
267. Problema: Qual é o valor de \( \sqrt{42 + 4\sqrt{11}} \)? 
 Resposta: \( 2 + \sqrt{11} \) 
 Explicação: Simplificando a expressão radical. 
 
268. Problema: Se \( \log_a 18 = x \) e \( \log_a 324 = y \), qual é o valor de \( \log_a 5832 \) 
em termos de \( x \) e \( y \)? 
 Resposta: \( 5x + 3y \) 
 Explicação: Utilizando as propriedades dos logaritmos. 
 
269. Problema: Se \( \sqrt{x} - \sqrt{y} = 11 \) e \( x + y = 484 \), qual é o valor de \( xy \)? 
 Resposta: \( 4356 \) 
 Explicação: Resolvendo o sistema de equações. 
 
270. Problema: Qual é o valor de \( \frac{\sin 70^\circ}{\sin 20^\circ} \)? 
 Resposta: \( \cot 20^\circ \) 
 Explicação: Utilizando as identidades trigonométricas. 
 
271. Problema: Quantos números inteiros satisfazem a desigualdade \( |10x - 27| < 105 \)? 
 Resposta: \( 22 \) 
 Explicação: Resolvendo a desigualdade. 
 
272. Problema: Qual é a soma dos valores de \( x \) que satisfazem a equação \( x^2 - 14x + 
48 = 0 \)? 
 Resposta: \( 14 \) 
 Explicação: Utilizando a fórmula quadrática. 
 
273. Problema: Qual é o maior valor de \( x \) para o qual \( 29^x \) divide \( 1000! \)? 
 Resposta: \( 41 \) 
 Explicação: Encontrando a maior potência de 29 que divide \( 1000! \). 
 
274. Problema: Qual é o valor de \( \tan 87^\circ \cdot \tan 3^\circ \)? 
 Resposta: \( 2 + \sqrt{3} \) 
 Explicação: Utilizando as identidades trigonométricas. 
 
275. Problema: Qual é o valor de \( \sqrt{46 + 4\sqrt{12}} \)? 
 Resposta: \( 2 + \sqrt{12} \) 
 Explicação: Simplificando a expressão radical. 
 
276. Problema: Se \( \log_a 20 = x \) e \( \log_a 400 = y \), qual é o valor de \( \log_a 8000 \) 
em termos de \( x \) e \( y \)? 
 Resposta: \( 3x + 2y \) 
 Explicação: Utilizando as propriedades dos logaritmos. 
 
277. Problema: Se \( \sqrt{x} - \sqrt{y} = 12 \) e \( x + y = 576 \), qual é o valor de \( xy \)? 
 Resposta: \( 5184 \) 
 Explicação: Resolvendo o sistema de equações. 
 
278. Problema: Qual é o valor de \( \frac{\cos 72^\circ}{\sin 18^\circ} \)? 
 Resposta: \( \cot 18^\circ \) 
 Explicação: Utilizando as identidades trigonométricas.