Problemas de Cálculo e Geometria

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84. **Problema:** Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada 
por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x \) em torno da linha \( y = 3 \). 
 - **Resolução:** Utilizamos o método dos discos ou anéis para calcular o volume 
gerado pela rotação da região entre os limites dados. 
 
85. **Problema:** Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função \( 
f(x) = \frac{4x^2 - 1}{x^2 - 1} \). 
 - **Resolução:** Analisamos o comportamento da função em \( x \to \pm \infty \) e em 
pontos críticos para identificar as assíntotas. 
 
86. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
x^2 \). 
 - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das duas curvas e calculamos 
a integral definida da diferença entre \( y = e^x \) e \( y = x^2 \) entre esses limites. 
 
87. **Problema:** Determine os pontos de interseção das curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\sqrt{x} \). 
 - **Resolução:** Igualamos as duas funções \( e^x = \sqrt{x} \) e encontramos as 
soluções para \( x \). 
 
88. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln x \) que passa 
pelo ponto \( (1, 0) \). 
 - **Resolução:** Calculamos a derivada \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \) e utilizamos a 
forma ponto-inclinação da equação da reta para encontrar a equação da tangente. 
 
89. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais a equação \( x^2 + 2ax + 1 
= 0 \) tem raízes reais e distintas. 
 - **Resolução:** Aplicamos a condição de discriminante positivo à equação quadrática 
dada para encontrar os valores de \( a \). 
 
90. **Problema:** Calcule a derivada da função \( y = \ln(\sec x) \). 
 - **Resolução:** Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função dada. 
 
91. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = 
x^2 \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das duas curvas dentro do 
intervalo dado e calculamos a integral definida da diferença entre \( y = \sin x \) e \( y = x^2 
\) entre esses limites. 
 
92. **Problema:** Determine os pontos de máximos e mínimos relativos da função \( f(x) 
= \frac 
 
{2x^3 - 9x^2 + 12x - 1}{x^2 - 4} \). 
 - **Resolução:** Calculamos a derivada primeira \( f'(x) \), encontramos os pontos 
críticos e aplicamos o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos 
extremos. 
 
93. **Problema:** Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 - 4x + 4 \) e \( y 
= 0 \). 
 - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das duas curvas e calculamos 
a integral definida da função \( y = x^2 - 4x + 4 \) entre esses limites. 
 
94. **Problema:** Determine os pontos de interseção da reta \( y = x - 2 \) com a elipse \( 
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \). 
 - **Resolução:** Substituímos \( y \) na equação da elipse e resolvemos o sistema de 
equações para encontrar os pontos de interseção. 
 
95. **Problema:** Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada 
por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 1 \) em torno da linha \( y = -1 \). 
 - **Resolução:** Utilizamos o método dos discos ou anéis para calcular o volume 
gerado pela rotação da região entre os limites dados. 
 
96. **Problema:** Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função \( 
f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x^2 - 1} \). 
 - **Resolução:** Analisamos o comportamento da função em \( x \to \pm \infty \) e em 
pontos críticos para identificar as assíntotas. 
 
97. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln x \) e \( y = 
e^x \). 
 - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das duas curvas e calculamos 
a integral definida da diferença entre \( y = e^x \) e \( y = \ln x \) entre esses limites.