Prévia do material em texto
377. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). - **Resolução:** Identificamos os pontos de interseção das curvas dentro do intervalo dado e calculamos a integral definida da diferença entre \( \sin x \) e \( \cos x \). 378. **Problema:** Determine os pontos de máximos e mínimos relativos da função \( f(x) = \frac{3x^3 - 7x^2 + 6x - 1}{2x^2 - 5} \). - **Resolução:** Calculamos a derivada primeira \( f'(x) \), encontramos os pontos críticos e aplicamos o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos extremos. 379. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln x \) e \( y = e^x \). - **Resolução:** Encontramos os pontos de interseção das curvas e calculamos a integral definida da diferença entre \( \ln x \) e \( e^x \) dentro dos limites de integração. 380. **Problema:** Determine os pontos de interseção das curvas \( y = e^x \) e \( y = \sqrt{x} \). - **Resolução:** Igualamos as duas equações e resolvemos para encontrar os pontos de interseção. 381. **Problema:** Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \ln x \) que passa pelo ponto \( (3, \ln 3) \). - **Resolução:** Calculamos a derivada \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \) e utilizamos a forma ponto-inclinação da equação da reta para determinar a equação da tangente. 382. **Problema:** Determine os valores de \( a \) para os quais a equação \( 2x^2 + ax + 1 = 0 \) tem raízes reais e distintas. - **Resolução:** Aplicamos a condição de discriminante positivo à equação quadrática para encontrar os valores possíveis de \( a \). 383. **Problema:** Calcule a derivada da função \( y = \ln(\tan x) \). - **Resolução:** Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função composta, onde \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). 384. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin x \) e \( y = \cos x \) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{4}] \). - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das curvas dentro do intervalo especificado e calculamos a integral definida da diferença entre \( \sin x \) e \( \cos x \). 385. **Problema:** Determine os pontos de máximos e mínimos relativos da função \( f(x) = \frac{2x^3 - 9x^2 + 12x - 1}{x^2 - 4} \). - **Resolução:** Calculamos a derivada primeira \( f'(x) \), encontramos os pontos críticos e aplicamos o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos extremos. 386. **Problema:** Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 - 4x + 4 \) e \( y = 0 \). - **Resolução:** Encontramos os pontos de interseção das curvas e calculamos a integral definida da função \( x^2 - 4x + 4 \) entre esses limites. 387. **Problema:** Determine os pontos de interseção da reta \( y = x - 2 \) com a elipse \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \). - **Resolução:** Substituímos \( y \) na equação da elipse e resolvemos o sistema de equações para encontrar os pontos de interseção. 388. **Problema:** Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x \) em torno da linha \( y = 3 \). - **Resolução:** Utilizamos o método dos discos ou anéis para calcular o volume gerado pela rotação da região entre os limites dados. 389. **Problema:** Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função \( f(x) = \frac{4x^2 - 1}{x^2 - 1} \). - **Resolução:** Analisamos o comportamento da função em \( x \to \pm \infty \) e em pontos críticos para identificar as assíntotas. 390. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^2 \). - **Resolução:** Determinamos os pontos de interseção das curvas e calculamos a integral definida da diferença entre \( e^x \) e \( x^2 \) entre esses limites.