Problemas Matemáticos Variados

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- **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\sqrt{2401 - x^2} + C \). 
 
389. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(50x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 50 \). 
 
390. **Problema:** Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(50x) \) no intervalo \( [0, \pi/100] \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
391. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(\cot(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( -\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \). 
 
392. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{2500 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\sqrt{2500 - x^2} + C \). 
 
393. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(51x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 51 \). 
 
394. **Problema:** Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin(x) \) and \( y = 
\cos(51x) \) no intervalo \( [0, \pi/102] \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
395. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(\cot(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( -\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \). 
 
396. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{2601 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\sqrt{2601 - x^2} + C \). 
 
397. **Problema:** Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(52x)}{x} \). 
 - **Resposta e Explicação:** O limite é \( 52 \). 
 
398. **Problema:** Encontre a área da região entre as curvas \( y = \sin(x) \) and \( y = 
\cos(52x) \) no intervalo \( [0, \pi/104] \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
399. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \ln(\cot(x)) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( -\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \). 
 
400. **Problema:** Calcule \( \int \frac{x}{\sqrt{2704 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** A integral é \( -\sqrt{2704 - x^2} + C \). 
 
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Espero que tenha ajudado! Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição. 
Claro, aqui estão mais 170 problemas matemáticos com equações desafiadoras, cada 
um com resposta e explicação: 
 
161. Problema: Resolva a equação \( \sin(2x) = \cos(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). 
 Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar e resolver a 
equação. 
 
162. Problema: Encontre todos os valores de \( x \) que satisfazem a equação \( \sqrt{x+1} 
= 2 - \sqrt{x+1} \). 
 Resposta: \( x = 1 \). 
 Explicação: Elevamos ambos os lados ao quadrado, resolvemos a equação resultante e 
verificamos as soluções possíveis. 
 
163. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem \( \log_2(x-1) = \log_2(2x+3) 
\). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos que diz que se ambos os lados do 
logaritmo têm a mesma base, então seus argumentos são iguais. 
 
164. Problema: Resolva a equação \( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{2} \).