Semana 8 - Revisao1- Matemática básica - MMB002

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REVISÃO MATEMÁTICA BÁSICA - MMB002 
Esta revisão está fortemente baseada na sequência de conteúdos tratados e discutidos 
nas videoaulas e nos textos base que compõe o curso, e busca extrair e sintetizar os principais 
tópicos e conceitos apresentados ao longo do curso. Lembramos que somente a leitura deste 
material não é suficiente para o seu estudo. Este material deve ser usado mais fortemente como 
um guia para relembrá-lo(a) dos assuntos tratados. O estudo dos materiais-base/textos-base, 
são de fundamental importância para que você possa ter um bom aproveitamento nas 
avaliações. 
Bons estudos! 
Semana 1 
O conjunto dos números Naturais: 
 O conjunto dos números naturais é denotado por N , e pode ser representado pelo 
conjunto dos números abaixo: 
N ={0,1 ,2 ,3 ,4, 5,...} 
 Conforme vimos no curso, eles sugiram devido a necessidade do homem de contar 
quantidades. 
 
Sistemas de numeração: 
 Ao longo da história diversos sistema de numeração foram empregados pelas diversas 
civilizações. Vimos ainda que existiram sistemas posicionais (quando o valor de um número 
depende da posição que cada símbolo ocupa), e sistemas não posicionais, como o sistema 
Egípcio, onde um determinado valor independe da posição que cada símbolo ocupa para 
representar um determinada quantidade, como nos exemplo abaixo: 
Sistema Indo-Arábico (posicional): 45 ≠ 54. 
Sistema Egípcio(não posicional): ⋂𝐼𝐼𝐼𝐼 = 10 + 1 + 1 = 𝐼𝐼𝐼𝐼⋂ = 1 + 1 + 10 
 
Base dos sistemas de numeração: 
 Vimos que podemos ter sistemas de numeração escritos em diversas bases. Sendo que 
uma dada quantidade pode ser representada como o somatório de potências desta base 
(começando com a potência zero até a posição do ultimo símbolo na representação da 
quantidade) multiplicadas por valores pertencentes aos símbolos de representação da base, 
sendo que estes símbolos vão sempre de 0 até o valor da base-1. Assim para base 2 são 
utilizados somente 0 e 1 (1=2-1), para a base decimal o valores vão de 0 até 9 (9=10-1). 
Abaixo temos alguns exemplos dessa representação: 
Base 2: (1001)2 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 
Base 10: (2341)10 = 2 × 103 + 3 × 102 + 4 × 101 + 1 × 100 = 2000 + 300 + 40 + 1 = 2341 
Obs. Uma base bastante utilizada é a base 16 ou Hexadecimal. Como descrito anteriormente, 
os valores dos símbolos vão de 0 até 16-1=15. No entanto, os valores de 10 até 15, são 
representados por letras nesta base, assim temos: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E e 15=F. 
Assim por exemplo o número 3FA pode ser escrito como: 
Base 16: (3𝐹𝐹𝐹𝐹)16 = 3 × 162 + 15 × 161 + 10 × 160 = 768 + 240 + 10 = 1018 
 
Operações no conjunto dos números Naturais 
 Vimos as operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação. As operações 
possuem propriedades que são importantes na simplificação de expressões e na resolução de 
problemas. 
Propriedades da adição: 
Para quaisquer números naturais, a, b , c temos que: 
1) propriedade comutativa: a+b = b+a 
2) propriedade associativa: (a+b)+c = a+(b+c) 
3) elemento neutro: a+0 = a 
4) se a>b, então a+c > b+c 
5) se a+b = a, então b=0 
Propriedades da multiplicação: 
Para quaisquer números naturais, a, b, c temos que: 
1) propriedade comutativa: a.b = b.a 
2) propriedade associativa: (a.b).c = a.(b.c) 
3) elemento neutro: a.1 = a 
4) se a>b, então a.c ≥ b.c 
5) se a.b = a, então b = 1 ou a = 0 
 
Propriedades distributiva: 
Para quaisquer números naturais, a, b, c temos que: 
● (a+b).c = a.c + b.c 
 
Operações em outras bases: 
Vimos que uma maneira de realizarmos operações com números escritos em bases diferentes 
da base decimal, é escrevê-los na forma do somatório de potências na base correspondente e 
então realizar as operações potência a potência. Como no exemplo abaixo da soma, subtração 
e multiplicação entre dois números na base 5. 
Soma entre (24)5 𝑒𝑒, (12)5 na base 5. 
(24)5 = 2 × 51 + 4 × 50 
(12)5 = 1 × 51 + 2 × 50 
(24)5 + (12)5 = 2 × 51 + 4 × 50 + 1 × 51 + 2 × 50 
= 3 × 51 + 6 × 50 = 3 × 51 + 1 × 51 + 1 × 50 = 4 × 51 + 1 × 50 
= (41)5 
Subtração entre (24)5 𝑒𝑒, (12)5 na base 5. 
(24)5 − (12)5 = 2 × 51 + 4 × 50 − (1 × 51 + 2 × 50) 
= 2 × 51 − 1 × 51 + 4 × 50 − 2 × 50 = 1 × 51 + 2 × 50 
= (12)5 
Multiplicação entre (24)5 𝑒𝑒, (12)5 na base 5. 
(24)5. (12)5 = (2 × 51 + 4 × 50). (1 × 51 + 2 × 50) 
aplicando a propriedade distributiva temos: 
= 2 × 52 + 4 × 51 + 4 × 51 + 8 × 50 
= 2 × 52 + 4 × 51 + 4 × 51 + 1 × 51 + 3 × 50 
= 2 × 52 + 9 × 51 + 3 × 50 
= 2 × 52 + 1 × 52 + 4 × 51 + 3 × 50 
= 3 × 52 + 4 × 51 + 3 × 50 
= (343)5 
 
Potência Natural: 
 Dado um número 𝑏𝑏 e um número 𝑎𝑎 , sendo que 𝑎𝑎 é multiplicado por si mesmo 𝑏𝑏 
vezes. Então definimos 𝑎𝑎𝑏𝑏 como a potência de base 𝑎𝑎 e expoente 𝑏𝑏. 
𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎.𝑎𝑎. . . 𝑎𝑎 
Obs. Se 𝑏𝑏 = 0 𝑒𝑒 𝑎𝑎 ≠ 0, então 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 1. No caso em que tanto 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑏𝑏 são iguais a zero, 
dizemos que temos uma indeterminação matemática. 
 
Semana 2 
Divisão: 
 Uma das maneiras de "visualizarmos" a operação de divisão entre dois números 
naturais 𝑝𝑝 𝑒𝑒 𝑞𝑞, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞 ≠ 0, é através da distribuição em partes iguais da quantidade 
representada 𝑝𝑝 por um número de partes representa pela quantidade 𝑞𝑞. Muitas vezes no 
processo de divisão não é possível dividir completamente a quantidade 𝑝𝑝 , em 𝑞𝑞 partes iguais, 
neste caso o valor que sobra após a divisão (distribuição em partes iguais), é chamado de resto. 
Na verdade todas as quantidades envolvidas na divisão recebem denominações, conforme o 
exemplo abaixo de uma conta de divisão. 
 
 
 
2 11 
1 
-10 5 
Divisor 
Quociente 
Dividendo 
Resto 
𝑏𝑏 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣 
Através do processo de divisão acima, vemos que podemos escrever: 11 = 5.2 + 1. 
 
Algumas definições: 
● Dizemos que um número natural 𝑝𝑝 > 1 é primo, se os únicos divisores de 𝑝𝑝 forem o 
número 1 e o próprio 𝑝𝑝. 
● Dizemos que um numero natural 𝑝𝑝 é múltiplo do número natural 𝑞𝑞, se existir um 
numero natural 𝑘𝑘, que seja válida a igualdade: 𝑝𝑝 = 𝑘𝑘. 𝑞𝑞. 
● Um número natural 𝑞𝑞 ≠ 0, é dito divisor do número natural 𝑝𝑝 . Se o restes da divisão 
de 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑞𝑞, for igual a zero. 
 
Critérios de divisibilidade 
Existem alguns critérios que podem ser aplicados a um dado número para verificarmos a sua 
divisibilidade, conforme descrito abaixo. 
● Divisível por 2: números terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
● Divisível por 3: se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3. 
● Divisível por 5: terminar em 0 ou 5. 
● Divisível por 6: se for divisível por 2 e 3. 
● Divisível por 9: se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 9. 
● Divisível por 10: se terminar em 0. 
 Para saber se um número é divisível por 7, existem um algoritmo que pode se 
aplicado e que foi visto na aula sobre divisão. O algoritmo pode ser descrito como segue. 
● multiplique por 2 o último algarismo 
● subtrair este valor do número inicial sem o último algarismo. 
● O resultado deve ser múltiplo de 7. 
Obs. Caso ainda não seja possível determinar, este procedimento pode ser repetido 
sucessivamente utilizando os resultados obtidos até ser possível determinar se o 
resultado final é divisível por 7. 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
 O MDC de um conjunto finito de números, é o maior número que divisor de todos os 
números do conjunto. 
 Uma das formas de se determinar o MDC entre um conjunto de números, é realizar a 
divisão de todos os números do conjunto ao mesmo tempo, utilizando os números primos 2, 3, 
5, 7,... sucessivamente até obtermos a divisão de todos os números do conjunto. O MDC será 
então formado pela multiplicação dos valores primos, que durante o processo de divisão, 
dividiram simultaneamente os números do conjunto. 
 Suponha por exemplo que queremos determinar o MDC entre 24, 36 e 60. Vamos 
realizar a divisão, e então verificar para quais termos ocorreram divisões onde todos os números 
do conjunto foram divididos simultaneamente, e desta forma determinaro MDC. 
 
 
 
 
 
 
Obs. Também é possível determinar o MDC , fazendo a comparação ("força bruta") entre todos 
os divisores de todos os números e verificando qual é o maior divisor comum, ou ainda através 
o algoritmo de Euclides quando se tem apenas dois números. 
 Agora que definimos o MDC, podemos também definir o conceito de números primos 
entre sí. Um conjunto finito de números naturais são primos entre si, se o MDC destes números 
for 1. 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
 O MMC de um conjunto finito de números, é definido como o menor múltiplo, não nulo, 
comum a todos os números deste conjunto. O processo para obtenção do MMC, é similar ao 
que vimos para obtenção do MDC. Realizamos a divisão de todos os números do conjunto ao 
mesmo tempo, utilizando os números primos 2, 3, 5, 7,... sucessivamente até obtermos a divisão 
de todos os números do conjunto. O MMC, será o resultado da multiplicação de todos os termos 
primos utilizados no processo de divisão. Suponha por exemplo que no exemplo anterior do 
MDC, quiséssemos agora obter o MMC de 24,36 e 60. Então o cálculo seria conforme abaixo. 
 
 
 
 
 
Obs. Também é possível determinar o MMC , fazendo a comparação ("força bruta") entre os 
múltiplos de todos os números e verificando qual é o menor múltiplo comum. 
 
24, 36, 60 2 
12, 18, 30 2 
 6, 9, 15 2 
 3, 9, 15 3 
 1, 3, 5 3 
 1, 1, 5 5 
 1, 1, 1 
 
Para o cálculo do MMC, 
todos os termos são 
computados 
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴(𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟑𝟑𝟑𝟑;𝟑𝟑𝟔𝟔) =2.2.2.3.3.5 = 360 
 
24, 36, 60 2 
12, 18, 30 2 
 6, 9, 15 2 
 3, 9, 15 3 
 1, 3, 5 3 
 1, 1, 5 5 
 1, 1, 1 
 
Para estes termos, todos os 
números do conjunto foram 
divididos simultaneamente 
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴(𝟐𝟐𝟐𝟐;𝟑𝟑𝟑𝟑;𝟑𝟑𝟔𝟔) =2.2.3 = 12 
 Finalmente existe uma relação entre o MDC e o MMC de dois números naturais 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 : 
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏).𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 
 
O conjunto dos números Inteiros: 
 O conjunto dos números Inteiros, nos permite trabalhar com valores negativos, 
o que não era possível no conjunto do números Naturais. Denotamos o conjunto dos 
números Inteiros por Z. 
𝑍𝑍 = {… ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 
Elemento Oposto: 
 Dados dois números inteiros 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 . Dizemos que o número 𝑏𝑏 é o oposto de 𝑎𝑎 , e 
denotamos 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 − 𝑎𝑎, se 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0. (p.ex: −4 é 𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑣𝑣𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑒𝑒 4,𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑣𝑣 4 − 4 = 0 ). 
 
Valor absoluto ou módulo: 
 O valor absoluto ou módulo de um número inteiro 𝑎𝑎 é denotado por |𝑎𝑎|, corresponde 
ao número natural, tal que: 
|𝑎𝑎| = {𝑎𝑎; 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑎𝑎 ≥ 0 − 𝑎𝑎; 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑎𝑎 < 0 
ex: 
|2| = 2 
|−2| = 2 
 
Adição entre números Inteiros: 
Para adicionarmos dois números inteiros 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 procedemos da seguinte forma: 
● Se 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 possuem o mesmo sinal, efetuamos a soma dos valores absolutos e 
mantemos o mesmo sinal. 
● Se 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 possuem sinais contrários, calculamos a diferença entre seus valores 
absolutos e mantemos o sinal daquele que possui maior valor absoluto. 
Obs1. Também valem as 5 propriedades da adição vistas para os números naturais. 
Obs2. A subtração entre dois inteiros 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 , pode ainda ser interpretada como a soma 
do número 𝑎𝑎 com o oposto do número 𝑏𝑏. 
Multiplicação entre números Inteiros: 
Para multiplicarmos dois números inteiros 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 procedemos da seguinte forma: 
● Se 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 tem o mesmo sinal, então: 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 = |𝑎𝑎|. |𝑏𝑏| 
● Se a e b possuem sinal contrários, então: 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 = −|𝑎𝑎|. |𝑏𝑏| 
Obs. Das cinco propriedades da multiplicação vistas para os números Naturais, a quarta 
propriedade é alterada quando aplicada aos números Inteiros e passa a ser: 
 4) Se 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏, então {𝑎𝑎. 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏. 𝑐𝑐; 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑐𝑐 ≥ 0 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏. 𝑐𝑐; 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑐𝑐 < 0 
 
Divisão entre números Inteiros: 
 Valem as mesmas regras vistas na operação de multiplicação para os sinais do 
resultado da divisão. (Dica: na multiplicação ou divisão entre dois números inteiros , se 
os sinais são iguais o resultado tem sinal positivo, se os sinais forem contrários o 
resultado tem sinal negativo) . 
 
 
MMC e MDC de números inteiros: 
 Dados dois números inteiros 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏, não nulos, temos que: 
● 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(|𝑎𝑎|; |𝑏𝑏|) 
● 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(|𝑎𝑎|; |𝑏𝑏|) 
● 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏).𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = |𝑎𝑎. 𝑏𝑏| 
 
 
Potência Inteira: 
 Dados dois números inteiros 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0, então: 
 
 
𝑎𝑎𝑏𝑏 = {𝑎𝑎.𝑎𝑎. . . 𝑎𝑎, 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑏𝑏 > 0 1, 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑏𝑏 = 0 
1
𝑎𝑎
.
1
𝑎𝑎
…
1
𝑎𝑎
 ; 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑏𝑏 < 0 
 
 
Equação Diofantina: 
 Uma equação Diofantina, é uma equação na forma 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑐𝑐. Uma equação 
Diofantina possuirá solução para os valores de 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 se, e somente se, o 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) 
dividir 𝑐𝑐; e neste caso a equação admitirá várias soluções. E dada uma solução particular 
correspondendo a um par de valores 𝑎𝑎0 𝑒𝑒 𝑏𝑏0 , as demais soluções para 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 podem ser 
determinadas aplicando-se as fórmulas: 
 
𝑎𝑎 = 𝑎𝑎0 +
𝑏𝑏
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) 
. 𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏0 −
𝑎𝑎
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) 
. 𝑘𝑘 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍 
 
 
𝑏𝑏 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣 
Obs. Note que se o 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = 1. Então as equações acima podem ser reescritas 
simplesmente como: 
 
𝑎𝑎 = 𝑎𝑎0 + 𝑏𝑏. 𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏0 − 𝑎𝑎. 𝑘𝑘 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍 
 
 
 
Semana 3 
Conjunto dos números Racionais: 
 Denotamos o conjunto dos números Racionais por Q , como o conjunto dos números na 
forma de uma fração 𝑎𝑎
𝑏𝑏
 , onde 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 são inteiros e 𝑏𝑏 ≠ 0. Sendo que 𝑎𝑎 é o numerador da fração, 
e 𝑏𝑏 o denominador da fração. 
𝑄𝑄 = �
𝑎𝑎
𝑏𝑏
 𝑜𝑜𝑎𝑎𝑝𝑝𝑣𝑣 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒, 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ∈ 𝑍𝑍 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ≠ 0 � 
Soma entre números racionais : 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
+
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎.𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑏𝑏;𝑑𝑑)
𝑏𝑏 + 𝑐𝑐.𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑏𝑏;𝑑𝑑)
𝑑𝑑
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑏𝑏;𝑑𝑑)
 
Multiplicação entre números racionais : 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
.
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎. 𝑐𝑐
𝑏𝑏.𝑑𝑑
 
 
Divisão entre números racionais : 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
÷
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎.𝑑𝑑
𝑏𝑏. 𝑐𝑐
 ;𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑐𝑐 ≠ 0 
 
Elemento Inverso : 
 Dado 𝑎𝑎 ∈ 𝑄𝑄, não nulo, existe o elemento inverso 𝑏𝑏 ∈ 𝑄𝑄, 𝑜𝑜𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 : 
𝑎𝑎.𝑏𝑏 = 1 
 O elemento inverso 𝑏𝑏 pode ainda ser escrito na forma: 
𝑏𝑏 =
1
𝑎𝑎
= 𝑎𝑎−1 
 
Frações equivalentes: 
 As frações equivalentes são aquelas que embora escritas de forma diferente, 
representam a mesma quantidade. A diferença entre elas resulta de uma multiplicação tanto no 
numerador como no denominador por um mesmo valor natural diferente de zero (o que resulta 
em uma multiplicação por 1). Como no exemplo abaixo. 
 
 
12
9
=
4
3
,𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑣𝑣 
12
9
=
4
3
.
3
3
=
4
3
. 1 =
4
3
 
 
 
 
Números Decimais: 
 Quando a divisão da fração representada por um número racional não resulta 
em um valor exato (valor inteiro), então este número racional pode ser representado 
por um número decimal (um número que possui vírgula e casas decimais após a virgula). 
Os valores à direita da virgula na divisão podem ser representados por potências na base 
10, porém com expoentes negativos, como no exemplo abaixo onde temos que a fração 
5
8
 pode ser representada através do número decimal 0,625: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre números decimais, 
também podem ser realizadas através de suas frações correspondentes, como no exemplo 
abaixo: 
 
1,5 + 0,625 =
3
2 +
5
8 =
3.4 + 5.1
8 =
17
8 = 2,125 
 
Dizima periódica: 
 Quando um número decimal possui infinitas casas decimais à direita da vírgula, este 
número recebe a denominação de dízima periódica. A dízima periódica pode ser simples 
(quando possuema parte inteira e após a vírgula apenas algarismos que se repetem, e.g 1,33333), 
ou composta (quando possuem a parte inteira e depois da vírgula algarismos que não se 
repetem, além dos algarismos que se repetem, eg. 0,78888). 
 
Obtenção da fração correspondente a uma Dízima periódica: 
 Para obter a fração correspondente a uma dizima periódica 𝑎𝑎, você pode utilizar os 
passos abaixo: 
● 1o passo: multiplique a dízima periódica 𝑎𝑎 por uma potência de 10 de forma que o 
número resultante possua a parte dos algarismos que se repetem logo após a virgula. 
● 2o passo: multiplique novamente a dízima periódica por uma potência de 10 de forma 
que o número resultante possua a primeira parte referente aos algarismos que se 
repetem logo a esquerda da virgula. 
● 3o passo: Subtraia a equação do 1o passo da equação do 2o passo. 
5 ∟8 
 50 0,625 
 20 
 40 
 0 
 5
8 = 0,625 = 0. 100 + 6. 10−1 + 2. 10−2 + 5. 10−3 
● 4o passo: Isole o valor de 𝑎𝑎 na expressão obtendo o valor da fração correspondente a 
dízima. 
 
 O exemplo abaixo ilustra estes passos para a dizima 𝑎𝑎 = 1,33333 
 1o passo: 
 Como neste caso os algarismos após a vírgula já se repetem, então podemos 
 escrever: 
100. 𝑎𝑎 = 1,33333 ⇒ 𝑎𝑎 = 1,33333. 
 
 2o passo: De forma a que parte referente aos algarismos que se repetem apareça logo 
 a esquerda da virgula, devemos agora multiplica a dízima 𝑎𝑎, por 10. Assim podemos 
 escrever: 
10. 𝑎𝑎 = 13,3333. 
 
 3o passo: Subtraindo a equação do passo 1 da equação do passo dois temos: 
 
10. 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 = 13,3333 − 1,3333 
9. 𝑎𝑎 = 12 
 
 4o passo: 𝑎𝑎 na expressão obtendo o valor da fração equivalente a dízima. 
 
𝑎𝑎 =
12
9
=
4
3
 
 
 
 
Conjunto dos números Irracionais: 
 Existem números decimais que possuem infinitas casas decimais e não 
periódicas , e que não podem ser expressos como uma fração entre dois inteiros, estes 
números pertencem ao conjunto dos números Irracionais. São exemplos destes 
números o 𝜋𝜋 = 3.14159265 … o número de Neper 𝑒𝑒 = 2.718281 … 
 
Conjunto dos números Reais: 
 A união do conjunto dos números Racionais com o conjunto dos números 
Irracionais forma o conjunto dos números reais. 
Propriedades dos números reais: 
 Para os números no conjunto dos números Reais (R) valem as mesmas 
propriedades de soma, multiplicação, distributiva, elemento oposto, e elemento 
inverso, já vistas. Além desta propriedades, temos que : 
● Para qualquer 𝑎𝑎 real, −𝑎𝑎 = (−1).𝑎𝑎 𝑒𝑒 − (−𝑎𝑎) = 𝑎𝑎 
● Para todo 𝑎𝑎 > 0,𝑎𝑎𝑝𝑝.𝑎𝑎𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑝𝑝+𝑞𝑞 𝑒𝑒 (𝑎𝑎𝑝𝑝)𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑝𝑝.𝑞𝑞 
● Para todo 𝑎𝑎 > 0, 𝑏𝑏 > 0, = (𝑎𝑎. 𝑏𝑏)𝑝𝑝 = 𝑎𝑎𝑝𝑝. 𝑏𝑏𝑝𝑝 
● Para todo 𝑎𝑎
𝑏𝑏
> 0, �𝑎𝑎
𝑏𝑏
�
𝑝𝑝
= 𝑎𝑎𝑝𝑝
𝑏𝑏𝑝𝑝
 
 
Raiz n-ésima: 
 Dados um número real 𝑎𝑎 ≥ 0 e um número natural 𝑛𝑛 > 1 chamamos de raiz n-ésima 
de 𝑎𝑎 ao número 𝑎𝑎, tal que: 
𝑎𝑎 = √𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎
1
𝑛𝑛 ⇔ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 
Potência com expoente Racional: 
 Seja a 𝑎𝑎 > 0 um número real e 𝑝𝑝
𝑞𝑞
> 0 um número racional então: 
𝑎𝑎
𝑝𝑝
𝑞𝑞 = √𝑎𝑎𝑝𝑝
𝑞𝑞
 
 
 
Semana 4 
 
Expressões Numéricas: 
 Uma expressão numérica é uma combinação de números, operações e símbolos gráficos 
(parênteses, chaves e/ou colchetes). 
 
Ordem das operações nas Expressões Numéricas: 
● 1º Resolver as potências e raízes 
● 2º Resolver as multiplicações e divisões 
● 3º Resolver as somas e subtrações 
 
Em uma expressão numérica com símbolos gráficos (parênteses, chaves e/ou colchetes), 
devemos seguir a seguinte ordem: 
● 1º Resolver as operações dentro de parênteses 
● 2º Resolver as operações dentro de colchetes 
● 3º Resolver as operações dentro de chaves 
 
Obs. Cuidado com potenciações: 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 ≠ �𝑎𝑎𝑏𝑏�𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 = 𝑎𝑎(𝑏𝑏𝑐𝑐) 
 
 
Problemas Matemáticos: 
 Os problemas matemáticos muitas vezes buscam modelar um problema real, para a 
obtenção de uma solução matemática, que muitas vezes precisa ser validada em relação a sua 
aplicabilidade no mundo real. 
 Os problemas matemáticos são classificados por alguns autores como: 
● Exercícios de reconhecimento: onde o objetivo é identificar ou lembrar um conceito; 
● Exercícios de algoritmos: servem para treinar a habilidade em executar um algoritmo e 
reforçar conhecimentos anteriores; 
● Problemas-padrão: a solução do problema está contida no enunciado, a tarefa básica é 
transformar a linguagem usual em linguagem matemática; 
● Problemas heurísticos: sua solução envolve as operações que não estão contidas de 
forma explícita no enunciado, exigem um tempo para pensar e arquitetar uma 
estratégia; 
● Problemas de aplicação (contextualizados): são aqueles que retratam situações reais do 
dia a dia e exigem o uso da linguagem matemática para serem resolvidos. 
 
Obs. Fique sempre atento, muitos problemas matemáticos podem ser resolvidos com os 
conceitos de MMC e MDC da semana 2, muitos outros com os conceitos de razão e proporção 
da semana 5, e com os conceitos de regra de 3 da semana 6. Sendo o principal desafio, 
identificar e aplicar estes conceitos de acordo com o enunciado do problema. 
 
 
 
Semana 5 
 
Razão 
 Dados dois números reais 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑏𝑏 ≠ 0, chamamos de razão entre 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑏𝑏 ao 
quociente, 
𝑞𝑞 =
𝑎𝑎
𝑏𝑏
 
Nesta razão, 𝑎𝑎 é chamado de Antecedente e 𝑏𝑏 Consequente, e Lê-se "𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑣𝑣𝑜𝑜á 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑏𝑏". 
 
Proporção 
 A proporção consiste na igualdade entre duas razões. Sejam 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑑𝑑 , números 
reais com 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑒𝑒 𝑑𝑑 ≠ 0. Então podemos dizer que os números 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑑𝑑 nessa ordem 
formam uma proporção: 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
= 
𝑐𝑐
𝑑𝑑
 𝑐𝑐𝑞𝑞 𝑎𝑎: 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐:𝑑𝑑 
 
 Lê-se "𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑣𝑣𝑜𝑜á 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑏𝑏, 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑣𝑣𝑜𝑜á 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑑𝑑". Os termos 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑑𝑑 são denominados 
"extremos" da proporção, e os termos 𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑐𝑐 são denominados "meios". 
 
Propriedade fundamental das proporções: 
Em qualquer proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
Outras propriedades das proporções: 
 
Dado que os números 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑑𝑑 nessa ordem formam uma proporção: 
 
● 𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑎𝑎
= 𝑐𝑐+𝑑𝑑
𝑐𝑐
 𝑒𝑒 𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑏𝑏
= 𝑐𝑐+𝑑𝑑
𝑑𝑑
 
● 𝑎𝑎−𝑏𝑏
𝑎𝑎
= 𝑐𝑐−𝑑𝑑
𝑐𝑐
 𝑒𝑒 𝑎𝑎−𝑏𝑏
𝑏𝑏
= 𝑐𝑐−𝑑𝑑
𝑑𝑑
 
● 𝑎𝑎+𝑐𝑐
𝑏𝑏+𝑑𝑑
= 𝑎𝑎
𝑏𝑏
= 𝑐𝑐
𝑑𝑑
 𝑒𝑒 𝑎𝑎−𝑐𝑐
𝑏𝑏−𝑑𝑑
= 𝑎𝑎
𝑏𝑏
= 𝑐𝑐
𝑑𝑑
 
● 𝑎𝑎.𝑐𝑐
𝑏𝑏.𝑑𝑑
= 𝑎𝑎2
𝑏𝑏2
= 𝑐𝑐2
𝑑𝑑2
 
 
 
Grandezas 
 Podemos dizer que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado (p.ex. 
tempo, distância, velocidade, etc). 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais: 
 
 Duas grandezas são diretamente proporcionais, se quando uma aumenta ou diminui, a 
outra também aumenta ou diminui na mesma proporção. 
 Matematicamente, se 𝑎𝑎1 𝑒𝑒 𝑎𝑎2 são dois valores de uma grandeza 𝑎𝑎, relacionados com os 
valores 𝑏𝑏1 𝑒𝑒 𝑏𝑏2 de uma outra grandeza 𝑏𝑏, que é diretamente proporcional, então a razão entre 
estes valores é uma constante, ou seja: 
 
𝑎𝑎1 
𝑏𝑏1 
= 
𝑎𝑎2 
𝑏𝑏2 
= 𝑘𝑘; 𝑘𝑘 é 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣𝑜𝑜𝑎𝑎𝑛𝑛𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑡𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒 
 
 
 Imagine por exemplo o custo de uma mercadoria, em relação a quantidade de 
mercadoria comprada. Temos que quanto mais mercadoria comprada, maior será o custo. Assim 
temos que mercadoria e o custo, são grandezas diretamente proporcionais. Imagine por 
exemplo que 12 reais comprem 1kg de café. Então com 24 reais compram 2kg de café . Assim, 
se aplicarmos a equação acima temos: 
 
12
1
= 
24
2
= 12 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais: 
 
 Duas grandezas são inversamente proporcionais, se quando uma varia a outra também 
varia na proporção inversa, ou seja, se uma aumenta a outra diminui na mesma proporção. 
 Matematicamente, se𝑎𝑎1 𝑒𝑒 𝑎𝑎2 são dois valores de uma grandeza 𝑎𝑎, relacionados com os 
valores 𝑏𝑏1 𝑒𝑒 𝑏𝑏2 de uma outra grandeza 𝑏𝑏, que é inversamente proporcional, então o produto 
entre estes valores é uma constante, ou seja: 
 
𝑎𝑎1 .𝑏𝑏1 = 𝑎𝑎2 .𝑏𝑏2 = 𝑘𝑘; 𝑘𝑘 é 𝑐𝑐ℎ𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣𝑜𝑜𝑎𝑎𝑛𝑛𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑡𝑡𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝑒𝑒 
 
 Imagine por exemplo que um pintor leva 4 dias para pintar uma casa, se dobrarmos o 
números de pintores (colarmos 2 pintores trabalhando), o tempo para pintar a casa cairá pela 
metade ( levará 2 dias). Assim, temos que quanto mais pintores tivermos trabalhando, menor 
será o tempo para pintar uma casa. Portanto, pintores e tempo são grandezas inversamente 
proporcionais nesta situação. Assim se aplicarmos a equação acima temos: 
 
1.4 = 2.2 = 4 
 
 
Várias grandezas proporcionais: 
 
 De uma forma geral, se uma grandeza 𝑎𝑎 é diretamente proporcional às grandezas 
𝑏𝑏1 ,𝑏𝑏2 ,𝑏𝑏3 , … ,𝑏𝑏𝑛𝑛 e inversamente proporcional às grandezas 𝑣𝑣1 , 𝑣𝑣2 ,𝑣𝑣3 , … , 𝑣𝑣𝑛𝑛 , então estas 
grandezas juntas satisfazem uma relação da forma: 
 
 
𝑎𝑎 = 𝑘𝑘
𝑏𝑏1 .𝑏𝑏2 .𝑏𝑏3 … 𝑏𝑏𝑛𝑛 
𝑣𝑣1 . 𝑣𝑣2 . 𝑣𝑣3 … 𝑣𝑣𝑛𝑛 
 ; 𝑘𝑘 𝑣𝑣𝑒𝑒𝑛𝑛𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑣𝑣𝑜𝑜𝑎𝑎𝑛𝑛𝑜𝑜𝑒𝑒 
 
 
 
Semana 6 
 
Regra de Três Simples: 
 É um processo prático para resolver problemas que envolvem a relação de 
proporcionalidade entre duas grandezas, conhecendo três de seus valores e tendo, por objetivo, 
encontrar um quarto valor. São classificadas em dois tipos: 
● Direta, quando as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. 
● Inversa, quando as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. 
 
 
Passos para resolver uma regra de três simples devemos seguir os seguintes passos: 
 
● Organize os dados em uma tabela de comparação das grandezas com duas colunas, 
onde cada coluna corresponde a uma grandeza. 
● Na coluna da grandeza que corresponde ao valor que se deseja determinar, na posição 
correspondente ao valor a ser determinado escreva 𝑎𝑎 . 
● Na coluna da outra grandeza, relacione os valores correspondentes àquela grandeza, 
lembrando que devem estar sempre na mesma unidade. 
● Analise a variação das grandezas. Indique se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Você pode fazer isso utilizando setas no mesmo sentindo (diretamente 
proporcionais) ou no sentido oposto (inversamente proporcionais), ou ainda usando um 
sinal de "+"(diretamente proporcionais) ou de "-" (inversamente proporcionais). 
● Estabeleça uma proporção com os valores da tabela e resolva. 
 Obs1. Cada coluna da tabela forma uma razão. 
 Obs2. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, invertemos a razão 
 correspondente aos valores da tabela da segunda grandeza, para a 
montagem da proporção). 
 
Ex. Se 8 operários levantam um muro em 12 dias, quantos operários serão necessários para 
levantar o mesmo muro em 3 dias? 
 
Operários Dias 
8 12 
𝑎𝑎 3 
+ - 
 
 
8
𝑎𝑎
=
3
12
⟺
1
𝑎𝑎
=
3
96
⟺
1
𝑎𝑎
=
1
32
⇒ 𝑎𝑎 = 32 𝑓𝑓𝑞𝑞𝑛𝑛𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛á𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑣𝑣 
 
 
Regra de Três Composta: 
 É um processo prático para resolver problemas que envolvem a relação de 
proporcionalidade entre três ou mais grandezas, tendo por objetivo, encontrar um valor 
desconhecido de uma delas. 
 
Passos para resolver uma regra de três simples devemos seguir os seguintes passos: 
 
● Organize os dados em uma tabela de comparação das grandezas, onde cada coluna 
corresponde a uma grandeza. 
● Na coluna da grandeza que corresponde ao valor que se deseja determinar, na posição 
correspondente ao valor a ser determinado escreva 𝑎𝑎 . 
● Nas colunas das demais grandezas, relacione os valores correspondentes a cada uma 
das grandezas, lembrando que devem estar sempre na mesma unidade. 
● Analise a variação das grandezas. Indique se são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Você pode fazer isso utilizando setas no mesmo sentindo (diretamente 
proporcionais) ou no sentido oposto (inversamente proporcionais), ou ainda usando um 
sinal de "+"(diretamente proporcionais) ou de "-" (inversamente proporcionais). 
● Estabeleça uma proporção com os valores da tabela e resolva. 
 Obs1. Cada coluna da tabela forma uma razão. 
 Obs2. Quando uma determinada grandeza é inversamente proporcional, invertemos a 
 razão correspondente aos valores da tabela daquela grandeza, para a montagem 
 da proporção). 
 
Ex. Dezoito mineiros extraem, em 25 dias, 3 toneladas de minério de ferro. Quantos dias serão 
necessários para que 30 mineiros consigam extrair 6 toneladas? 
 
Dias Mineiros Ferro 
25 18 3 
𝑎𝑎 30 6 
+ - + 
 
 
25
𝑎𝑎
=
30
18
.
3
6
⟺
1
𝑎𝑎
=
30.3
18.6.25
⟺
1
𝑎𝑎
=
90
2700
⟹ 𝑎𝑎 =
2700
90
= 30 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑎𝑎𝑣𝑣 
 
 
 
Semana 7 
 
Porcentagem: 
 A porcentagem pode ser entendida como uma forma de expressarmos uma dada 
quantidade em relação a um todo que foi dividido em 100 partes iguais. Assim por exemplo, se 
uma dada quantidade de interesse representa 60 partes das 100 partes de algo, ela 
corresponderá a 60%. Podemos representar a porcentagem na forma de uma fração. Temos que 
: 
1% =
1
100
; (𝑞𝑞𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 100 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜𝑒𝑒𝑣𝑣) 
 
 Assim, se quisermos calcular 𝑎𝑎% de uma determinada quantidade 𝑏𝑏, basta realizarmos 
o cálculo de 𝑎𝑎. 1
100
.𝑏𝑏. 
 Suponha por exemplo que desejamos calcular 20% de 30. Aplicando a fórmula temos: 
20. 1
100
. 30 = 6. 
 
Escrevendo frações na forma de porcentagens 
 Uma fração pode ser escrita na forma de uma porcentagem. Em muitas situações é fácil 
determinarmos s o valor da porcentagem, reescrevendo a fração na forma de uma fração 
equivalente que tenha como denominador o número 100. Veja os exemplos a seguir: 
 
1
5
=
1
5
.
20
20
=
20
100
= 20% ; 
1
4
=
1
4
.
25
25
=
25
100
= 25% 
 
 Também é possível aplicar regra de três para determinarmos a porcentagem 
correspondente a uma dada fração. Suponha por exemplo que queremos determinar a 
qual porcentagem corresponde 3
8
 de um determinado valor. Aplicando a regra de três 
temos: 
Porcentagem(%) Quantidade 
100 1 
𝑎𝑎 3
8
 
+ + 
 
Obs1. Note que 100% 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑣𝑣𝑝𝑝𝑐𝑐𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑎𝑎 100
100
= 1 
Obs2. As grandezas são diretamente proporcionais, quanto maior a quantidade, maior 
a porcentagem. 
100
𝑎𝑎
=
1
3
8
⟺
100
𝑎𝑎
=
8
3
⟹ 𝑎𝑎 =
100.3
8
= 37,5% 
 
 
 
Aumento e Desconto 
 É bastante comum em problemas envolvendo porcentagens, queremos determinar um 
novo valor 𝑉𝑉𝑛𝑛 de um item que possuia originalmente um valor 𝑉𝑉, e que sofreu um aumento ou 
um desconto de uma porcentagem de 𝑎𝑎%. Aplicando-se os conceitos de porcentagem chega-
se as seguintes expressões para o cálculo do aumento ou do desconto. 
 
Aumento: 
 𝑉𝑉𝑛𝑛 = 𝑉𝑉 + 𝑥𝑥
100
.𝑉𝑉 = �1 + 𝑥𝑥
100
� .𝑉𝑉 
 
Desconto: 
𝑉𝑉𝑛𝑛 = 𝑉𝑉 −
𝑎𝑎
100
.𝑉𝑉 = �1 −
𝑎𝑎
100
� .𝑉𝑉 
 
 
Juros Simples e Juros Compostos: 
 É comum em financiamentos, ou pagamentos de dívidas o cálculo de juros. Vimos duas 
modalidades de juros: os juros simples e os juros compostos. Quando aplicamos juros simples, 
não há incidência de juros sobre a taxa de juros aplicada ao longo do período considerado, 
somente em relação ao capital em questão. Já no caso de juros compostos, há incidência de 
juros também sobre a taxa de juros que foi aplicada ao longo do período considerado, 
resultando no que muitas vezes é conhecido como "juros sobre juros". 
 
Juros Simples 
 Para um capital 𝑀𝑀 a uma taxa de juros simples 𝑝𝑝 por um período de tempo 𝑜𝑜 , o valor do 
juros 𝐽𝐽 ao final do período será: 
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀. 𝑝𝑝. 𝑜𝑜 
 
 O valor resultante da soma do 𝑀𝑀 com os juros 𝐽𝐽 é denominado montante, 𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 + 𝐽𝐽. 
Assim: 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 + 𝑀𝑀. 𝑝𝑝. 𝑜𝑜 = 𝑀𝑀(1 + 𝑝𝑝. 𝑜𝑜) 
 
 
 
Juros Compostos 
 Para um capital 𝑀𝑀a uma taxa de juros compostos 𝑝𝑝 por um período de tempo 𝑜𝑜 , o valor 
do montante obtido é dado por: 
𝑀𝑀 = 𝑀𝑀. (1 + 𝑝𝑝)𝑡𝑡 
 
 E os juros 𝐽𝐽 ao final do período será: 
𝐽𝐽 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 
 
 
Aqui terminamos o nosso material de revisão, lembre-se que este material não deve ser 
utilizado como única fonte de estudos, e que o estudo dos materiais-base/textos-base são de 
fundamental importância para que você possa ter um bom aproveitamento nas avaliações.