Escoamento em Condutos

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H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
➢ Escoamento sob pressão : em condutos
Escoamentos
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
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Á
U
LIC
A
U F R N
➢ Escoamentos por gravidade: em condutos fechados ou abertos, com superfície livre
Escoamentos
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R NProblema prático: 
Qual a vazão?
Qual o diâmetro?
Qual a perda de carga?
Escoamento Uniforme em Condutos Forçados
➢ Noções de perda de carga contínua 
Bernoulli
Fluido perfeito
cte
g
UP
z =++
2
2

Fluidos reais
21
2
22
2
2
11
1
22
−+++=++ hp
g
UP
z
g
UP
z

Daniel Bernoulli
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
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Á
U
LIC
A
U F R N
Disciplinas anteriores: 
ℎ𝑝 = 𝒇
𝐿
𝐷
𝑈2
2𝑔
f = Fator de resistência
D
ia
gr
am
a 
d
e 
M
O
O
D
Y
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
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R
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A
U F R N
perda de carga contínua 
➢ Fórmulas Empíricas 
Perda de carga (hp, hf ou ΔH ) é a perda de energia (por unidade de peso) em um trecho de comprimento L, 
devida ao escoamento, e é expressa em metros de coluna do líquido que se escoa. 
A relação hp/L é denominada de perda de carga unitária (m/m) e é comumente designada pela letra J: 
L
hp
J =
Têm como base a experimentação (tubos de seção circular).
Para um mesmo diâmetro, a acréscimos de vazão correspondem 
acréscimos de perda de carga.
Consenso:
Tubos de maior diâmetro permitem conduzir maior vazão em condições de 
igualdade de perdas de carga
ou 
O estabelecimento das formulas empíricas seguia uma sistemática bem definida.
Movimento Uniforme
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.Sc. A
d
a Scu
d
elari
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U F R N
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elari
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a Scu
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elari
A resistência ao escoamento da água é:
 - diretamente proporcional ao comprimento da canalização;
 - inversamente proporcional a uma potencia do diâmetro;
 - função de uma potencia da velocidade média;
 - independente da posição do tubo;
 - independente da pressão interna a qual o líquido escoa;
 - variável (de maneira geral) com a natureza das paredes dos tubos (rugosidade);
Sobre rugosidade, depende:
 - do material empregado na fabricação dos tubos;
 - o processo de fabricação dos tubos;
 - o estado de conservação das paredes dos tubos;
Considerações:
H
ID
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U
LIC
A
U F R N
De pressão: 
Componente peso: 
dzAsendsA  −=−
Equilíbrio entre as forças que 
provocam a aceleração do fluido 
(peso e forças de pressão) e as 
forças que se opõem ao escoamento 
(resistência das paredes do tubo)
DuBuat (1779) : Característica básica do movimento uniforme
 
Forças acelerativas:
Ads
s
p
.


−
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
Forças de Resistência: 
dsP0−
Condição de equilíbrio:
0. 0 =−−


− dsPdzAAds
s
p

A
P
ds
dz
ds
dp 0 =





+−
hRA
PP
z
ds
d





00 . ==





+−
variação da altura piezométrica ao longo do escoamento, que 
para o movimento uniforme corresponde à perda de carga 
unitária J 
hR
J

 0= completamente geral
H
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U F R N
P/ conjuntos de seção circular: 
44
2 D
D
D
Rh ==


DR
J
h 


 00 4
==

 0
4
1
=DJ
➢ Fórmulas Empíricas: 
( )ufDJ =
4
1
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
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U F R N
Prony (1804): 
50 observações em tubos 
chumbo, ferro branco, e ferro 
fundido, com diâmetros entre 27 
e 487mm 
2
4
1
bUaUDJ += (a=0.0000173; b=0.000348) 
Dupuit (1855): 
20003855.0
4
1
UDJ =
Julius Weisbach (1845) 
g
U
D
fJ
2
1 2
=
03025.020003855.04 == gf
U
f
0094711.0
01439.0 +=
coincide com a da expressão hoje 
universalmente empregada. 
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
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U
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U F R N
Observações:
 Nenhuma consideração era dada à rugosidade das paredes dos condutos. Este fato devia-se em parte à própria 
limitação das observações experimentais, mas principalmente à crença de que as partículas próximas à parede formavam 
uma camada estagnada sobre a qual se escoava o restante do fluido. 
 A noção de velocidade nula junto às paredes provou estar correta e hoje constitui a base da teoria da camada 
limite. 
 A conclusão sobre a influência da rugosidade foi precipitada e não resistiu a evidencia experimental que se 
seguiu.
D
.Sc. A
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a Scu
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LIC
A
U F R N
Henry Darcy (1855): 
Comparando, especialmente, os resultados de experiências em tubos de ferro fundido novos com 
valores relativos a tubulações há vários anos em funcionamento, Darcy percebeu que os tubos 
usados apresentavam resistência superior, atribuindo esta às irregularidades decorrentes das 
incrustações que se formavam, ao longo do tempo, nesse tipo de material, aumentando sua 
rugosidade.
Experiências:
Tubos- ferro fundido, chumbo, ferro doce, fundição asfaltada e vidro. Diâmetros: 0.012 a 0.5m
2
4
1
U
D
b
aDJ 





+=
a=0.0002535; b=0.00000647 ( Ferro fundido novo)
a=0.0005070; b=0.00001294 ( Ferro fundido com incrustações)
Maior interesse prático
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
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U F R N
a=0.0005070
b=0.00001294
2
4
1
U
D
b
aDJ 





+=
Explicitando Q 5
25
3 10391.8
10288.3
D
Q
D
J 




 
+=
−
−
K
Tabelado em função de D
5
5
3 110391.8
10288.3
DD 




 
+
−
−
2QKJ =
(Apresentação alemã da fórmula de Darcy)
2'
2
2
QK
g
V
=
QKV ''=
D
.Sc. A
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a Scu
d
elari
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U F R N
Apresentação americana da fórmula de Darcy
g
U
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L
fhp
2
2
=
D
.Sc. A
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a Scu
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elari
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A
U F R N
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
Entretanto, continuava sem explicação a verdadeira natureza do fenômeno. 
Como se poderia conciliar, por exemplo, a ideia da velocidade nula junto às paredes com os 
dados que comprovavam o aumento da dissipação de energia por efeito das irregularidades 
do contorno?
Se não havia escorregamento das partículas de fluido junto às paredes, qual poderia ser o 
efeito da rugosidade?
Somente com a compreensão do papel da viscosidade no mecanismo do escoamento foi 
possível elucidar convenientemente essas questões.
H
ID
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LIC
A
U F R N
Fórmula de Hazen-Willians
87.485.1
85.1
65.10
DC
Q
J =
C = coeficiente de rugosidade que depende a natureza e estado das paredes do tubo
É recomendada principalmente; em calculo de redes de distribuição de água, 
adutoras, sistemas de recalque:
- escoamento turbulento;
- água a 200 C
- Diâmetro maior ou igual a 4” 
Allen Hazen and Gardner Stewart Williams
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
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LIC
A
U F R Nna forma: 85.1QJ =
Apesar de sua popularidade entre projetistas a fórmula de Hazen–Williams deve ser vista com reservas.
87.485.1
85.1
65.10
DC
Q
J =
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao
Para projetos de instalações prediais de água fria ou quente, cuja topologia é caracterizada por trechos curtos de 
tubulações, variação de diâmetros (em geral menores que 4”) e presença de grande número de conexões, é usual a 
utilização de uma fórmula empírica, na forma:
a)Aço galvanizado novo e ferro fundido conduzindo água fria:
88.4
88.1
002021.0
D
Q
J = Q(m3/s), D (m) e J(m/m)
b) P.V.C. rígido, ou cobre conduzindo água fria:
75.4
75.1
0008695.0
D
Q
J = Q(m3/s), D (m) e J(m/m)
Esta equação é recomendada pela ABNT, no projeto de água fria em instalações hidráulico-sanitárias. Estas equações 
podem ser tabeladas na forma 
mQJ =
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
Na tabela a seguir apresenta-se um exemplo dos valores de β para tubos com junta soldável (marrom) e junta roscável 
(brando), classe 15 e pressão de serviço de 0.75MPa.
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R NFórmula de Flamant
Outra fórmula empregada para tubulações de pequeno diâmetro.
4
7
4 D
v
b
DJ
= ou 
25.175.14 −= DbvJ
com v(m/s), D (m) e J(m/m)
b= 0.00023 para canos de ferro ou aço usados;
b= 0.000185 para canos de ferro e aço novos;
b= 0.000140 para canos de chumbo;
b= 0.000130 para canos de cobre;b= 0.000120 para canos de plástico (PVC,etc.)
A tabela a seguir é para b= 0.00023 (Azevedo Neto)
𝐽 = 0,000824
𝑄1,75
𝐷4,75
Para instalações prediais de água fria, tem-se que:
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R NFórmula de Scobey
Indicada para o cálculo da perda de carga em redes de irrigação por aspersão e gotejamento que utilizam tubos leves:
𝐽 =
𝐾𝑠𝑄1,9
245𝐷4,9
Fórmula de Lévy
Fórmula de Manning
Fórmula de Strickler
Fórmula de Basin 
Fórmula de Kutter
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
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U
LIC
A
U F R N
D
.Sc. A
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a Scu
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elari
Entretanto, continuava sem explicação a verdadeira natureza do fenômeno. 
Como se poderia conciliar, por exemplo, a ideia da velocidade nula junto às paredes com os 
dados que comprovavam o aumento da dissipação de energia por efeito das irregularidades 
do contorno?
Se não havia escorregamento das partículas de fluido junto às paredes, qual poderia ser o 
efeito da rugosidade?
Somente com a compreensão do papel da viscosidade no mecanismo do escoamento foi 
possível elucidar convenientemente essas questões.
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
A resistência as deformações no interior de um escoamento é resultante da ação da viscosidade, propriedade física dos 
fluidos que origina o aparecimento de tensões tangenciais na superfície de contato entre elementos de fluido adjacentes 
dotados de velocidades distintas.
dy
dv
 =
➢ Noções de Viscosidade
Como dito anteriormente:
➢ Nenhuma consideração era dada à rugosidade das paredes dos condutos. 
➢ Este fato devia-se em parte à própria limitação das observações experimentais, mas principalmente à crença de que as 
partículas próximas à parede formavam uma camada estagnada sobre a qual se escoava o restante do fluido. 
➢ A noção de velocidade nula junto às paredes provou estar correta e hoje constitui a base da teoria da camada limite. 
➢ Entretanto, a conclusão sobre a influência da rugosidade foi precipitada e não resistiu a evidencia experimental que se 
seguiu.
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
➢ Escoamento Laminar e Turbulento - (Experiência de Reynolds)
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
Regime Laminar. Regime Turbulento.
As duas formas de escoamento estão relacionadas dos efeitos da viscosidade sobre a inércia das partículas de fluido. No 
regime laminar, os efeitos viscosos são preponderantes, impedindo a agitação no interior do fluido. No regime 
turbulento, a inércia das partículas vence as resistências viscosas, estabelecendo-se um movimento caótico e irregular.
A partir dos resultados experimentais e do entendimento do problema sobre estes aspectos: 

 UDUD
Re ==
Fisicamente Re  à relação entre as forças de inércia e as forças de viscosidade.
Quanto maior Re → menor a influencia da viscosidade no escoamento.
Mudança de Regime
 Laminar → Turbulento (valor crítico superior)
 Turbulento → Laminar (valor crítico inferior)
Valor crítico superior – 12.000 e 14.000 (indefinido, depende da tranquilização inicial do fluido, 
geometria da entrada da tubulação e sua rugosidade (50.000) 
 Na prática 3.000 a 4.000
Valor crítico inferior – definido como o valor abaixo do qual toda a turbulência, de qualquer origem, é 
eliminada por ação viscosa (2.500) Na prática: Re < 2.000 Laminar
Transição Re >4.000 Turbulento 
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
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A
U F R N
D
.Sc. A
d
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U F R N
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.Sc. A
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a Scu
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elari
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R
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U
LIC
A
U F R N
➢ Resistência em tubos 
0
Abordagem => Análise dimensional/ Método de Rayleigh
edcba kDCU  =0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )e
dcba
LTMLMLLLTTML 113121 −−−−−− =
( ) ( ) ( )dacdecdba TMLTML −−++−−+−− = 321
1=c+d
-1=a+b-d-3c+e
-2=-a-d
Resolvendo em função de d e e.
c = 1 – d,
a = 2 – d,
b = -1 - a + 3c – c + d = - d – c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )eddedd
kDUC 
−−−−
=
12
0
ed
D
k
UD
UC 











=


 2
0
eRUD
1
=













D
k
rugosidade relativa 
22
0 , U
D
k
RFU
D
k
UD
F e
ed



 





=




















=
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
Vimos → 

 0
4
1
=DJ
L
hp
J =
D
L
hp

 04
=
D
LU
D
k
RF
hp
e

 2,4 





= (x),(/) (8) 
D
LU
D
k
RF
hp
e


8
,84 2







=






=





D
k
RF
D
k
RF ee ,,8 '
g
U
D
L
f
g
U
D
L
D
k
RFhp e
22
,
22
' =





= f = Fator de resistência
g
U
D
L
fhp
2
2
=
Equação Geral da Resistência em tubos de seção circular.
Fórmula de Darcy-Weisbach
Então → 
2
0 , U
D
k
RF e  





=
➢ Equação Geral da Resistência
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
Considerações adicionais
 
 Igualando
DR
J
h 


 00 4
==
L
hp
J =
D
L
hp

 04
=
g
U
D
fJ
2
1 2
=
g
U
D
L
fhp
2
2
=
g
U
D
L
f
D
L
2
4 2
0 =


8
0 f
U=


como f é adimensional, 

 0 tem dimensão de velocidade, logo:
𝜏0
𝜌
= 𝑉∗
velocidade de corte ( exprime o esforço tangencial em dimensões de 
velocidade). Exprime o esforço tangencial em dimensões de velocidade. 
➢ Velocidade de corte ou velocidade de torvelinho
𝑉∗ = 𝑈
𝑓
8
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
𝑓 𝑅𝑒 ,
𝑘
𝐷
➢ Determinação do fator de resistência 
𝑅𝑒 =
𝑈𝐷
𝜐
Determinação de f 
Tem como base as experiências de Nikuradse e seus 
desdobramentos através de outro pesquisadores 
Tubos com rugosidade artificial, 
conseguida pela fixação de grãos de areia 
nas paredes da tubulação
Diagrama de Nikuradse ou Harpa de Nikuradse
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
Ampliação para Tubos comerciais
Diagrama de Moody Diagrama de Rouse
As curvas que originam estes diagramas foram traduzidas na forma de equações
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
𝑓 𝑅𝑒 ,
𝑘
𝐷
➢ Determinação do fator de resistência 
𝑅𝑒 =
𝑈𝐷
𝜐
Perfil de Velocidade
Camada limite 
V0 Placa Plana 
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
𝑙 = 𝑓 𝑅𝑒 
𝑅𝑒 < 5x105 escoamento no interior da CL é laminar 
Comprimento de mistura 
Subcamada limite laminar 
Se:
Comprimento de mistura < xcr - escoamento laminar
Comprimento de mistura > xcr - escoamento Turbulento
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
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LIC
A
U F R N
Tubo de seção circular 
Se:
Comprimento de mistura < xcr - escoamento laminar
Comprimento de mistura > xcr - escoamento Turbulento
Laminar
Turbulento
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
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LIC
A
U F R N
➢ Determinação do fator de resistência para escoamentos Laminares 
Re < 2.000 (2300) Laminar
Equação de Hagen-Poiseuille 
2
32
D
UL
hp


=
Equações Básicas do Movimento Laminar 
Hipóteses:
- Validade da condição de aderência 
0==RrV
- Velocidade máxima no eixo do tubo 
máxr VV ==0
- Distribuição linear das tensões tangenciais
L
rhp
L
hpD
24
0

 ==
L
rhp
vv máx


4
2
−=
máxvU
2
1
=
L
Dhp
U


32
2
=
L
Dhp
Q


128
4
=
eR
f
64
=
𝑣
𝑣𝑚á𝑥
= 1 −
𝑟
𝑅
2
L
Dhp
vmáx


16
2
=
dr
dv
dy
dv
 −==0
Igualando e integrando: 
D
.Sc. A
d
a Scu
d
elari
H
ID
R
Á
U
LIC
A
U F R N
➢ Referências
❑ Baptista, M.B.; Coelho, M.M.L.P; Cirilo, J.A.; Mascarenhas, F.C.B.; Hidráulica Aplicada, 2003
❑ Potter, M.C.; Wiggert, D.C.; Mecânica dos Fluidos; Ed. Cengage Learning Ltda., 2004
❑ Munson, B.R.; Young, D. F.; Okiishi, T.H.; Fundamentos da Mecânica dos Fluidos; Ed. Edgard 
Blücher Ltda.; 2004
❑ Fox, R.W.; McDonald, A.T.; Introdução à Mecânica dos Fluidos; Ed. Guanabara, 2004
❑ Giles,R.V.; Evett,J.B.; Liu Cheng; Mecânica dos Fluidos e Hidráulica; Ed. Makron Books; 1997
❑ Shames, I.; Mecânica dos Fluidos; Ed. Edgard Blücher Ltda.; 1973
❑ Brunetti, F.; Mecânica dos Fluidos; Ed. Pearson Prentice Hall; 2008
❑ Streeter, V.L.; Wylie,E.B.; Mecânica dos Fluidos ; Ed. McGraw-Hill Ltda.;1980
❑ Porto, R.M.; Hidráulica Básica; EESC-USP,2006
❑ Neves, E. T.; Curso de Hidráulica, edição esgotada.
❑ Pinto, N.L.S.; Neidert, S. H.; Fill, H.D.O.A.; Lambros, D.; Reis, F.C.A.; Tozzi, M.J.; Ota, J.J.; 
Notas de aula de Mecânica dos Fluidos, UFPR, 1998
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