Problemas Matemáticos Resolvidos

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115. **Teoria dos Números:** Encontre o resto da divisão de \( 123456789 \) por \( 59 \). 
 
 **Resposta:** O resto da divisão é \( 31 \). 
 
 **Explicação:** Usei o critério de divisibilidade por \( 59 \). 
 
116. **Álgebra Linear:** Determine a base e a dimensão do espaço linha da matriz \( 
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \). 
 
 **Resposta:** A base é \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 
0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \right\} \) e a dimensão é 2. 
 
 **Explicação:** Reduzi a matriz à forma escalonada para encontrar a base e a 
dimensão. 
 
117. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\cos x} \). 
 
 **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}} \). 
 
 **Explicação:** Usei a regra da cadeia para derivar \( \sqrt{\cos x} \). 
 
118. **Cálculo Integral:** Calcule \( \int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^{10}}} \, dx \). 
 
 **Resposta:** \( \int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^{10}}} \, dx = \frac{1}{5} (1 - x^{10})^{3/2} + C \). 
 
 **Explicação:** Usei a substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
119. **Geometria Analítica:** Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (1,2) 
\) e é paralela à reta \( 3x - 2y = 1 \). 
 
 **Resposta:** A equação é \( 3x - 2y = 4 \). 
 
 **Explicação:** Determinei a inclinação da reta paralela e utilizei o ponto dado para 
encontrar a equação. 
 
120. **Teoria dos Números:** Encontre o resto da divisão de \( 2^{2032} \) por \( 67 \). 
 
 **Resposta:** O resto da divisão é \( 46 \). 
 
 **Explicação:** Usei o teorema de Euler para reduzir o expoente. 
 
121. **Álgebra Linear:** Verifique se \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) pert 
 
ence ao espaço nulo da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 
\end{pmatrix} \). 
 
 **Resposta:** Não pertence. 
 
 **Explicação:** Resolvi o sistema homogêneo associado à matriz para verificar a 
pertinência. 
 
122. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{1 + e^{-2x}}) \). 
 
 **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{e^{-2x}}{2(1 + e^{-2x})} \). 
 
 **Explicação:** Usei a regra da cadeia para derivar \( \ln(\sqrt{1 + e^{-2x}}) \). 
 
123. **Cálculo Integral:** Calcule \( \int \frac{1}{x^3 \sqrt{25 - x^2}} \, dx \). 
 
 **Resposta:** \( \int \frac{1}{x^3 \sqrt{25 - x^2}} \, dx = -\frac{\sqrt{25-x^2}}{75x^2} + C \). 
 
 **Explicação:** Usei a substituição trigonométrica para resolver a integral.