Problemas Matemáticos Diversos

Prévia do material em texto

**Explicação:** Utilizei a regra da cadeia para derivar \( \sqrt{\cos x} \). 
 
547. **Cálculo Integral:** Calcule \( \int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^{10}}} \, dx \). 
 
 **Resposta:** \( \int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^{10}}} \, dx = \frac{1}{5} (1 - x^{10})^{3/2} + C \). 
 
 **Explicação:** Realizei a substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
548. **Geometria Analítica:** Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (1,2) 
\) e é paralela à reta \( 3x - 2y = 1 \). 
 
 **Resposta:** A equação é \( 3x - 2y = 4 \). 
 
 **Explicação:** Determinei a inclinação da reta paralela e utilizei o ponto dado para 
encontrar a equação. 
 
549. **Teoria dos Números:** Encontre o resto da divisão de \( 2^{2032} \) por \( 67 \). 
 
 **Resposta:** O resto da divisão é \( 46 \). 
 
 **Explicação:** Utilizei o teorema de Euler para reduzir o expoente. 
 
550. **Álgebra Linear:** Verifique se \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) pertence 
ao espaço nulo da matriz \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} 
\). 
 
 **Resposta:** Não pertence. 
 
 **Explicação:** Resolvi o sistema homogêneo associado à matriz para verificar a 
pertinência. 
 
... 
 
671. **Teoria dos Números:** Encontre o resto da divisão de \( 123456789 \) por \( 59 \). 
 
 **Resposta:** O resto da divisão é \( 31 \). 
 
 **Explicação:** Utilizei o critério de divisibilidade para calcular o resto. 
 
672. **Álgebra Linear:** Determine a base e a dimensão do espaço linha da matriz \( 
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \). 
 
 **Resposta:** A base é \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 
0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \right\} \) e a dimensão é 2. 
 
 **Explicação:** Reduzi a matriz à sua forma escalonada para encontrar os vetores da 
base e a dimensão. 
 
673. **Cálculo Diferencial:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\cos x} \). 
 
 **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}} \). 
 
 **Explicação:** Utilizei a regra da cadeia para derivar \( \sqrt{\cos x} \). 
 
674. **Cálculo Integral:** Calcule \( \int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^{10}}} \, dx \). 
 
 **Resposta:** \( \int \frac{x^5}{\sqrt{1 - x^{10}}} \, dx = \frac{1}{5} (1 - x^{10})^{3/2} + C \). 
 
 **Explicação:** Realizei a substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
675. **Geometria Analítica:** Determine a equação da reta que passa pelo ponto \( (1,2) 
\) e é paralela à reta \( 3x - 2y = 1 \). 
 
 **Resposta:** A equação é \( 3x - 2y = 4 \).