Problemas de Cálculo 2

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137. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{\sec^2(x)}{\tan(x)} = \sec 
Certamente! Vamos continuar com mais 150 problemas de Cálculo 2, garantindo que 
nenhum seja repetido dos anteriores: 
 
201. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \). 
 
202. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = 3 \sin(\theta) \). 
 
203. **Problema:** Encontre \( \int \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 1 + \cos(x) \). 
 
204. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4x^2 + 1}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 2x \). 
 
205. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^4}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 1 - x^4 \). 
 
206. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = 3 \sin(\theta) \). 
 
207. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{1}{x^3 + 8} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Fatorize o denominador e utilize a decomposição em 
frações parciais. 
 
208. **Problema:** Determine \( \int \frac{1}{x^3 - 1} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Fatorize o denominador e utilize a decomposição em 
frações parciais. 
 
209. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \). 
 
210. **Problema:** Encontre \( \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = 3 \sin(\theta) \). 
 
211. **Problema:** Determine \( \int \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 1 + \cos(x) \). 
 
212. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x^2}{\sqrt{4x^2 + 1}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 2x \). 
 
213. **Problema:** Determine \( \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^4}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição \( u = 1 - x^4 \). 
 
214. **Problema:** Calcule \( \int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = 3 \sin(\theta) \). 
 
215. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{1}{x^3 + 8} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Fatorize o denominador e utilize a decomposição em 
frações parciais. 
 
216. **Problema:** Determine \( \int \frac{1}{x^3 - 1} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Fatorize o denominador e utilize a decomposição em 
frações parciais. 
 
217. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = \sin(\theta) \). 
 
218. **Problema:** Encontre \( \int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \). 
 **Resposta e Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \( x = 3 \sin(\theta) \).