Problemas de Cálculo 2

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40. **Problema:** Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx = 0 \). Utilizamos a propriedade 
da integral de uma função periódica para calcular a integral. 
 
41. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(3x^2 + 1) \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 1} \). Aplicamos a regra da cadeia 
para encontrar a derivada de \( f(x) \). 
 
42. **Problema:** Determine a integral indefinida de \( g(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( \int g(x) \, dx = \sqrt{1 + x^2} + C \). Utilizamos a 
substituição trigonométrica para integrar \( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \). 
 
43. **Problema:** Calcule a integral definida \( \int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx \). 
 - **Resposta e Explicação:** \( \int_{0}^{1} x^2 \ln(x) \, dx = -\frac{1}{9} \ 
Entendi! Vou gerar 100 problemas de Cálculo 2 para você, cada um com sua resposta e 
explicação detalhada. Vamos lá: 
 
1. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = 6x - 5 \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da potência para derivar cada termo da função 
dada. 
 
2. **Problema:** Encontre a derivada da função \( g(x) = \frac{2x^3}{x^2 + 1} \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = \frac{2(3x^2(x^2+1) - 2x^3 \cdot 2x)}{(x^2+1)^2} \) 
 - **Explicação:** Utilizamos a regra do quociente e a regra da potência para derivar a 
função racional. 
 
3. **Problema:** Determine a derivada da função \( h(x) = e^{2x} \). 
 - **Resposta:** \( h'(x) = 2e^{2x} \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial 
composta. 
 
4. **Problema:** Calcule a derivada de \( y = \ln(3x^2 - 1) \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{6x}{3x^2 - 1} \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função logarítmica para derivar a função 
composta. 
 
5. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \sin(2x) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = 2\cos(2x) \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função seno para derivar a função trigonométrica 
composta. 
 
6. **Problema:** Determine a derivada de \( y = \cos^2(x) \). 
 - **Resposta:** \( y' = -2\cos(x)\sin(x) \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função cos² para derivar a função trigonométrica 
composta. 
 
7. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \tan(3x) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = 3\sec^2(3x) \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função tangente para derivar a função 
trigonométrica composta. 
 
8. **Problema:** Encontre a derivada de \( y = \frac{\sin(x)}{x} \). 
 - **Resposta:** \( y' = \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^2} \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do quociente para derivar a função trigonométrica 
racional. 
 
9. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = x \ln(x) + x \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra do produto para derivar a função produto. 
 
10. **Problema:** Calcule a derivada da função \( g(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 - **Resposta:** \( g'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 - **Explicação:** Aplicamos a regra da função raiz para derivar a função composta. 
 
11. **Problema:** Encontre a derivada de \( h(x) = \frac{e^x}{x} \).