Problemas de Cálculo 2

Prévia do material em texto

- **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a definição do limite fundamental. 
 
11. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + 2y = 4 \). 
 - **Resposta:** \( y = 2 + Ce^{-2x} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 - **Explicação:** Aplicamos o método do fator integrante para resolver a equação 
diferencial linear. 
 
12. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) entre \( x = 
1 \) e \( x = 4 \). 
 - **Resposta:** A área é \( \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \frac{10}{3} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a fórmula da área sob a curva. 
 
13. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx = \sqrt{1+x^2} + C \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a substituição trigonométrica para integrar. 
 
14. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)^{4x} 
\). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)^{4x} = e^{12} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a definição de limite exponencial. 
 
15. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(3x^2) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{2}{x} \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a regra da derivada do logaritmo. 
 
16. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{1+x^2} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a integral conhecida para a função racional. 
 
17. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2 \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a definição de limite exponencial. 
 
18. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \). 
 - **Resposta:** \( y = \ln|x| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 - **Explicação:** Integramos ambos os lados da equação diferencial. 
 
19. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \) entre \( 
x = 1 \) e \( x = 2 \). 
 - **Resposta:** A área é \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx = \ln(2) \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a fórmula da área sob a curva. 
 
20. **Problema:** Calcule a integral \( \int \cos(2x) \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \cos(2x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{2} + C \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a integral do cosseno. 
 
21. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{3x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{3x} = e^3 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a definição de limite exponencial. 
 
22. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 - **Explicação:** Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
23. **Problema:** Calcule a integral \( \int e^{3x} \, dx \). 
 - **Resposta:** 
Claro! Aqui estão mais 150 problemas de Cálculo 2 com resposta e explicação detalhada: 
 
40. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{e^x + 1}) \). 
 - **Resposta:** \( f'(x) = \frac{e^x}{2(e^x + 1)} \) 
 - **Explicação:** Derivando a função logaritmo natural \( \ln(\sqrt{e^x + 1}) \).