Problemas de Cálculo 2

Prévia do material em texto

35. **Problema:** Encontre a derivada da função \( g(x) = \frac{\tan(x)}{x} \). 
 - **Resolução:** Aplicando a regra do quociente: 
 \[ g'(x) = \frac{x \sec^2(x) - \tan(x)}{x^2}. \] 
 
36. **Problema:** Determine a integral definida \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} 
\frac{\sin(2x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 - **Resolução:** Fazendo a substituição \( u = \cos(x) \), \( du = -\sin(x) \, dx \): 
 \[ \int \frac{\sin(2x)}{\cos^2(x)} \, dx = -\int \frac{2u}{u^2} \, du = -2 \int \frac{1}{u} \, du = -
2 \ln|\cos(x)| + C. \] 
 Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{4} \): 
 \[ \left[ -2 \ln|\cos(x)| \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = -2 
\ln\left|\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| + 2 \ln\left|\cos(0)\right| = -2 
\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \ln(1) = -2 \ln(1) = 0. \] 
 
37. **Problema:** Calcule a derivada da função \( h(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \). 
 - **Resolução:** Aplicando a regra do quociente: 
 \[ h'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - 2x \ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2x \ln(x)}{x^3}. \] 
 
38. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \). 
 - **Resolução:** Aplicando a regra do quociente: 
 \[ f'(x) = \frac{-\frac{1}{x \ln^2(x)}}{1} = -\frac{1}{x \ln^2(x)}. \] 
 
39. **Problema:** Determine a integral indefinida \( \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução:** Fazendo a substituição \( x = \sin(u) \), \( dx = \cos(u) \, du \): 
 \[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C. \] 
 
40. **Problema:** Calcule a integral definida \( \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \). 
 - **Resolução:** Fazendo a substituição \( u = 1 + x^2 \), \( du = 2x \, dx \): 
 \[ \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{2} + C. \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ \left[ \frac{\sqrt{1 + x^2}}{2} \right]_0^1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}. \] 
 
41. **Problema:** Encontre a derivada da função \( g(x) = \ln(\sin(2x)) \). 
 - **Resolução:** Aplicando a regra da cadeia: 
 \[ g'(x) = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}. \] 
 
42. **Problema:** Determine a derivada da função \( h(x) = e^x \cos(x) \). 
Entendi! Vou gerar 100 problemas de Cálculo 2 com suas respostas e explicações. Aqui 
estão: 
 
1. **Problema:** Calcule a integral indefinida \( \int x^2 \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + 2 \sin(x) + C \), 
onde \( C \) é a constante de integração. 
 
2. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \sqrt{4 - x^2} \) no 
primeiro quadrante. 
 **Resposta:** A área é \( \pi \). 
 
3. **Problema:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{5x} \). 
 **Resposta:** O limite é \( \frac{2}{5} \). 
 
4. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' - y = e^x \). 
 **Resposta:** A solução é \( y(x) = c e^x + e^x \), onde \( c \) é uma constante. 
 
5. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral converge para \( \frac{\pi^4}{15} \). 
 
6. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\sin x) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \cot x \). 
 
7. **Problema:** Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). 
 **Resposta:** O raio de convergência é \( R = \infty \).