Problemas de Álgebra

Prévia do material em texto

- Resolução: Utilizando a fórmula de Viète, a soma das raízes é \( 5 \). 
 
15. Problema: Resolver a inequação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 < 0 \). 
 - Resolução: Encontrar os intervalos onde a expressão é negativa, \( 1 < x < 3 \). 
 
16. Problema: Fatorar \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \). 
 - Resolução: Fatorando, temos \( (x + 3)(x^2 + 4) \). 
 
17. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 + ax^2 + 5x - 10 = 
0 \) tenha uma raiz dupla. 
 - Resolução: Utilizando o Teorema de Gauss, \( a = -10 \). 
 
18. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 4x^2 + 3x + 18 = 0 \) sabendo que uma das 
raízes é \( x = -3 \). 
 - Resolução: Utilizando a divisão sintética, encontramos que \( x = -3 \) é uma raiz, então 
a equação fatorada é \( (x + 3)(x^2 - 7x + 6) = 0 \). 
 
19. Problema: Calcular \( (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \) e identificar as raízes. 
 - Resolução: Fatorando, obtemos \( (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 \), 
com raízes \( x = 1, 2, 3, 4 \). 
 
20. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 9x^2 + 24x - 16 = 0 \) e identificar as raízes. 
 - Resolução: Utilizando o método de substituição e fatorando, encontramos que \( x = 2, 
4, 4 \) são as raízes. 
 
21. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 + 2x^2 + ax + 10 = 
0 \) tenha raízes reais e distintas. 
 - Resolução: Utilizando o discriminante, \( a > 4 \). 
 
22. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \) utilizando o método de 
Newton-Raphson com aproximação inicial \( x_0 = 3 \). 
 - Resolução: Após as iterações, a raiz aproximada é \( x \approx 2.879 \). 
 
23. Problema: Fatorar \( x^3 - 27y^3 \). 
 - Resolução: Aplicando a diferença de cubos, \( (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) \). 
 
24. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 - 2x^2 + ax + 8 = 0 
\) tenha uma raiz tripla. 
 - Resolução: Utilizando o Teorema de Gauss, \( a = 6 \). 
 
25. Problema: Resolver a inequação \( x^3 - 8x^2 + 16x - 8 > 0 \). 
 - Resolução: Encontrar os intervalos onde a expressão é positiva, \( x < 1 \) ou \( x > 2 \). 
 
26. Problema: Calcular \( \sqrt[3]{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt[3]{5 - 2\sqrt{6}} \). 
 - Resolução: Utilizando a identidade de Cardano, obtemos \( 2 \). 
 
27. Problema: Encontrar a soma das raízes da equação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \). 
 - Resolução: Utilizando a fórmula de Viète, a soma das raízes é \( 6 \). 
 
28. Problema: Resolver a inequação \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 < 0 \). 
 - Resolução: Encontrar os intervalos onde a expressão é negativa, \( 1 < x < 3 \). 
 
29. Problema: Fator 
 
ar \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \). 
 - Resolução: Fatorando, temos \( (x + 3)(x^2 + 4) \). 
 
30. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 + ax^2 + 5x - 10 = 
0 \) tenha uma raiz dupla. 
 - Resolução: Utilizando o Teorema de Gauss, \( a = -10 \). 
 
31. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 4x^2 + 3x + 18 = 0 \) sabendo que uma das 
raízes é \( x = -3 \). 
 - Resolução: Utilizando a divisão sintética, encontramos que \( x = -3 \) é uma raiz, então 
a equação fatorada é \( (x + 3)(x^2 - 7x + 6) = 0 \).