Problemas de Cálculo e Álgebra

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- **Explicação:** Dividimos a fração e integramos termo a termo. 
 
7. **Problema:** Determine a série de Taylor da função \( f(x) = \cos(x) \) centrada em \( x = 
0 \). 
 - **Resposta:** \( \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a fórmula da série de Taylor para a função \( \cos(x) \). 
 
8. **Problema:** Encontre a derivada da função implícita \( x^2 + y^2 = 4 \). 
 - **Resposta:** \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \). 
 - **Explicação:** Derivamos ambos os lados da equação em relação a \( x \) e isolamos 
\( \frac{dy}{dx} \). 
 
9. **Problema:** Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \( 
y = x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), em torno do eixo \( x \). 
 - **Resposta:** O volume é \( \frac{\pi}{2} \). 
 - **Explicação:** Usamos o método dos discos para calcular o volume do sólido de 
revolução. 
 
10. **Problema:** Determine o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{n^n x^n}{n!} \). 
 - **Resposta:** O raio de convergência é \( e \). 
 - **Explicação:** Aplicamos o critério da razão para encontrar o raio de convergência da 
série. 
 
11. **Problema:** Resolva a integral \( \int \frac{dx}{x \ln(x)} \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{dx}{x \ln(x)} = \ln|\ln(x)| + C \). 
 - **Explicação:** Fazemos a substituição \( u = \ln(x) \) para resolver a integral. 
 
12. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} = e^6 \). 
 - **Explicação:** Usamos a definição de limite exponencial para resolver o problema. 
 
13. **Problema:** Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = \sqrt{x} 
\), de \( x = 0 \) a \( x = 1 \), em torno do eixo \( x \). 
 - **Resposta:** A área da superfície é \( 2\pi \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a fórmula da área de superfície de revolução para 
encontrar a solução. 
 
14. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y' + \frac{1}{x}y = \sin(x) \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = -x\cos(x) + Cx \). 
 - **Explicação:** Usamos o fator integrante para resolver a equação diferencial linear. 
 
15. **Problema:** Determine a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
 - **Resposta:** A soma da série é \( 1 \). 
 - **Explicação:** Decomponha \( \frac{1}{n(n+1)} \) em frações parciais e simplifique a 
série telescópica. 
 
16. **Problema:** Encontre a derivada da função \( y = \sqrt{1 + \cos(x)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x)}{2\sqrt{1 + \cos(x)}} \). 
 - **Explicação:** Usamos a regra da cadeia para derivar \( \sqrt{1 + \cos(x)} \). 
 
17. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} \). 
 - **Resposta:** \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} = e^2 \). 
 - **Explicação:** Aplicamos a definição de limite exponencial para resolver o problema. 
 
18. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \). 
 - **Resposta:** \( \int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 1} \, dx = \ln|x + 1| + C \). 
 - **Explicação:** Fazemos a substituição \( u = x + 1 \) para resolver a integral. 
 
19. **Problema:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \ln(x) \), \( y = 0 \), 
\( x = 1 \) e \( x = e \). 
 - **Resposta:** A área é \( e - 1 \). 
 - **Explicação:** Calculamos a integral da função \( \ln(x) \) entre os limites dados. 
 
20. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - y = e^x \). 
 - **Resposta:** \( y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{2}e^x \).