Problemas de Álgebra e Cálculo

Prévia do material em texto

185. Problema: Fatorar \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \). 
 - Resolução: Fatorando, temos \( (x + 3)(x^2 + 4) \). 
 
186. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 + ax^2 + 5x - 10 = 
0 \) tenha uma raiz dupla. 
 - Resolução: Utilizando o Teorema de Gauss, \( a = -10 \). 
 
187. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 4x^2 + 3x + 18 = 0 \) sabendo que uma das 
raízes é \( x = -3 \). 
 - Resolução: Utilizando a divisão sintética, encontramos que \( x = -3 \) é uma raiz, então 
a equação fatorada é \( (x + 3)(x^2 - 7x + 6) = 0 \). 
 
188. Problema: Calcular \( (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \) e identificar as raízes. 
 - Resolução: Fatorando, obtemos \( (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 \), 
com raízes \( x = 1, 2, 3, 4 \). 
 
189. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 9x^2 + 24x - 16 = 0 \) e identificar as raízes. 
 - Resolução: Utilizando o método de substituição e fatorando, encontramos que \( x = 2, 
4, 4 \) são as raízes. 
 
190. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 + 2x^2 + ax + 10 
= 0 \) tenha raízes reais e distintas. 
 - Resolução: Utilizando o discriminante, \( a > 4 \). 
 
191. Problema: Resolver a equação \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 \) utilizando o método de 
Newton-Raphson com aproximação inicial \( x_0 = 3 \). 
 - Resolução: Após as iterações, a raiz aproximada é \( x \approx 2.879 \). 
 
192. Problema: Fatorar \( x^3 - 27y^3 \). 
 - Resolução: Aplicando a diferença de cubos, \( (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) \). 
 
193. Problema: Determinar os valores de \( a \) para que a equação \( x^3 - 2x^2 + ax + 8 = 
0 \) tenha uma raiz 
Entendi! Vou criar uma lista de 100 problemas matemáticos universitários com suas 
respostas e explicações. Vamos começar: 
 
1. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \). 
 Resposta e Explicação: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = 6x - 2 \), usando a regra da 
potência. 
 
2. Problema: Encontre a solução da equação \( 2x + 5 = 17 \). 
 Resposta e Explicação: A solução é \( x = 6 \), subtraindo 5 de ambos os lados da 
equação. 
 
3. Problema: Simplifique a expressão \( \frac{2x^2 - 6x}{4x} \). 
 Resposta e Explicação: A expressão simplificada é \( \frac{x - 3}{2} \), dividindo todos os 
termos por \( 2x \). 
 
4. Problema: Determine o valor de \( \sin(\frac{\pi}{6}) \). 
 Resposta e Explicação: \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \), usando os valores padrão dos 
ângulos trigonométricos. 
 
5. Problema: Resolva a inequação \( 3x + 7 > 16 \). 
 Resposta e Explicação: A solução é \( x > 3 \), subtraindo 7 de ambos os lados da 
inequação. 
 
6. Problema: Calcule o valor de \( \log_{2}(8) \). 
 Resposta e Explicação: \( \log_{2}(8) = 3 \), pois \( 2^3 = 8 \). 
 
7. Problema: Determine a soma dos termos da sequência aritmética \( 2, 5, 8, \ldots, 20 \). 
 Resposta e Explicação: A soma dos termos é \( 63 \), usando a fórmula da soma dos 
termos de uma sequência aritmética. 
 
8. Problema: Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta e Explicação: O limite é \( 1 \), utilizando a definição do limite fundamental da 
trigonometria.