Problemas e Respostas de Cálculo

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**Resposta:** O comprimento da curva é \( \ln(\sqrt{2}) + \frac{\pi}{4} \). 
 
338. **Problema:** Calcule \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = 1 \). 
 
339. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \ln(1+x) \) centrada em \( x = 0 
\). 
 **Resposta:** A série de Taylor é \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \). 
 
340. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 **Resposta:** O limite é 4. 
 
341. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \). 
 
342. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{x^n}{n^2} \). 
 **Resposta:** O raio de convergência é 1. 
 
343. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 
344. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \), de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{4} \). 
 **Resposta:** O comprimento da curva é \( \ln(\sqrt{2}) + \frac{\pi}{4} \). 
 
345. **Problema:** Calcule \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = 1 \). 
 
346. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \ln(1+x) \) centrada em \( x = 0 
\). 
 **Resposta:** A série de Taylor é \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \). 
 
347. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 **Resposta:** O limite é 4. 
 
348. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \). 
 
349. **Problema:** Encontre o raio de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{x^n}{n^2} \). 
 **Resposta:** O raio de convergência é 1. 
 
350. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( 
C_2 \) são constantes. 
 
351. **Problema:** Determine o comprimento da curva \( y = \ln(\sec x) \), de \( x = 0 \) a \( 
x = \frac{\pi}{4} \). 
 **Resposta:** O comprimento da curva é \( \ln(\sqrt{2}) + \frac{\pi}{4} \). 
 
352. **Problema:** Calcule \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = 1 \). 
 
353. **Problema:** Encontre a série de Taylor para \( f(x) = \ln(1+x) \) centrada em \( x = 0 
\). 
 **Resposta:** A série de Taylor é \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \). 
 
354. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 **Resposta:** O limite é 4. 
 
355. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \).