Matemática de crédito ao consumidor

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MATEMÁTICA
DE CRÉDITO
AO CONSUMIDOR
EDMUNDO ÉBOLI BONINI *
Desde que se iniciou no Brasil a chamada "reforma do
mercado de capitais" êste setor passou a concentrar as
atenções de todos os segmentos da economia nacional. As
diferentes entidades que compõem o setor financeiro
começaram a ser alvo de especial curiosidade. As Bôlsas de
Valôres dos Bancos Comerciais, dos Bancos de Investi-
mentos e sobretudo das Financeiras começaram a ser
objeto de atenção especial.
Essa atenção não se circunscreveu às suas funções como
peças de um mecanismo maior. Ao contrário, a mecânica
de funcionamento de cada uma delas, sobretudo daquelas
que foram particularmente influenciadas pela mencionada
reforma, vem despertando inusitado interêsse. O funcio-
namento de entidades como a Bôlsa, as Financeiras ou os
Bancos de Investimento, a par das sutilezas próprias de
qualquer emprêsa, pressupõe também tôda uma técnica
de análise, sem a qual não seria êle satisfatório.
Nessa matéria tem papel destacado a matemática finan-
ceira, indispensável para a correta tomada de decisões
* Professor Contratado do Departamento de Métodos Quantitativos da Escola
de Administração de Emprêsas de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas.
Professor das Faculdades de Ciências Econômicas e Administrativas da Uni-
versidade de São Paulo, Faculdade de Ciências Econômicas de São Paulo,
Faculdade de Ciências Econômicas de São Luís, Escola de Engenharia Mauá e
Faculdade de Ciências Econômicas da Universidade Mackenzie.
46 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68
sôbre empréstimos ou inversões efetuadas por essas em-
prêsas.
O presente artigo aborda a questão do crédito ao consu-
midor e a interveniência das financeiras em operações
dêsse tipo.
Em função da carência de capital para a aquisição de pro-
dutos de consumo durável e veículos, as financeiras podem
emitir títulos (letras de câmbio), para a obtenção de
capital e entregá-las aos consumidores de capital para a
aquisição de bens.
O fluxograma apresenta-se da seguinte forma:
FINANCEIRA
MERCADO
DOADOR
MERCADO
CONSUMIDOR
Portanto, temos duas fases do processo do fluxo do ca-
pital:
1 . Obtenção por parte da financeira do capital no
mercado.
2 . Entrega do capital ao mercado consumidor (usuá-
rios).
EXEMPLOS DE CÁLCULOS
A financeira para a obtenção de dinheiro no mercado
doador, deverá, evidentemente, pagar algumas comissões,
taxas e também apresentar uma certa rentabilidade, tais
como:
• Rentabilidade para o mercado doador (Letra de
Câmbio).
• Corretagem para o vendedor da Letra de Câmbio.
• Corretagem de Aceite (Receita da financeira).
R.A.E. 29/68 CRÉDITO AO CONSUMIDOR 47
• Outras Corretagens (Receitas das financeiras).
• Impôsto sôbre Operações financeiras (IOF).
Iremos, a título de exemplo, considerar as seguintes taxas:
• 32% ao ano
• 5% " "
• 5% " "
• 1,6% " "
• 1% " "
Consideremos que o Mercado Consumidor deva .
NCr$ 12.000,00, a serem pagos à financeira em 12 pro-
missórias de NCr$ 1.000,00 cada. Para a obtenção dêste
capital, a financeira lançará no mercado doador letras
de câmbio. Suponhamos que sejam 12 letras de câmbio
de NCr$ 1.000,00. Como o prazo mínimo de vencimento
da letra é de 6 meses, teremos que a primeira terá o valor
de NCr$ 6.000,00 e as sucessivas de NCr$ 1.000,00, de
acôrdo com o seguinte diagrama:
6 meses 7 8 9 10 11 12
I I I I ! I I
Hoje 6.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
1. A que valor serão colocadas no Mercado Doador as
letras de câmbio? De acôrdo com o primeiro exemplo,
temos uma taxa a = 32% a.a. Assim, a letra de câmbio
com o vencimento para 6 meses terá o valor no mercado
doador de:
K1 + ~ K1 = 1= > K1 (1 + Cl!2)= 1 = > K1 = 1
1+~
2
1 1 1
O 16 = 1,16 = 0,862069
1+ ,0,32
1+-
2
-
Sendo que Ki é o coeficiente que deverá multiplicar as
letras de câmbio com o vencimento para 6 meses. Portanto,
teremos:
6.000,00 X 0,862069 = 5.172,414 (Anexo 1)
48 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68
Para as outras letras com vencimentos sucessivos, os
coeficientes serão:
1
K2 = -------
a a
1+-+-,1
2 12
1------- = 0,842694
1 0,32 0,32 1
+-2-+12'
e assim, genericamente, teremos:
1
Kj + 1 = -------
a a .
l+-+-'J2 12
j = [O, 1, 2, ••.... , 18]
e os respectivos valôres serão:
1
K3 = 1,21334 = 0,824171
K4 = 0,806445
Ks = 0,789465
K6 = 0,773186
K7 = 0,757564
Ks = 0,742561
K9 = 0,728141
KlO = 0,714270
Kll = 0,700918
K12 = 0,688056
K13 = 0,675657
K14 = 0,663698
K15 = 0,652154
K16 = 0,641005
K17 = 0,630230
K1S = 0,619813
K19 = 0,609734
R.A.E. 29/68 CRÉDITO AO CONSUMIDOR 49
Temos, então, no Anexo 1, o dinheiro proveniente do
"mercado doador".
2 . A financeira terá de pagar uma taxa de corretagem
(~) sôbre a venda das letras de câmbio. Consideremos
que a taxa seja da ordem de 5% ao ano. Assim, temos
que para a primeira letra a financeira pagará 0,025.
Observar que as comissões são pagas sôbre o líquido das
letras. Os outros coeficientes para a obtenção da corre-
tagem serão:
~1 = 0,05 + 0,05 • O = O025
2 12 '
0,05 0,05
~2 = -2- + 12· 1 = 0,025 + 0,004166· 1 = 0,029166
e assim, genericamente, teremos:
~.+ 1 = ~ + L .J'
J 2 12
j = [O, 1, 2, •••.• , 181
À3 = 0,033332 À9 = 0,058328 À1S = 0,083324
À4 = 0,037498 À10 = 0,062494 À16 = 0,087490
Às = 0,041664 À11 = 0,066660 À17 = 0,091656
À6 = 0,045830 À12 = 0,070826 À18 = 0,095822
À7 = 0,049996 À13 = 0,074992 À19 = 0,099988
À8 = 9,054162 À14 = 0,079158
Temos no Anexo 2 a corretagem a ser paga pela finan-
ceira, sendo que o mesmo foi obtido multiplicando-se cada
parcela de capital recebido do mercado doador pela corres-
pondente taxa do prazo (A). Assim, temos que, por exem-
plo, para o dinheiro proveniente do mercado pelas 6 letras
de valor nominal NCr$ 1.000,00 cada uma e que a Finan-
ceira recebeu NCr$ 5.172,414 deverá pagar ao corretor
(~Al) ou seja NCr$ 5.172,414 X 0,025= 129,310350;
a segunda letra com vencimento para 7 meses e de valor
nominal de NCr$ 1. 000,00 a financeira receberá do
mercado doador NCr$ 842,694, conforme Anexo 1 e
50 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68
deverá pagar ao corretor (!lI Â2) Ouseja NCr$ 842,694 X
X 0,029166 = 24,578013, conforme Anexo 2 e assim
por diante.
3 . A financeira, para aceitar a operação de crédito,
cobrará uma comissão de 5% ao ano, sendo que esta
comissão comportar-se-á de acôrdo com a corretagem,
uma vez que a mesma é de 5% ao ano, por hipótese.
4 . A financeira cobrará também outras comissões que,
somadas, serão 1,6% ou 0,016 e, desdobradas, serão:
0,016 = (0,005 + 0,005 + 0,005 + 0,001). Portanto,
teremos de obter os coeficientes para: 0,005 (Y) e 0,001
(Ô ). Assim, temos:
Para 0,005 (Y)
j = [O, 1, 2, ....• , 18)
M1 = 0,005 + 0,005 • O = 00025 + 00004166. O = 00025000
2 12 " ,
M2 = 0,0029166 Mn = 0,0066600
M3 = 0,0033320 M12 = 0,0070826
M4 = 0,0037498 M13 = 0,0074992
Ms = 0,0041664 M14 = 0,0079158
M6 = 0,0045830 M1s = 0,0083324
M7 = 0,0049996 M16 = 0,0087490
Ms = 0,0054162 M17 = 0,0091656
Mg = 0,0058328 M1S = 0,0095822
MlO = 0,0062494 M19 = 0,0099988
Assim, temos o Anexo 3, obtido através da multiplicação
dos coeficientes MHl pelos capitais líquidos provenientes
do mercado doador (Anexo 1).
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Para a taxa: 0,001 (ô)
N Ô + Ô •
H1=2' 12J, [j = O, 1, 2, •.•.. , 18J
N
1
= 0,001 + 0,001 • O = O0005 + O 00008333 • O = O00050000
2 12 " ,
N2 = 0,00058333 N8 = 0,00108331 N 14 = 0,00158329
N3 = 0,00066666 Ng = 0,00116664 N 15 = 0,00166662
N4 = 0,00074999 NlO = 0,00124997 N 16 = 0,0014 7995
N5 = 0,00083332 N 11 = 0,00133330 N17 = 0,00183328
N6 = 0,00091665 N 12 = 0,00141663 N18 = 0,00191551
N7 = 0,00099998 N13 = 0,00149996 N19 = 0,00199940
Assim, temos que o Anexo 4 é obtido através da multipli-
cação Ni+1, pelos capitais líquidos provenientes do mer-
cado doador (Anexo 1).
5. O impôsto sôbre operações financeiras (IOF) é de
1% e incide sôbre a soma dos valôres nominais das letras
e da corretagem, cujos cálculos estão apresentados no
Anexo 5.
COMENTÁRIOS FINAIS
I . A financeira funciona apenas como uma interme-
diária entre o mercado doador e o mercado consumidor.
Por isso,em nosso Anexo 6, apresentamos os seguintes
elementos:
( 1) Capitais.
(2) Correção monetária = capitais - capitais pro-
venientes do mercado doador (Anexo 1), que cor-
responde o lucro do mercado doador (lucratividade
das letras de câmbio).
(3) Corretagem.
(4 ) Comissão da financeira.
(5) Impôsto de Operações Financeiras (IOF).
(6 ) Outras comissões [3 X Anexo (3) + Anexo (4)].
52 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68
( 7 ) Somas dos itens (2) + (3) + (4) + (5) + (6) =
= despesas e lucratividade da financeira.
( 8 ) Líquido = capitais ( 1) - despesas ( 7), que
corresponde à quantia que será dada ao mercado
consumidor (usuários).
II . Determinação da taxa de juros para o mercado
consumidor, isto é, para os usuários. O montante do ca-
pital líquido recebido pelo mercado consumidor deverá
ser igual ao montante das prestações. Assim, temos dois
critérios:
• a capitalização simples, e
• a capitalização composta.
Determinação da taxa
• Capitalização simples
M = M'; sendo M = montante do capital líquido (8),
Anexo 6 e M' = montante das prestações a serem pagas
pelos usuários.
M = C (1 + in)
M' = C
1
[ n + in (n
2
- 1) ]
C (1 + in) = C1 [n + in (n - 1) -I2 -1
C1 • n - C
1 = --~----=----
(n - 1)
Cn - C1 n . -'=--'-
2
Considerando-se n =12, Ci = 1.000,00 e C = 9.105,46;
vem:
1.000,00 X 12 - 9.105,46 01
1 = ----~~~-----..:....:....:...-.~- = 0,0669 ou 6,69;0
12·119.105,46 X 12 - 1.000,00 X .....:..::----=-=-
2
R.A.E. 29/68 CRÉDITO AO CONSUMIDOR 53
ao mês. Para o cálculo de outros capitais, o procedi-
mento é análogo.
• Capitalização Composta
M = M'; sendo M = montante do capital líquido (8),
anexo 6 e M' = montante das prestações a serem pagas
pelos usuários.
M = C (1 + il
( n 1) (1 + í)" - 1
M' = C1• r -:- = C1 • .
1 1
(1 + i)" - 1 C (1 + i)" - 1
C (1 + i)" = C1 • = > - = = >
C1 (1 + il - i
C1 =
C
(1 + il· i
(1 + i)" - 1
-1=a
~
Considerando n = 12jCl = 1.000 e C = 9.105.46, temos:
o 109824 = 1.000,00
, 2 9.205,46
(1 + ')12 .
112 • 1 , observando a tabela
(1+ i) - 1
a-1 para n = 12 encontramos i aproximadamente igual
nl
a 0,045 ou 4,5% ao mês.
Obs.: Um processo mais refinado para o cálculo da taxa
na capitalização composta pode ser feito através de
um processo iterativo. (Aproximações sucessivas.)
Seja:
C1 = C. a-I,
~
sendo a
~
C
1
= _---=.C-.-i-- = > Ci = [1 - (1+ i)-n] C1
1 = (1 + i)-n
i= C1 Ll-(I+i)-n]a
C
1 - (1 + i)-n
S4 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68
Esta fórmula vai servir-nos para determinar i, por apro-
ximações sucessivas. A aproximação ih, de ordem h de i,
determina-se pela aproximação de ordem ih-I, pela se-
guinte fórmula de recorrência:
Como ponto de partida para a primeira aproximação 10
de i, vamos estabelecer um valor menor que i, mas que
seja próximo de seu valor.
Para isso vamos desenvolver a potência (1 + i) -n de
acôrdo com a lei binomial de NEWTON.
(1 + i)-n = 1 _ n> i + n (n + 1) • i2 _ n;n + 1) (n + 2) i3 + ... ;
2 2' 3
êste desenvolvimento apresenta uma série convergente
Substituindo na igualdade a O têrmo (1 + i) -n pelo
desenvolvimento acima, vem:
. C1 [1 +. n (n + 1) i
2
.2 + n (n + 1) (n + 2).3 ]
1=- -1 01- 1 '1-C 2 2· 3 ...
i =S[ni- n(n+l) .i2 + n(n+l)(n+2) .i3_ ... ]
C 2 2·3
dividindo-se ambos têrmos por n.i, obtemos:
...!.. = S [1 _ n +- 1 • i + (n + 1) (n + 2) • i2 - ... ],
n C 2 2·3
desprezando ....:('-n_+~l:....)(.:.-n_+~2.:....).2• 1
2·3
e os sucessivos, temos a
seguinte desigualdade:
~ > C1 [1 _ n + 1 . iJ
n C 2
1 C1 (n + 1) . C1->-- '1-
n C 2 C
(n + 1) • i ~ > C1 _ ~ (x 2C ) .
2 C C n (n+ 1) C1
R.A.E. 29/68 CRÉDITO AO CONSUMIDOR 55
. 2 2C
1 > --- - -----
n + 1 n (n + 1) C1
i > _2_[I-~J
n + 1 nCl
Podemos, então, tomar como primeira aproximação de i
o valor do segundo membro da desigualdade, isto é:
. 2 [ C ]
lo = n + 1 1 - nC1
Em nosso exemplo anterior, teríamos:
i = 2 (1 _ 9.105,46 ) = 00371 ou 371%
o 12+1 12X1.000,00 ' , o
IH . A financeira ao vender o crédito ao consumidor,
ou seja, o financiamento ao mercado consumidor, diz que
a taxa de juros é obtida através da seguinte fórmula:
1 = N X C1 - C d N ' d -C ' on e = numero e prestaçoes,
i = taxa de juros do empréstimo,
C1 = valor de cada prestação,
C = líquido recebido.
Portanto, para C = 9.105,46, N = 12 e Cr
teremos:
1.000,00,
12 X 1.000,00 - 9.105,46
1 = -----'-=-------'-- = 0,31789 e a taxa mensal será:
9.105,46
0,31789im = --'--- = 0,0265 ou 2,65% ao mês.
12
CRíTICA
Observamos aqui que não há para o cálculo da taxa a
aplicação fundamental do princípio da amortização de um
empréstimo ou seja:
"O montante do capital emprestado deverá ser igual ao
montante das prestações."
O\O..-4..-4O'\InNO'l:t'O'\NIJ')O'\
o ('t)\Ov..-4NOOvvOlO\..-4~V)
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