Resistencia 01

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS III
Thaís Ventura Chibiaqui 
Flambagem II
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir flambagem inelástica e a aplicabilidade da equação de Euler 
nos projetos de colunas.
 � Projetar colunas submetidas a carregamentos centrados.
 � Projetar colunas submetidas a carregamentos excêntricos.
Introdução
Colunas são elementos estruturais verticais utilizados em construções 
durante boa parte da história. Elas têm como função receber cargas 
provenientes dos elementos situados acima delas para transmitir aos 
elementos situados abaixo. Em outras palavras, colunas são barras longas, 
retas, prismáticas e verticais suportando cargas axiais de compressão.
Devido às cargas a que estão sujeitas, as colunas podem sofrer o 
processo de flambagem, ou seja, elas podem sofrer uma alteração em 
sua configuração, proveniente de uma deflexão lateral. Isso acarreta sérios 
problemas, pois leva a uma falha abrupta da estrutura.
Neste capítulo, você aprenderá a projetar uma coluna que seja capaz 
de suportar as cargas a que está submetida, sejam centradas ou excêntri-
cas, sem flambar, de modo a garantir a estabilidade. Para isso, você verá 
como adaptar a fórmula de Euler para flambagem inelástica, que é o tipo 
de flambagem que ocorre em colunas de altura intermediária, que são 
praticamente a totalidade dos casos existentes.
1 Flambagem inelástica e fórmula de Euler 
para projetos de colunas
A resistência de uma coluna em compressão está associada a seu índice de 
esbeltez (relação comprimento e raio: L/r). Se esse índice é grande, a coluna 
é esbelta e poderá falhar por flambagem, mesmo se as tensões não forem tão 
altas. Ao contrário, a coluna é compacta e resiste a maiores tensões até o 
ponto em que essas forem tão altas que a coluna falhe por esmagamento ou 
escoamento do próprio material. A capacidade das colunas também depende 
dos tipos de vínculos em suas extremidades, por exemplo, Leet, Uang e Gilbert 
(2010, p. 11) citam que “[...] uma coluna esbelta em balanço — engastada em 
uma extremidade e livre na outra — suportará uma carga equivalente a um 
quarto daquela suportada por uma coluna idêntica com as duas extremidades 
articuladas”.
As colunas podem ser divididas segundo o tipo de tensão desenvolvida 
em seu interior na hora da falha em (HIBBELER, 2010):
 � colunas compridas e esbeltas — a instabilidade ocorre quando a tensão 
de compressão na falha alcança valores menores do que o limite de 
proporcionalidade do material (instabilidade elástica);
 � colunas intermediárias — a instabilidade acontece quando a tensão 
de compressão na falha alcança valores mais altos do que o limite de 
proporcionalidade do material (instabilidade inelástica);
 � colunas curtas (postes) — nesse caso, não há instabilidade, mas sim o 
escoamento ou a ruptura do próprio material.
A utilização da expressão de Euler é recomendada apenas para colunas 
compridas, uma vez que considera que a tensão de compressão na falha não 
exceda o limite de proporcionalidade do material, sendo que para o aço a tensão 
de escoamento é igual a 250 MPa e para o alumínio é de 190 MPa, por exemplo.
Flambagem II2
No entanto, na prática, boa parte das colunas são intermediárias e sofrem 
flambagem inelástica, e, portanto, o comportamento das colunas nesse tipo 
de flambagem difere do comportamento das colunas na flambagem elástica. 
Nesse caso, é preciso adaptar a fórmula de Euler, a seguir, para que ela possa 
ser aplicada para essa situação (RILEY; STURGES; MORRIS, 2003).
Onde Pcr é o valor crítico da força P, a qual se a coluna for submetida a 
forças maiores que esse valor ela ficará instável, σcr é o valor crítico da tensão 
σ assumindo que σ = P/A, E é o modulo de elasticidade do material da coluna, 
I é o menor momento de inércia da área da seção transversal da coluna, A é 
a área da seção transversal da coluna, L é o comprimento da coluna e r é o 
menor raio de giração da coluna determinado por , considerando 
uma coluna reta e longa rotulada nas duas extremidades (RILEY; STURGES; 
MORRIS, 2003).
Cabe ressaltar que a fórmula de Euler foi originada a partir do estudo de 
colunas rotuladas em suas extremidades e com cargas centradas. Destarte, 
se a coluna não for biapoiada, devemos entrar no lugar do índice de esbeltez 
(L/r) com o índice de esbeltez efetivo (L'/r) (Figura 1) e, caso a coluna esteja 
com cargas excêntricas, devemos considerar a fórmula da secante, a qual 
veremos com mais calma na seção de projeto de colunas submetidas a cargas 
excêntricas (HIBBELER, 2010).
No link a seguir, você pode assistir a um vídeo para compreender melhor o conceito 
de comprimento equivalente.
https://qrgo.page.link/qm5qd
3Flambagem II
Figura 1. Índice de esbeltez efetivo.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
P
PP
L
L L
Le = 2L
Le = 0,5 L
Le = 0,7 LL = Le
P
Extremidades presas por pinos
K = 1
(a)
Uma extremidade engastada
e a outra livre
K = 2
(b)
Extremidades engastadas
K = 0,5
(c)
Extremidades engastadas
e presas por pinos
K = 0,7
(d)
Não iremos nos aprofundar na teoria da fórmula de Euler, pois queremos 
apenas ver as considerações que levaram a seu atual formato, de modo que 
possamos fazer alterações para utilizá-la para flambagens inelásticas.
No link a seguir, você poderá aprofundar os seus conhecimentos sobre a teoria da 
fórmula de Euler.
https://qrgo.page.link/XaS84
Flambagem II4
Para podermos adaptar essa fórmula para colunas intermediárias, estuda-
remos o comportamento da flambagem para esse caso. Imagine que o material 
possua o diagrama tensão-deformação da Figura 2a. Nesse cenário, σlp é o 
limite de proporcionalidade e E é o módulo de elasticidade (HIBBELER, 2010).
Figura 2. Hipérbole de Euler.
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
Є
∆Є
A
E
B
D
σ
σD
σlp
Et D
σcr
lp
KL
r
σcr =
π2Er
(KL/r)2
σcr =
π2E
(KL/r)2
KL
r l
KL
r lp
Inelástica Elástica
Coluna de comprimento
curto e intermediário
Colunas longas
(a) (b)
Consideremos, ainda, que a hipérbole de Euler pode ser representada 
pela Figura 2b, sendo verdadeira para uma coluna que possua um índice de 
esbeltez tão baixo quanto (KL/r)lp, uma vez que, dessa maneira, a tensão axial 
na coluna será σcr = σlp. De forma análoga, pela figura podemos perceber que 
caso a coluna tenha um índice de esbeltez mais baixo do que (KL/r)lp, a tensão 
crítica na coluna será maior do que σlp (HIBBELER, 2010).
Agora, imagine que uma coluna possua um índice de esbeltez (KL/r)1 < 
(KL/r)lp com tensão crítica que gera instabilidade igual a σD > σlp, como mostra 
a Figura 2b. No momento em que a coluna está prestes a sofrer flambagem, 
a alteração na deformação que acontece nela está dentro de uma pequena 
faixa Δϵ, e, devido a isso, o módulo de elasticidade ou a rigidez do material 
5Flambagem II
pode ser adotado como o módulo tangente, Et, definido como a inclinação 
do diagrama σ ~ ϵ no ponto D. Logo, podemos concluir que na hora da falha, 
a coluna tem desempenho similar a uma coluna confeccionada com um material 
de rigidez menor que a rigidez de uma coluna que comporta-se elasticamente, 
Et < E (HIBBELER, 2010).
Por conseguinte, é comum, conforme o índice de esbeltez reduz, a tensão 
crítica de uma coluna continuar a progredir; e, pelo diagrama σ – ϵ, o módulo 
tangente para o material também reduz. Focando nisso, Engesser alterou a 
equação de Euler para incluir esses casos de flambagem inelástica colocando 
o módulo tangente do material Et no lugar de E, resultando em (HIBBELER, 
2010):
Além da fórmula de Engesser, existem outros métodos para representar a flambagem 
inelástica de colunas, como a teoria de Shanley. No entanto, apesar de estes conse-
guirem explicar melhor o fenômeno, eles são mais complexos de aplicar do que a 
fórmula de Engesser e produzem resultados similares. Para saber mais, leia a tese 
de doutorado de Geraldo Donizetti de Paula, intitulada Estudo teórico-experimental 
de elementos comprimidos de aço: ênfaseem perfis soldados, publicada por USP (2002).
Uma haste maciça com 30 mm de diâmetro e 600 mm de comprimento é feita de um 
material que pode ser modelado pelo diagrama tensão-deformação, mostrado na figura 
a seguir. Se for usada como uma coluna apoiada por pinos, determine a carga crítica.
Flambagem II6
270
0,001 0,002
э
σ (MPa)
σlp = 150 
Fonte: Adaptada de Hibbeler (2010).
O raio de giração é:
E, portanto, o índice de esbeltez é:
A aplicação da Equação de Engesser produz:
Em primeiro lugar, consideraremos que a tensão crítica é elástica. Pela figura acima:
7Flambagem II
Assim, a equação de Engesser torna-se:
Visto que σcr > σlp = 150 MPa, ocorre flambagem inelástica. Pelo segundo segmento 
da reta do diagrama temos:
A aplicação da Equação de Engesser produz:
Como esse valor encontra-se entre os limites de 150 MPa e 270 MPa, ele é, na verdade, 
a tensão crítica. Portanto, a carga crítica na haste é:
Por fim, vale destacar que essa fórmula, para simplificar, considera como 
hipótese uma coluna perfeitamente reta e carregada ao longo de seu eixo 
centroide, o que na prática nem sempre acontece. Por isso, geralmente são 
utilizadas expressões empíricas quando realizando o projeto de colunas sub-
metido a carregamento centrado e excêntrico.
2 Projeto de colunas submetidas 
a carregamento centrado
Ensaios numerosos foram realizados em colunas de aço, nas quais eram apli-
cadas forças centradas e gradualmente aumentava-se a intensidade dessa 
força até que ocorresse a ruptura das colunas. Os resultados desses ensaios 
são apresentados na Figura 3. Percebe-se, pela figura, que nos ensaios podem 
ser visualizados os diferentes tipos de ruptura para cada tipo de coluna, bem 
como pode-se concluir que (BEER et al., 2015):
Flambagem II8
 � para colunas longas, em que Lfl/r é grande, a falha é prevista com boa 
aproximação pela fórmula de Euler, e observa-se que o valor σcr depende 
do módulo de elasticidade E do aço utilizado, e não de sua tensão de 
escoamento σE;
 � para colunas muito curtas e blocos de compressão, a falha ocorre es-
sencialmente como resultado do escoamento, e temos σcr ≈ σE;
 � para colunas de comprimento intermediário, a falha depende tanto de 
σE quanto de E. Nessa região a falha da coluna é um fenômeno extrema-
mente complexo, e foram usados extensivamente dados de ensaio para 
orientar o desenvolvimento de especificações e fórmulas de projeto.
Figura 3. Resultados dos ensaios de ruptura em colunas de aço.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 690).
Desse modo, podemos fazer uso das fórmulas criadas para aproximar os 
dados de ensaio (Figura 4) e calcular a tensão crítica para a coluna analisada 
(BEER et al., 2015).
9Flambagem II
Figura 4. Fórmulas empíricas para projeto de colunas.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 691).
Há muitas fórmulas empíricas criadas até o momento. A Figura 4 apenas 
mostra algumas das mais clássicas. Veja que, independente do gráfico usado, 
conforme for o índice de esbeltez da coluna, escolheremos uma fórmula 
diferente para calcular a tensão crítica. Além disso, devemos verificar se a 
fórmula já nos fornece uma tensão admissível, ou seja, se está sendo conside-
rado um fator de segurança em cima do valor da tensão crítica ou se fornece 
diretamente a tensão crítica. 
Método da tensão admissível 
Para realizar o dimensionamento de uma coluna devemos sempre considerar 
a tensão admissível, isto é, a tensão crítica estimada deve ser minorada por 
um coeficiente de segurança de modo que encontremos uma configuração de 
coluna que tenha resistência a essa tensão, garantindo, assim, que a coluna 
não flambe e não gere problemas de ordem estrutural.
Riley, Sturges e Morris (2003) trazem um quadro resumo (Quadro 1) com 
fórmulas de tensão admissível para diversos tipos de materiais de colunas 
(aço, alumínio e madeira). Cabe ressaltar que essas mesmas expressões são 
citadas por Beer et al. (2015).
Flambagem II10
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Flambagem II12
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13Flambagem II
Dois perfis C10 × 25 de aço estrutural estão unidos, alma a alma, à distância de 5 in 
entre elas, como mostram as imagens a seguir, para serem empregados como uma 
coluna. Determine a carga axial máxima admissível para os comprimentos efetivos de 
25 ft e 40 ft. Use o Código 1 para o aço estrutural.
As barras de
contraventamento 
fazem com que os per�s 
trabalhem como
um único elemento 
estrutural.
Alma do per�l C
y
x
5,00 in
(a) (b)
(c)
X X
XC
Y
Y
Fonte: Adaptada de Riley, Sturges e Morris (2003).
Deve-se conhecer os momentos de inércia em ambos os eixos x e y (Ix e Iy), que 
se relaciona ao quão fácil ou difícil é para girar um corpo ou alterar sua rotação, ou 
o raio de giração em ambos os eixos x e y (rx e ry), que é a raiz quadrada da relação 
entre o momento de inércia e a área da superfície, para que seja determinado o raio 
de giração mínimo. Essas propriedades do perfil C10 × 25 são dadas no Apêndice B 
de Riley, Sturges e Morris (2003), onde rc, que é o menor raio de giração desse perfil, 
é igual a 0,676, e xc, que é a distância horizontal do início da alma do perfil C ao eixo 
do perfil (figura c), é 0,617. O valor de Iy para os dois perfis é obtido utilizando-se o 
teorema dos eixos paralelos, desta forma:
Flambagem II14
A expressão anterior indica que o raio de giração para os dois perfis é o mesmo que o 
de um perfil, um fato obtido diretamente da definição de raio de giração. Assim sendo:
Que é menor do que o valor da tabela 3,52 in para rx. Isso significa que a coluna tende 
a apresentar flambagem em relação ao eixoy, e os índices de esbeltez são:
 e 
Do Código 1:
Os índices de esbeltez calculados indicam que a coluna de 25 ft está na região das 
colunas intermediárias, porque L/r < CC ou 94,0 < 126,1; daí, o fator (ou coeficiente) de 
segurança é:
A tensão admissível é:
Por isso, a carga em serviço para a coluna de 25 ft é:
A coluna de 40 ft tem um índice de esbeltez de 150,5; portanto ela está na faixa das 
peças esbeltas, já que L/r > CC ou 150,5 > 126,1. Por isso:
Em consequência, a carga em serviço para a coluna de 40 ft é
15Flambagem II
Vimos como aplicar as expressões do método de tensão admissível para 
os diferentes tipos de materiais. A partir disso, Hibbeler (2010) propôs os 
seguintes passos para realizar um projeto de uma coluna com carga centrada:
1. calcular o índice de esbeltez da coluna para determinar qual das fór-
mulas de tensão crítica e coeficiente de segurança ou, mesmo, tensão 
admissível aplicar;
2. com a tensão admissível média em mãos, a carga admissível da coluna 
pode ser obtida multiplicando esse valor pela área, uma vez que σ = 
P/A e, então, P = σ . A;
3. como escolhemos uma fórmula para projetar a coluna, ou seja, para 
obter a área de sua seção transversal para um comprimento e carga 
específicos, será necessário prosseguir com a técnica de tentativa e erro:
 ■ para isso, podemos considerar que a área da seção transversal é A 
e calcular a tensão correspondente σ' = P/A e a tensão admissível 
utilizando A' em uma fórmula de projeto adequada;
 ■ então, deve ser calculada a área exigida da coluna Areq = P/ σadm, 
sendo que se A' > Areq o projeto é seguro, caso contrário, deve ser 
feito um novo projeto para a coluna.
Vimos como projetar colunas submetidas a carregamento centrado. No 
entanto, algumas adaptações devem ser feitas nessa teoria caso estejamos 
analisando colunas submetidas a carregamento excêntrico.
3 Projeto de colunas submetida 
a carregamento excêntrico
Uma coluna pode não estar submetida a uma carga aplicada no centro de sua 
seção transversal, mas a uma carga aplicada com uma excentricidade do seu 
eixo central. Nesse caso, podemos substituir a carga excêntrica por uma carga 
centrada e por um conjugado M de momento M = Pe. Caso a seção transversal 
analisada não esteja muito próxima de uma das extremidades da coluna e as 
tensões encontradas não sejam maiores que o limite de proporcionalidade do 
material, as tensões normais que agem em uma seção transversal da coluna 
Flambagem II16
são determinadas por superposição das tensões por causa da força centrada P 
e do conjugado M, ou seja, σ = σcentrada + σflexão (BEER et al., 2015). A Figura 5 
apresenta considerações para um projeto de colunas submetida a carregamento 
excêntrico.
Figura 5. Consideração para projeto de colunas submetida a carregamento 
excêntrico.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 707).
17Flambagem II
Logo, a tensão máxima de compressão na coluna passa a ser σmáx = (P/A) 
+ (Mc/I), onde c é a distância da fibra mais afastada ao ponto neutro da 
seção transversal, sendo que a tensão máxima deve ser menor ou igual à 
tensão admissível para ela. Podemos assumir como tensão admissível para o 
problema em questão a tensão admissível considerando a coluna apenas sob 
a carga centrada P.
Uma coluna com seção transversal quadrada de 50 mm e 710 mm de comprimento de 
flambagem é feita de liga de alumínio 2014 T6. Usando o método da tensão admissível, 
determine a força P máxima que pode ser suportada com segurança considerando 
uma carga com excentricidade de 20 mm.
Fonte: Beer et al. (2015, p. 708).
Primeiramente, calculamos o raio de geração r usando os dados fornecidos:
A = (50 mm)2 = 2500 mm2
Flambagem II18
Em seguida, calculamos L/r = (710 mm)/(14,43 mm) = 49,20. Como L/r < 55, usamos a 
fórmula do Código 2 para colunas intermediárias para determinar a tensão admissível 
para a coluna de alumínio sujeita a uma força centrada.
Usamos agora a equação σmáx = (P/A) + (Mc/I) com M = Pe e c = 25 mm para determinar 
a carga admissível:
A força máxima que pode ser aplicada com segurança é P = 98,5kN.
Pode-se dizer que o método da tensão admissível é conservador e pode levar a 
superdimensionamentos das colunas. Outro método, menos conservador, para resolver 
problemas de projeto de colunas submetidas a cargas excêntricas é o método da 
interação. Para saber mais, leia a teoria e visualize exemplos de aplicação na obra 
Mecânica dos materiais, de Beer et al..
Acredita-se que com estas informações você consiga realizar o projeto 
de colunas feitas com os mais diversos tipos de materiais e submetidas a 
diferentes posicionamentos de cargas de modo a tirar do papel edificações, 
pontes, viadutos, torres de energia, entre uma infinidade de construções, feitas 
com segurança e contribuindo ainda mais para o desenvolvimento do Brasil.
19Flambagem II
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
LEET, K. M.; UANG, C.-M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2010.
RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS, D. H. Mecânica dos materiais. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2003. 
Leituras recomendadas
HEGOUET, L. Flambagem em coluna ideal. [S. l.: s. n.], 2018. 1 vídeo (17 min). Publi-
cado pelo canal Banca Virtual BV, 2018. Disponível em: https://www.youtube.com/
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