Problemas Matemáticos Resolvidos

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107. **Problema:** Fatorize completamente \( x^4 - 16 \). 
 - **Resolução:** Esta é a diferença de quadrados, \( x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x 
+ 2)(x^2 + 4) \). 
 - **Resposta:** \( x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \). 
 
108. **Problema:** Resolva a equação \( 5^{x-2} = 125 \). 
 - **Resolução:** Escreva 125 como \( 5^3 \), então \( 5^{x-2} = 5^3 \). Igualando os 
expoentes, \( x - 2 = 3 \). 
 - **Resposta:** \( x = 5 \). 
 
109. **Problema:** Simplifique \( \sqrt{6x + 3} \cdot \sqrt{2x - 1} \). 
 - **Resolução:** Combine as raízes, \( \sqrt{(6x + 3)(2x - 1)} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{6x + 3} \cdot \sqrt{2x - 1} = \sqrt{12x^2 + 3x - 3} \). 
 
110. **Problema:** Determine a solução para \( \log_2{(x + 1)} + \log_2{(x - 1)} = 1 \). 
 - **Resolução:** Convertendo a equação logarítmica para forma exponencial, \( 
\log_2{\frac{(x + 1)(x - 1)}{1}} = 1 \), então \( (x + 1)(x - 1) = 2 \). Resolvendo a equação 
quadrática resultante, encontramos \( x = \sqrt{3} \). 
 - **Resposta:** \( x = \sqrt{3} \). 
 
111. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{5}{x+2} + \frac{4}{x+3} = 3 \). 
 - **Resolução:** Combine os termos do lado esquerdo, \( \frac{5}{x+2} + \frac{4}{x+3} = 
\frac{5(x+3) + 4(x+2)}{(x+2)(x+3)} = 3 \). Isso simplifica para \( x^2 + 5x - 2 = 0 \). Resolvendo, 
temos \( x = -1 \) e \( x = 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = -1 \) ou \( x = 2 \). 
 
112. **Problema:** Fatorize completamente \( x^4 - 16 \). 
 - **Resolução:** Esta é a diferença de quadrados, \( x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x 
+ 2)(x^2 + 4) \). 
 - **Resposta:** \( x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \). 
 
113. **Problema:** Resolva a equação \( 5^{x-2} = 125 \). 
 - **Resolução:** Escreva 125 como \( 5^3 \), então \( 5^{x-2} = 5^3 \). Igualando os 
expoentes, \( x - 2 = 3 \). 
 - **Resposta:** \( x = 5 \). 
 
114. **Problema:** Simplifique \( \sqrt{6x + 3} \cdot \sqrt{2x - 1} \). 
 - **Resolução:** Combine as raízes, \( \sqrt{(6x + 3)(2x - 1)} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{6x + 3} \cdot \sqrt{2x - 1} = \sqrt{12x^2 + 3x - 3} \). 
 
115. **Problema:** Determine a solução para \( \log_2{(x + 1)} + \log_2{(x - 1)} = 1 \). 
 - **Resolução:** Convertendo a equação logarítmica para forma exponencial, \( 
\log_2{\frac{(x + 1)(x - 1)}{1}} = 1 \), então \( (x + 1)(x - 1) = 2 \). Resolvendo a equação 
quadrática resultante, encontramos \( x = \sqrt{3} \). 
 - **Resposta:** \( x = \sqrt{3} \). 
 
116. **Problema:** Resolva a equação \( \frac{5}{x+2} + \frac{4}{x+3} = 3 \). 
 - **Resolução:** Combine os termos do lado esquerdo, \( \frac{5}{x+2} + \frac{4}{x+3} = 
\frac{5(x+3) + 4(x+2)}{(x+2)(x+3)} = 3 \). Isso simplifica para \( x^2 + 5x - 2 = 0 \). Resolvendo, 
temos \( x = -1 \) e \( x = 2 \). 
 - **Resposta:** \( x = -1 \) ou \( x = 2 \). 
 
117. **Problema:** Fatorize completamente \( x^4 - 16 \). 
 - **Resolução:** Esta é a diferença de quadrados, \( x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x 
+ 2)(x^2 + 4) \). 
 - **Resposta:** \( x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \). 
 
118. **Problema:** Resolva a equação \( 5^{x-2} = 125 \). 
 - **Resolução:** Escreva 125 como \( 5^3 \), então \( 5^{x-2} = 5^3 \). Igualando os 
expoentes, \( x - 2 = 3 \). 
 - **Resposta:** \( x = 5 \). 
 
119. **Problema:** Simplifique \( \sqrt{6x + 3} \cdot \sqrt{2x - 1} \). 
 - **Resolução:** Combine as raízes, \( \sqrt{(6x + 3)(2x - 1)} \). 
 - **Resposta:** \( \sqrt{6x + 3} \cdot \sqrt{2x - 1} = \sqrt{12x^2 + 3x - 3} \).