Saeb matematica 9 ano Livro do professor

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ENSINO FUNDAMENTAL • ANOS FINAIS
ano
matemática
ano9º
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LIVRO DO PROFESSOR
P1_CAPA_ACERTA2020_EF2_9ano_MAT_PARANA_PR.indd 1P1_CAPA_ACERTA2020_EF2_9ano_MAT_PARANA_PR.indd 1 12/04/23 16:3012/04/23 16:30
ENSINO FUNDAMENTAL • ANOS FINAIS
LIVRO DO PROFESSOR
ano
matemática
ano9º
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Presidência: Paulo Serino
Diretor Editorial: Lauri Cericato
Diretor de Unidade de Negócios - 
Soluções para Governos: Volnei Korzenieski
Gestão de projeto editorial: Luciana Guimarães, 
Maria Fernanda e Conrado Duclos
Coordenação pedagógica: Renata Rossi
Colaboração: Rafael Canesin
Edição: lab212
Revisão: lab212
Ilustração: lab212
Cartografia: lab212
Licenciamento de textos: lab212
Projeto gráfico de capa e miolo: lab212
Diagramação: lab212
Foto de capa: Ricardo Gomez Angel/Unsplash
Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A. 
Avenida Paulista, 901, 4º andar
Jardins – São Paulo - SP – CEP 01310-200
Tel.: (0xx11) 4003-3061
www.edocente.com.br / atendimento@aticascipione.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
 Lima, José Luciano Santinho
Acerta Brasil : Matemática : 9o ano : Ensino fundamental 
2 / José Luciano Santinho Lima. – 2. ed. – São Paulo : 
Ática, 2020.
Suplementado pelo manual do professor
Bibliografia
ISBN 978-85-0819-392-9 – aluno
ISBN 978-85-0819-393-6 – professor
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título
20-1244 CDD-372.7
Angélica Ilacqua – CRB-8/7057
2020
2ª edição
1ª impressão
Autor: José Luciano Santinho Lima
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apresentação
Caro aluno,
Este livro foi escrito para você!
Página por página, você será convidado 
a realizar diversas atividades com o objetivo 
de facilitar sua aprendizagem. 
Em cada Missão, você será apresentado a 
situações que permitirão a você compreender 
o quanto a Matemática faz parte do 
nosso cotidiano.
Faça bom uso do seu livro. Esperamos que 
você aprenda muito com ele.
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aquecendo
4
Missão
Cada capítulo é 
encarado como 
uma missão a 
ser cumprida.
Abertura de Unidade
Cada Unidade começa com uma situação muito legal baseada no que você vai estudar!
Este livro apresenta situações que permitem aprender 
Matemática de um jeito fácil, lúdico e divertido.
Ponto de partida
São apresentados 
alguns questionamentos 
sobre a imagem de 
abertura para discussão 
com os colegas.
Entendendo 
a Unidade
Texto localizado na 
abertura de cada Unidade 
informando o que será 
estudado nela.
prepare-se!
Para começar o estudo de 
cada capítulo, são dadas 
orientações de como ter 
sucesso na missão.
Apresenta uma 
atividade resolvida 
para ajudar na 
execução da missão.
conheça seu livro
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Valendo!
5
Missão 
final
Para finalizar 
cada Unidade, 
são propostas 
atividades que 
integram 
os temas 
estudados nas 
missões.
Traz conteúdos teóricos como reforço 
para a aprendizagem e auxílio na 
resolução das atividades. 
Veja como este livro foi 
organizado e aproveite bem 
os seus estudos!
Baú do conhecimento sugestão
Relacionada a determinada 
atividade, relembra conceitos 
ou dá orientações importantes 
para a resolução.
São propostas atividades 
relacionadas aos temas 
estudados na missão.
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sumário
planejando 
a viagem
Missão 1 ................................. 10
Missão 2 ................................ 13
Missão 3 .................................17
Missão 4 ................................ 19
Missão 5 ................................22
Missão 6 ................................24
Missão 7 ................................27
Missão 8 ............................... 30
Missão 9 ................................33
Missão 10 ...............................36
Missão final .......................... 40
8
formas e 
números
Missão 1 .................................44
Missão 2 ................................47
Missão 3 ................................50
Missão 4 ................................53
Missão 5 ................................56
Missão 6 ................................59
Missão 7 ................................62
Missão 8 ................................64
Missão 9 ................................67
Missão final ...........................72
42
6
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regularidades 
geométricas e 
algébricas
Missão 1 .................................76
Missão 2 ................................79
Missão 3 ................................82
Missão 4 ................................85
Missão 5 ............................... 88
Missão 6 ................................ 91
Missão 7 ................................95
Missão 8 ................................98
Missão 9 ............................... 101
Missão final ......................... 104
74
páginas de 
conhecimento
Missão 1 ............................... 108
Missão 2 ................................111
Missão 3 ............................... 114
Missão 4 ............................... 117
Missão 5 .............................. 120
Missão 6 .............................. 122
Missão 7 .............................. 125
Missão 8 ...............................127
Missão 9 .............................. 130
Missão final ......................... 134
106
7
Referências 136
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GOVERNO DO ESTADO DE PERNAMBUCO. Sobre 
Noronha. Disponível em: <http://www.noronha.
pe.gov.br/turInfo.php>. Acesso em: 11 abr. 2020.
Programar uma viagem a Fernando de Noronha pode significar a realização de um sonho 
da maioria dos brasileiros. No Arquipélago, se tem a sensação de estar em uma parte do Brasil 
que deu certo, são 17 quilômetros quadrados a 545 km da costa pernambucana, onde vive uma 
população de apenas 3 500 habitantes e o turismo é desenvolvido de forma sustentável, crian-
do a oportunidade do encontro equilibrado do homem com a natureza em um dos santuários 
ecológicos mais importantes do mundo.
planejando 
a viagem
1
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9
1. Faça uma pesquisa e descubra qual a 
temperatura média em Fernando de 
Noronha durante o verão brasileiro.
2. A família de Damião fez uma viagem 
a Noronha e levou na bagagem uma 
bússola. Para que ela serve?
3. A população de Fernando de Noronha, 
de acordo com dados do Censo 2010, 
representa 4% da população total do 
estado de Pernambuco. Escreva esse 
número na forma de fração.
Veja orientações no Manual do Professor.
ponto de partida
Nesta Unidade, vamos explo-
rar a localização e a movimenta-
ção de pontos no plano, incluindo 
percursos em linha reta e giros 
e a localização de números na-
turais na reta numerada. Relem-
braremos as quatro operações 
básicas e a potenciação com 
números naturais. As frações e 
os números decimais também 
serão estudados, revisando sua 
representação, nomenclatura e 
equivalência. Estudaremos pro-
porções, regra de sociedade e 
regra de três composta, e fecha-
remos a Unidade com análise de 
gráficos e tabelas.
Entendendo 
a unidadeMA
G
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missão
10
› Relembre alguns conceitos relacionados à direção: norte (vertical, para cima), sul (vertical, para 
baixo), leste (horizontal, para a direita) e oeste (horizontal, para e esquerda).
› Nas questões a seguir, as imagens são muito importantes. Observe atentamente cada detalhe, 
como os pontos nas intersecções das linhas.
A figura mostra a representação da planta de uma cidade. Cada quadradinho representa uma quadra 
cuja medida de cada lado equivale a 100 m. Adriana está no ponto A (açougue).
L
A
B
2
12
E (escola) B (banco)
A (açougue)
C (confeitaria)
F (farmácia)
G (ginásio)
D (delegacia)
aquecendo
Nesta Missão aprenderemos a identificar a posição de objetos ou de 
pessoas antes e depois de uma movimentação. Em quase todas as atividades 
haverá imagens das quais deverão ser extraídas as informações para sua re-
solução. Em algumas situações será necessário determinar a distância entre 
dois pontos ou de um ponto a uma reta.
EF04MA16
D1 – Identificar a localização/movimentação de objeto, em mapas, croquis e outras 
representações gráficas.
1
missão
Prepare-se!
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Nessas condições, responda:
a) Quantos metros Adriana deve percorrer, no mínimo, para ir do açougue até o banco?
b) Quantas quadras Adriana percorrerá, no mínimo, do banco à delegacia, passando pela confeitaria?
c) Edu está na escola e deve se dirigir para a farmácia. Se não for pelo caminho mais curto, é possível 
que percorra 6 quadras?
d) Já na farmácia, Edu quer se dirigir até o ginásio. De quantas maneiras diferentes poderá fazer o 
caminho, percorrendo exatamente 3 quadras?
RESOLVENDO A QUESTÃO
Essa questão exige seu poder de observação! Ela mostra uma cidade com vários detalhes e alguns pontos 
principais ou estabelecimentos. As quadras são todas quadradas e iguais. Isso se parece um pouco com a sua 
cidade? Será que todas as cidades são assim?
Você observou todos os pontos principais da figura? São 7 pontos, e Adriana está no açougue (ponto A).
As perguntas são relacionadas à movimentação dentro da cidade, o que tem tudo a ver com o descritor 
estudado (D1). Por essa razão, elas investigam os deslocamentos de Adriana na cidade, passando pelos 7 pontos 
demarcados. Vamos ao gabarito:
a) Para ir de A até B, deve andar 4 quadras na vertical e uma na horizontal ou uma na horizontal e 4 na 
vertical, ou seja, 5 quadras. Sendo assim, percorrerá 500 metros.
b) De B até D, passando por C, deverá percorrer 4 quadras na horizontal e 9 na vertical, ou seja, 13 quadras.
c) O caminho mais curto de E até F mede 500 m (5 quadras) e não é possível percorrer 6 quadras.
d) Sendo H a movimentação horizontal e V a vertical, há 3 maneiras distintas: HVV, VHV e VVH.
1. Uma empresa possui alguns corredores na forma circular e outros retilíneos, como indica a fi-
gura. Os pontos de intersecção entre os corredores são salas de serviço. O caminho de B até C, 
passando por J, sem repetir salas, inclui no mínimo 5 salas: B, D, J, H, C.
D
J 
I
M
A
L G H CB E F K
O menor caminho de C até L, sem repetir salas, passando pela sala B, inclui:
(A) 5 salas.
(B) 6 salas.
(C) 7 salas.
(D) 8 salas.
Resposta: alternativa B.
L
A
B
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Valendo!
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12
2. Um homem caminha 200 m para o oeste, 600 m para o norte, 100 m para o leste e 500 m para o sul.
Para voltar à posição inicial, deverá caminhar:
(A) 100 m para o leste e 100 m para o sul. 
(B) 100 m para o oeste e 100 m para o norte.
(C) 300 m para o leste e 100 m para o sul.
(D) 300 m para o oeste e 100 m para o norte.
Resposta: alternativa A.
Quando alguém se desloca para um determinado sentido e deseja retornar à posição inicial, deve se mover no
sentido contrário, percorrendo a mesma distância. Por exemplo: se uma pessoa caminha 7 unidades para a esquerda
e deseja voltar à posição inicial, então ela deve caminhar 7 unidades para a direita. Se ela andar 4 unidades para cima, 
então ela deve andar 4 unidades para baixo, para retornar à posição inicial.
3. Na planta a seguir, cada quadradinho representa uma quadra de uma cidade. As residências dos 
amigos Ana, Bela, Cacau e Dudu estão representadas pelos pontos A, B, C e D, respectivamente. 
O ponto E representa a escola e o F, a farmácia. Todos os amigos devem passar na escola e na 
farmácia, e depois voltar para casa, percorrendo o menor caminho possível.
A
D
E F
B
C
O amigo que percorrerá a menor distância é:
(A) Ana.
(B) Bela.
(C) Cacau. 
(D) Dudu.
Resposta: alternativa C.
L
A
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missão
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› Relembre como é o sentido horário e o sentido anti-horário 
(se necessário, utilize um relógio de ponteiros).
› Atenção: giros à esquerda são anti-horários e à direita 
são horários.
L
A
B
2
12
A figura mostra a representação da planta de uma cidade, na qual os lados dos quadradinhos têm 
medidas iguais a 100 m. Uma motocicleta parte do ponto A, percorre 400 m e chega ao ponto B, conforme 
mostra a figura. A partir daí, segue o seguinte traçado, nesta ordem:
› Gira 90° para a direita e percorre 300 m em linha reta.
› Gira 90° para a direita e percorre 200 m em linha reta.
› Gira 90° para a esquerda, percorre 300 m em linha reta e estaciona.
A 
B 
C 
E
D
F
L
A
B
2
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Sentido 
horário
Sentido 
anti-horário
aquecendo
Os ângulos fazem parte de nosso dia a dia. Por isso, é muito importante 
entender as mudanças de direção por meio de giros.
Esta Missão apresentará muitas figuras que facilitam a compreensão dos 
percursos e das mudanças de direção. Mas muito cuidado: nem todos os ângulos 
da figura devem ser utilizados diretamente nos cálculos exigidos pelos exercícios.
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D6 – Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não.2
missão
Prepare-se!
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Nessas condições, responda:
a) A motocicleta estacionou em que ponto?
b) Descreva um possível percurso que a motocicleta deve realizar para partir do ponto A e chegar 
ao ponto F, passando por B e realizando giros de 90°.
RESOLVENDO A QUESTÃO
Cada quadra tem os lados medindo 100 m. A motocicleta parte do ponto A e chega ao ponto B, ou seja, per-
corre 4 quadras, o que equivale a 400 m. Daí em diante, é necessário lembrar o significado de um giro de 90°. 
Giro à esquerda é anti-horário e à direita é horário.
a) Lembre-se de que a mudança de direção deve ser determinada de acordo com o sentido da trajetó-
ria anterior. Girar 90° à direita e percorrer 300 m implica em caminhar 3 quadradinhos à direita do 
ponto B. Ao girar novamente 90° para a direita e percorrer 200 m, a motocicleta se encontraria 3 quadras 
à esquerda do ponto C. O giro final à esquerda conduz a motocicleta ao ponto C.
A 
C 
E
D
F
B 
b) Existem vários possíveis percursos. Um deles é:
› Partindo de A, desloque-se 400 m para cima, alcançando o ponto B.
› Gire 90° à esquerda e percorra 600 m em linha reta.
› Gire 90° à direita e se desloque em linha reta por 200 m, chegando ao ponto F.
A 
C 
E
D
F
B 
L
A
B
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L
A
B
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15
Em alguns problemas desta Unidade, será necessário 
determinar quantos giros foram realizados à esquerda e à 
direita. É provável que você tente obter essa informação 
girando o caderno, mas isso não é necessário. Basta verifi-
car que, em cada mudançade direção, há um giro no senti-
do anti-horário (à esquerda) ou um giro no sentido horário 
(à direita). Na figura ao lado, o percurso de A até E inclui 
um giro no sentido horário (em B) e dois giros no sentido 
anti-horário (em C e em D).
baú do conhecimento
1. Uma máquina de costura industrial foi programada para costurar um desenho ABCD formado 
pelos segmentos de reta AB, BC e CD em um tecido plano. Os comandos foram obedecidos na 
ordem abaixo:
› Partindo do ponto A, costure em linha reta e na vertical por 20 cm, até o ponto B.
› Gire 60º no sentido anti-horário e costure em linha reta por 20 cm até o ponto C.
› Gire 130º no sentido horário e costure em linha reta por 20 cm até o ponto D.
Após esses comandos, qual desenho melhor representa a costura produzida por essa máquina?
(A) (B)
(C) (D)
Resposta: alternativa D.
B 
60o
130o
C
D
A
IL
U
S
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A
Ç
Õ
E
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A
B
2
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B 
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120o
C
D
A
A 
B 
D
D
130o
60o
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C
A 
B 
D
60o
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Valendo!
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16
Fique ligado: um giro de 270° no sentido anti-horário equivale a um giro de 90° no sentido horário. Isso ocorre porque, 
quando somados, resultam em 360° (270° + 90° = 360°). Dessa forma, podemos verificar que um giro de x graus no 
sentido horário equivale a um giro de (360° − x) no sentido anti-horário e vice-versa.
2. A vista superior do andar de um edifício formado por vários corredores (dispostos na horizontal 
e na vertical) está representada na figura. Luciano está no ponto A e percorre o corredor no 
sentido indicado pela seta. Ao fim desse corredor, gira 90° no sentido horário, entra em um novo 
corredor e segue em frente até o final dele, onde gira 270° no sentido anti-horário e continua 
novamente em linha reta.
A
E
C
D
B
Dessa forma, Luciano passará pelo ponto:
(A) B. (B) C. (C) D. (D) E.
Resposta: alternativa B.
3. Rodolfo foi desafiado e resolveu corretamente o labirinto da figura. Para alcançar esse objetivo, 
desenhou uma linha vermelha, composta por segmentos de reta horizontais e verticais.
A 
B 
Nesse percurso, partindo do início (ponto A) até o final (ponto B), quantas rotações de 90° à es-
querda foram realizadas por Rodolfo?
(A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 8.
Resposta: alternativa D.
L
A
B
2
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L
A
B
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missão
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EF06MA01
D16 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
Você se lembra da reta numerada? Ela tem infinitas divisões, mas nesta 
Missão iremos explorar apenas divisões que representam os números natu-
rais. Além de determinar um ponto fixo dessa reta, estudaremos também as 
mudanças de posição ao longo do comprimento dela.
 › A reta numerada não será apresentada com todas as marcações. Fique atento às marcações 
fornecidas pela figura.
 › Os comandos estão no enunciado, mas acompanhe as informações que estarão junto à reta numerada.
A figura mostra uma reta numerada que representa a rua de uma cidade. Os pontos I (igreja), 
J (joalheria), L (livraria), M (mercado) e N (casa de Nair) estão nessa rua. As distâncias são expressas em 
centenas de metros.
I 
J 
L 
M
N(52)
A(8)
Nessas condições, responda:
a) Qual a distância mínima que Nair percorrerá indo da casa dela até à joalheria?
b) Estando na joalheria, Nair foi ao mercado, depois à igreja e, por fim, à livraria. Quantos metros 
 andou, no mínimo?
RESOLVENDO A QUESTÃO
Observe bem cada um dos pontos. Quantos intervalos têm no total? A numeração aumenta da esquerda 
para a direita ou da direita para a esquerda? Responder a essas questões dará a você mais clareza para resolver 
o problema.
Há 2 pontos com números. Você os encontrou? Eles são de grande importância para a resolução do problema.
L
A
B
2
12
A(8) N(52)
L
A
B
2
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aquecendo
Prepare-se!
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Vamos resolver:
a) Primeiramente, é necessário determinar a quantidade de intervalos entre as marcações com números na 
reta numerada. Pela figura, pode-se verificar que há 22 intervalos entre os pontos A(8) e N(52), cuja dife-
rença é 44. Dessa forma, cada intervalo irá medir 
22
44 = 2 centenas de metros. Entre os pontos N e J há 
14 intervalos, que representam 14 ⋅ 200 = 2 800 m. Portanto, Nair percorrerá no mínimo 2 800 metros.
b) Da joalheria até o mercado há 5 intervalos, do mercado à igreja há 10 intervalos e da igreja à livraria há 
7 intervalos. O total de intervalos do percurso realizado por Nair é 5 + 10 + 7 = 22 . Então, esse percur-
so mede 22 centenas de metros, que equivale a 22 ⋅ 200 = 4 400 m. Portanto, Nair andou no mínimo 
4 400 metros.
1. Em determinado dia, um cientista mediu a altura da maré em uma praia. Às 3h, a maré alcançou 
180 cm (ponto A), às 9h, atingiu 30 cm (ponto B) e, às 15h, atingiu o ponto C. Esses valores foram 
representados na reta numerada abaixo:
AB C
A altura da maré às 15h, em cm, é:
(A) 200. (B) 210. (C) 240. (D) 300.
Resposta: alternativa B.
2. A reta numerada abaixo indica o número de televisores vendidos ao longo do tempo. Em julho 
de 2019, representado pelo ponto A, nenhum televisor desse modelo foi vendido, pois esse foi o 
mês em que foram lançados. O ponto B representa fevereiro de 2020, quando foram vendidos 
280 televisores. Sabendo que o número do aumento das vendas a cada mês foi sempre o mesmo, 
quantos televisores foram vendidos em março de 2020, mês representado pelo ponto C?
CBA
(0) (280)
Quantos televisores a empresa vendeu em março de 2020?
(A) 320. (B) 390. (C) 460. (D) 480.
Resposta: alternativa A.
3. A reta numerada da figura ilustra a pontuação de Rodrigo em um jogo de videogame. Após passar 
por algumas fases, Rodrigo tinha 250 pontos (ponto A). Passadas mais algumas fases, atingiu a 
pontuação indicada pelo ponto B e, ao final do jogo, alcançou o triplo da pontuação total.
A B
0
Quantos pontos Rodrigo tinha ao final do jogo?
(A) 550. (B) 1 100. (C) 1 550. (D) 1 650.
Resposta: alternativa D.
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2
12
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2
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2
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Valendo!
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EF04MA16
missão
19
Nesta Missão, vamos explorar problemas que utilizam números na-
turais e envolvem as quatro operações básicas e/ou a potenciação. 
É possível que, em uma mesma questão, apareçam mais de uma delas: adição 
e multiplicação, potenciação e divisão, entre outras combinações. Quando 
houver divisões, nem sempre serão exatas.
› Leia o enunciado com atenção e extraia os dados numéricos relevantes. É possível que uma 
determinada questão apresente dados que não serão utilizados.
› Não tente efetuar cálculos de forma aleatória cujo resultado componha uma das alternativas. 
Reflita sobre o texto para concluir qual(is) operação(ões) está(ão) envolvida(s). 
Para uma festa de casamento foram convidadas 301 pessoas. O organizador dispôs mesas com 
8 cadeiras (a imagem mostra parte da organização da festa). Verificou-se que todos os convidados 
compareceram à festa.
Nessas condições, responda:
a) Quantas mesas foram necessárias para acomodar todos os convidados?
b) Quantas cadeiras ficaram vazias?
c) Quantas mesas seriam necessárias se acomodassem apenas 6 pessoas?
d) Com 7 cadeiras em cada mesa a divisão seria exata? Justifique.
FR
E
E
P
IK
EF06MA03
D19 – Resolver problema com números naturais envolvendo diferentes significados das operações 
(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).
aquecendo
Prepare-se!
4
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20
RESOLVENDO A QUESTÃO
Este é um problema que os organizadores defestas estão acostumados a resolver. Você irá se deparar com 
situações semelhantes, como determinar a quantidade de salgadinhos, o número de garrafas de bebidas ou de 
peças de carne quando tiver que organizar festas ou churrascos. Quais informações são importantes? Qual das 
quatro operações básicas devemos utilizar?
a) Dividindo-se 301 por 8, obtém-se 37 e sobram 5, ou seja, 5 convidados ficariam em pé. Dessa forma, serão 
necessárias 38 mesas.
b) Se na divisão sobram 5 convidados para ocupar a última mesa, que possui 8 cadeiras, sobrarão 3 ca-
deiras vazias.
c) A divisão de 301 por 6 resulta em 50 e sobra 1. Assim, será necessária mais uma mesa. Então, são neces-
sárias 51 mesas.
d) Sim, pois a divisão de 301 por 7 é exata, sendo necessárias 43 mesas para acomodar todos os convidados.
1. José possui R$ 530,00 e vai comprar o máximo de camisetas de R$ 70,00 com essa quantia.
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B
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K
Nessas condições ele comprará quantas camisetas?
(A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9.
Resposta: alternativa B.
Quando as divisões entre números naturais não são exatas é necessário interpretar o que 
fazer com o resto. 
Muitas vezes o resto não será necessário para resolver o problema, mas é preciso verificar 
a necessidade de arredondar o quociente para mais ou para menos. Veja o exemplo: 
Tenho R$ 200,00 e quero comprar o maior número de livros que custam R$ 30,00 cada um. É 
possível comprar 6 livros e sobram R$ 20,00 (que não vão ter serventia no problema). No entanto, 
se tenho 200 livros e em cada prateleira cabem 30, quantas prateleiras, no mínimo, são necessárias? 
O cálculo é o mesmo, mas 6 prateleiras não serão suficientes (20 livros ficarão sem prate-
leira). Assim, serão necessárias 7 prateleiras.
baú do conhecimento
Valendo!
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21
2. Uma empresa precisa transportar 1 250 caixas de sucos, cada uma pesando 25 kg. Em uma via-
gem, seu caminhão transporta até 4 toneladas, ou seja, 4 000 kg. O número mínimo de viagens 
necessárias para o transporte utilizando apenas esse caminhão é:
(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 9.
Resposta: alternativa C.
3. Um sargento dividiu um pelotão de soldados em 16 fileiras com 9 soldados em cada uma. Não 
satisfeito, reposicionou os soldados em um número de fileiras igual ao número de soldados em 
cada uma.
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O número de fileiras após o reposicionamento é igual a:
(A) 9.
(B) 12.
(C) 16.
(D) 25.
Resposta: alternativa B.
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miss‹o
22
5
Nesta Missão, para resolver os problemas, você precisará relembrar dois 
conteúdos: frações e números decimais. É preciso relacioná-los entre si e 
representá-los graficamente.
 › Em alguns problemas, você deverá fazer a comparação entre frações e entre números decimais. 
É mais fácil comparar os números racionais na forma decimal.
 › Associe as informações das figuras a números racionais, na forma fracionária.
Conrado é professor de Matemática e está divulgando as notas de uma prova para os alunos. Para 
aferir se compreenderam o conteúdo, escreveu as notas de formas diferentes, como indicado na figura:
Nessas condições, responda:
a) Quais notas são iguais entre os 4 alunos da turma A?
b) Quais notas são iguais entre os 4 alunos da turma B?
RESOLVENDO A QUESTÃO
Estudamos para aprender e não apenas para tirar boas notas. Tirá-las acaba sendo uma consequência do 
estudo. Mas algumas pessoas, mesmo estudando, não conseguem tirar boas notas. Por quê? O que você pode 
fazer para ajudar essas pessoas? Você já pediu ajuda para algum colega ou algum colega já pediu ajuda para você?
a) Vanderlei e Raquel. Dividindo-se 7 por 4 (nota de Vanderlei), obtém-se 1,75. As notas de Raphaela e Conceição 
são diferentes. A nota de Conceição é formada por 7 inteiros somados a 1
4 
= 0,25, o que resulta em 7,25.
b) Márcio e Teodoro; João e Milene. Dividindo-se 9 por 5 (nota de Márcio), obtém-se 1,8. A nota de Milene 
equivale a 9 inteiros mais 1
5
 = 0,2, ou seja, 9,2, que é a mesma de João. 
EF06MA07 e EF06MA08
D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
VANDERLEI MÁRCIORAPHAELA JOÃOCONCEIÇÃO MILENE
TURMA A TURMA B
RAQUEL TEODORO
7,4 9,21,75 1,8
 1 
97
4
9
5
 1 
7
4 5
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23
1. Vitória está ouvindo uma música no celular. A figura mostra uma barra dividida em partes iguais 
com os números 0 e 1 em seus extremos e que indica, em amarelo, quanto da música já foi ouvida.
 0 1
Qual é o número decimal que expressa a fração da música já ouvida por Vitória?
(A) 0,75 (B) 0,8 (C) 0,9 (D) 0,93
Resposta: alternativa A.
2. A figura mostra a barra de volume de um televisor, que varia de 0 a 1. Mariana aumentou o volume 
até preencher 6 quadrinhos em vermelho.
0 1
O número decimal que indica o volume do televisor é:
(A) 0,15. (B) 0,25. (C) 0,4. (D) 0,6.
Resposta: alternativa C.
3. Em uma competição matemática, participaram quatro alunos, cujas notas foram:
LUCIANO LEILA OSVALDO FERNANDA
3 7 1 
3,53
5 2 5
Os alunos com notas iguais são:
(A) Luciano e Leila.
(B) Luciano e Osvaldo.
(C) Leila e Fernanda.
(D) Osvaldo e Fernanda.
Resposta: alternativa C.
Existem duas formas de representar os números racionais: a forma decimal e a forma 
fracionária. Quando a forma fracionária é imprópria, ou seja, o numerador é maior que o de-
nominador, é possível separar uma parte inteira, obtendo-se uma fração mista. Veja o exemplo:
9
2 
= 4 
1
2
Dividindo-se 9 por 2, obtém-se quociente 4, que é a parte inteira. O resto é 1, que irá compor 
o numerador do restante da parte fracionária.
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missão
24
6
As frações têm alguns significados diferentes, mas o mais comum é re-
presentar uma parte de um todo que foi dividido igualmente. 
Nesta Missão, identificar quais serão o numerador e o denominador em cada 
situação será essencial para resolver os problemas relacionados ao assunto estu-
dado. Também será necessário relembrar a tabuada para simplificar as frações 
redutíveis, pois, na maior parte das vezes, as frações das alternativas e/ou do 
gabarito das questões sempre estarão na forma irredutível, ou seja, simplificadas.
› Ao ler o enunciado, reflita sobre quais informações podem representar o numerador e o denominador.
› Atente-se ao fato de que nem sempre o numerador e o denominador são compostos por valores 
apresentados de forma explícita no enunciado.
José, Helena e Jairo são amigos. José tem 4 livros, Helena tem 2 e Jairo, 3.
D22 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados.
Prepare-se!
EF06MA0 e EF06MA08
aquecendo
a) Em relação ao total de livros dos amigos, qual fração representa a quantidade de livros de José?
b) Em relação ao total de livros dos amigos, qual fração representa a quantidade de livros de Jairo?
c) Se Jairo comprar mais um livro, qual fração representará sua quantidade no total dos livros dos 
três amigos?
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25
RESOLVENDO A QUESTÃO
As frações fazem parte do nosso dia a dia. Vamos relembrar sua representação gráfica?Observe a imagem:
Depois de rever algumas frações, vamos resolver o problema proposto:
a) A fração que você precisa determinar é composta pelo número de livros de José (que será colocado no 
numerador) e o total dos livros dos três amigos (que será escrito no denominador).
 José tem 4 livros. Esse número é o numerador da fração. O total de livros dos amigos é: 4 + 2 + 3 = 9. 
Esse número é o denominador. A fração obtida é 
4
9
.
Antes de terminar, verifique se é possível simplificar a fração. Como 4 = 2 × 2 e 9 = 3 × 3, não há fatores 
em comum, portanto a fração é irredutível, ou seja, não é possível simplificá-la.
b) Nessa situação, Jairo tem 3 livros, esse valor deve ser o numerador. O denominador continua sendo 9. 
A fração resultante é 
3
9
. No entanto, essa fração é redutível, ou seja, pode ser simplificada , dividindo-se 
tanto o numerador quanto o denominador por 3, obtendo-se 
1
3
.
c) Se comprar mais um livro, Jairo ficará com 4. No entanto, o total de livros dos amigos também será alte-
rado para 10. A fração solicitada, portanto, será 
4
10
.
Toda fração tem um numerador e um denominador. O numerador é expresso por um número 
inteiro e deve ser colocado acima da barra de divisão. Representa a quantidade de elementos 
considerados ou de partes consideradas de um todo. O denominador também é expresso por 
um número inteiro e deve ficar embaixo da barra de divisão. Exprime a quantidade total (o todo) 
dividida em partes iguais. Por exemplo: 
Leda recebe R$ 2 400,00 de salário mensal. Dessa quantia, gasta R$ 800,00 com aluguel. 
Dessa forma, a fração do salário que Leda destina ao aluguel é 
800
2 400
=
1
3
.
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26
1. Em uma fábrica há três seções. Na seção A, há 10 homens e 20 mulheres, na seção B trabalham 
25 homens e 10 mulheres e a seção C é composta por 45 homens e 10 mulheres. 
O número de homens dessa fábrica representa qual fração do total de funcionários das três se-
ções dela?
(A) 
1
2
(B) 
1
3
(C) 
2
3
(D) 
2
5
Resposta: alternativa C.
2. André e Bernardo, em dois dias, pintaram juntos 150 m2 da parede de uma residência. No primeiro 
dia, André pintou 35 m2 e Bernardo pintou 40 m2 e, no segundo dia, André pintou 45 m2 e Bernar-
do o restante que faltava.
No segundo dia, Bernardo pintou uma fração do total da área pintada que equivale a:
(A) 
1
2
.
(B) 
1
3
.
(C) 
1
4
.
(D) 
1
5
.
Resposta: alternativa D.
3. Quarenta atletas participaram de um campeonato de judô. Ao fim da primeira rodada, 8 atletas 
foram eliminados. Após a segunda rodada, metade dos que haviam ficado foram eliminados. Na 
terceira rodada, mais 4 atletas foram eliminados.
 O número de judocas que sobraram no campeonato após a terceira rodada em relação ao total de 
participantes pode ser quantificado pela fração:
(A) 
7
10
.
(B) 
3
10
.
(C) 
1
5
.
(D) 
1
2
.
Resposta: alternativa B.
Valendo!
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missão
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aquecendo
7
Uma mesma fração pode ser escrita de formas diferentes (frações equi-
valentes). 
Nesta Missão, estudaremos a forma irredutível (sem necessidade de sim-
plificação) e a forma redutível das frações. Em muitos casos, será necessário 
simplificá-las. Tenha a tabuada na ponta da língua!
 › Em cada situação, reflita sobre quais informações podem representar o numerador e o denominador.
 › Sempre que possível, simplifique as frações.
Valdete assou três tortas de formato circular de mesmo tamanho. A torta de maçã foi dividida em 
20 pedaços iguais, a de queijo em 12 pedaços iguais e a de frango em 8 pedaços iguais. Joel comeu 
5 pedaços da torta de maçã e Valéria comeu 2 pedaços da torta de frango.
a) Qual dos dois comeu a maior quantidade de torta?
b) Quantos pedaços de torta de queijo Marilda deverá comer para igualar-se à quantidade consumida 
por Joel?
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D23 – Identificar frações equivalentes.
Prepare-se!
Torta de maçã
Torta de queijo Torta de frango
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28
RESOLVENDO A QUESTÃO
a) Os dois comeram a mesma quantidade. Joel comeu 
5
20
 da torta de banana. Simplificando a fração por 5, 
obtém-se 
1
4
. Já Valéria comeu 
2
8
 da de frango, que também representa 
1
4
 da torta, simplificando a 
fração por 2. Como as tortas têm o mesmo tamanho, as quantidades consumidas foram iguais.
b) A torta de queijo foi dividida em 12 pedaços. Esse valor é o denominador da fração, pois representa o 
total de fatias. Como a fração de torta que Joel comeu equivale a 
1
4
, devemos multiplicar o numerador 
e o denominador por 3 para obter a fração equivalente com denominador 12, que é 
3
12
 . Sendo assim, 
Marilda deverá comer 3 pedaços da torta de queijo.
1. A figura 1 representa um painel retangular dividido em partes iguais. A parte cinza representa a 
fração do painel em que serão aplicados adesivos. A figura 2 representa outro painel, de mesmo 
tamanho que o primeiro, também dividido em partes iguais, porém cada parte do segundo painel 
tem tamanho diferente de cada parte do primeiro painel. 
Figura 1 Figura 2
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A
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12
Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o numerador e o denomi-
nador das frações pelo mesmo número. Mas, para verificar se duas ou mais frações são equi-
valentes, recomendamos obter a forma irredutível dessas frações e compará-las. Um exemplo 
são as frações 
14
21
e 
40
60
, que são equivalentes. Ao simplificar a primeira por 7, obtém-se 
2
3
 e, 
ao simplificar a segunda por 20, também se obtém 
2
3
.
baú do conhecimento
Valendo!
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29
 Em quantas partes do segundo painel devem ser aplicados adesivos, de forma que o restante, em 
ambos os painéis, sejam iguais?
(A) 6.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 12.
Resposta: alternativa C.
2. Dois terrenos de mesmo tamanho estão com seus lotes à venda. O terreno A é dividido em 24 
lotes iguais e o terreno B, em 30 lotes iguais. Cláudio comprou 8 lotes do terreno A e Andrea 
pretende comprar lotes do terreno B.
A B
 Quantos lotes Andrea deve comprar do terreno B para que a quantidade restante seja igual à que 
restou no terreno A?
(A) 6.
(B) 8.
(C) 10.
(D) 12.
Resposta: alternativa C.
3. No mês de julho, Carlos recebeu seu salário e mais 
1
3
 do valor dele, como abono de férias.
A fração que representa a quantidade de salários recebidos por Carlos no mês de julho é:
(A)
2
3
.
(B)
4
3
. 
(C)
7
3
.
(D)
11
3
.
Resposta: alternativa B.
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missão
30
8
Nesta Missão, estudaremos o valor posicional dos algarismos nos números 
decimais, nas ordens dos décimos, centésimos e milésimos etc. É necessária 
muita atenção ao posicionamento da vírgula, pois uma eventual troca de 
algarismos pode alterar completamente o número decimal. 
E o zero à direita da vírgula, tem importância? Se houver um outro alga-
rismo à direita dele, ele tem importância e não deve ser descartado.
› Preste atenção na posição da vírgula.
› Cada uma das casas depois da vírgula tem uma nomenclatura. Se necessário, escreva-as em 
seu caderno antes de iniciar as atividades.
EF06MA02
D24 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema 
de numeração decimal identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos.
Em uma escola, foram medidas as alturasde três alunos, como mostra a figura abaixo.
Fernando
1,84 m
Lúcia
1,80 m
Renata
1,67 m
a) Dentre os números que representam as medidas das três alturas, qual possui o maior algarismo 
da parte inteira?
b) Qual algarismo ocupa a posição de décimos na medida de cada uma das alturas?
c) O algarismo 7 da medida da altura de Renata representa que fração, em metro?
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31
RESOLVENDO A QUESTÃO
Qual é a sua altura? Quantos metros você deveria crescer para ter a mesma altura que um amigo mais alto 
que você? Ou quantos metros um amigo mais baixo que você deveria crescer para ter a sua altura?
Como utilizamos o sistema métrico decimal, nossa altura é medida em metros. A maioria de nós tem entre 1 e 
2 metros, ou seja, 1 metro somado a outros tantos centímetros. Para expressar essa medida, em geral, utilizamos 
números decimais com duas casas após a vírgula, como nessa questão. A posição de cada algarismo é importante, 
e números como 1,35 e 1,53, por exemplo, são completamente diferentes. 
a) Nenhum deles, pois todos apresentam o algarismo 1 na parte inteira.
b) Na de Fernando, o algarismo 8, na de Renata, o algarismo 6 e, na de Lúcia, o algarismo 8.
c) Representa 
7
100
de metro.
A localização de cada algarismo em um número é muito importante. Se um algarismo está 
logo à direita da vírgula, esse é chamado décimo. À direita do décimo é denominado centésimo, 
depois milésimo, décimo de milésimo e assim por diante. No número 1,634, por exemplo, o 
algarismo 6 ocupa a posição dos décimos, ou seja, representa 6 décimos. Já no número 1,364, 
o algarismo 6 ocupa a posição dos centésimos e representa 6 centésimos.
1. A casa de Daniela tem 21,87 metros de largura.
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O algarismo 7 representa:
(A)
7
10
 de metro. (B)
7
100
 de metro. (C) 10 metros. (D) 100 metros.
Resposta: alternativa B.
21,87 m
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12
2. Foi observado na vitrine de uma loja de roupas que o preço da camisa azul é R$ 83,20.
R$ 83,20
Loja de 
Roupas
R$ 83,20
No preço desta camisa, o algarismo 2 representa:
(A)
2
10
 de real.
(B)
2
100
 de real.
(C) 2 reais.
(D) 20 reais.
Resposta: alternativa A.
Cuidado com o algarismo zero na parte decimal! Apesar de não possuir valor em si, ele altera o valor do número 
no geral, ao ocupar uma ou mais casas decimais. Exemplo: 4,01 é diferente de 4,1.
3. Heraldo, Fernão, Richard e Paulo foram almoçar em um restaurante. A figura ilustra o valor pago 
por cada um ao final da refeição.
Heraldo
R$ 23,80
Fernão
R$ 42,83
Paulo
R$ 25,31Richard
R$ 31,49
IL
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: B
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/F
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IK
O algarismo 3 está na posição de décimos de real no valor pago por:
(A) Heraldo. (B) Fernão. (C) Richard. (D) Paulo.
Resposta: alternativa d.
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miss‹o
33
9
Você se lembra da regra de três simples? 
Nesta Missão vamos expandir esse assunto, explorando também a regra 
de três composta (com mais de duas grandezas). Além disso, estudaremos 
a divisão proporcional, como uma regra de sociedade (divisão de lucros de 
uma empresa, por exemplo).
 › Quando as grandezas são diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem na mesma 
proporção.
 › Quando as grandezas são inversamente proporcionais, a regra é contrária: quando uma au-
menta, a outra diminui, e vice-versa, na mesma proporção. 
Jorge, Luciano e Fabiana abriram uma empresa juntos. Jorge investiu 10 mil reais, Luciano investiu 
20 mil e Fabiana, 50 mil. Após um ano, o lucro foi de 120 mil reais e a sua divisão foi realizada de forma 
proporcional aos valores investidos.
a) Quanto recebeu cada um deles após um ano?
b) Guto foi convidado para participar da abertura da empresa, mas desistiu. Se tivesse aceitado e 
investido 20 mil reais, qual seria a sua parte nos lucros?
D29 – Resolver problema que envolva variações proporcionais, diretas ou inversas entre grandezas.
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aquecendo
Prepare-se!
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34
RESOLVENDO A QUESTÃO
A questão trabalha com a divisão do lucro de uma empresa. Mas você acha que seria justo dividi-lo em 
3 partes iguais? É claro que não! Fabiana investiu mais que todos eles. Então, ela deve receber mais. Vamos re-
solver a questão.
a) Primeiramente, é necessário determinar a fração que representa o investimento de cada um. A soma 
dos investimentos é 10 mil + 20 mil + 50 mil = 80 mil. A parte de Jorge é 10 em 80, ou seja, 
10
80
 = 
1
8
. 
A parte de Luciano é 
20
80
 = 
2
8
 e a parte de Fabiana é 
50
80
 = 
5
8
. O lucro foi de 120 mil reais e 
1
8
 de 
120 mil é igual a 15 mil reais, pois 120 ÷ 8 = 15, que é a parte de Jorge. Luciano ganhou o dobro, ou seja, 
30 mil reais, pois 
2
8
 é o dobro de 
1
8
. A parte de Fabiana é 
5
8
, o que representa 5 vezes a parte de Jorge: 
5 × 15 mil reais = 75 mil reais.
b) Se Guto tivesse investido 20 mil reais, o total seria 80 mil + 20 mil = 100 mil. A parte de Guto seria 20 
em 100, ou seja, 
20
100
 = 
1
5
. Como o lucro foi de 120 mil reais, 
1
5
 de 120 mil é igual a 24 mil reais, pois 
120 ÷ 5 = 24, que é a parte de Guto.
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É essencial verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Para 
isso, quando precisar comparar duas grandezas, chamadas de Grandeza 1 e Grandeza 2, deve-
mos perguntar: 
Quanto maior a Grandeza 1, maior ou menor a Grandeza 2?
Se a resposta for “maior”, trata-se de grandezas diretamente proporcionais e, se a resposta 
for “menor”, trata-se de grandezas inversamente proporcionais.
Vamos analisar um exemplo de grandezas diretamente proporcionais: quanto maior o com-
primento de um muro, mais ou menos tempo é necessário para construir o muro? Quanto maior 
o comprimento do muro, maior será o tempo demandado para construí-lo. Logo, “comprimento 
do muro” e “tempo de construção” são grandezas diretamente proporcionais.
Outro exemplo: quanto maior a quantidade de trabalhadores, 
o tempo necessário para construir o muro será maior ou menor? 
Quanto maior a quantidade de trabalhadores construindo o muro, 
menor será o tempo necessário para o muro ser finalizado. Assim, 
“quantidade de trabalhadores” e “tempo de construção” são grandezas 
inversamente proporcionais.
baú do conhecimento
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35
3. Três arqueólogos, com a mesma eficiência, inspecionam 
uma área de 12 000 m2 em 3 dias, trabalhando 8 horas 
por dia. Se mais 2 arqueólogos de mesma eficiência 
se juntarem aos anteriores e trabalharem 6 horas 
por dia, durante 4 dias, conseguirão inspecionar 
uma área maior.
Essa área equivale a:
(A) 20 000 m2.
(B) 24 000 m2.
(C) 30 000 m2.
(D) 36 000 m2.
Resposta: alternativa A.
2. Para preparar um suco, é necessário misturar uma parte 
de suco concentrado de fruta e três partes de água. 
Deve-se preparar 60 litros de suco para uma festa.
Qual volume de água, em litros, é necessário para 
preparar essa quantidade de suco?
(A) 15
(B) 20
(C) 30
(D) 45
Resposta: alternativa D.
1. Vanderlei, Conceição e Rafaela são os únicos acionistas de uma empresa. Vanderlei possui 
20 ações, Conceição possui 40 e Rafaela, 30. Em determinado ano, a empresa obteve lucro de 
450 mil reais e a divisãodo lucro foi calculada de forma proporcional às quantidades de ações.
Qual foi o lucro recebido por Rafaela nesse ano, em milhares de reais?
(A) 100
(B) 150
(C) 200
(D) 250
Resposta: alternativa B.
concentrado
SUCO
Proporção: 1 parte de 
suco concentrado 
para 3 partes de água 
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PrProporoporção: 1 parte de 
suco concentrado suco concentrado suco concentrado 
parpara 3 partes de água 3 partes de águ
Proporção: 1 parte de 
suco concentrado 
para 3 partes de água 
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Valendo!
Proporção: 1 parte de 
suco concentrado 
para 3 partes de água 
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36
10
Tabelas, gráficos de colunas, de barras, de linhas e infográficos.
Nesta Missão, todos esses elementos serão estudados nos próximos 
exercícios, utilizando dados reais. Na maioria das questões, as informações 
podem/devem ser retiradas da figura que representa o gráfico. No entanto, 
não vá escolhendo qualquer número para resolver as questões, ok?
 › Ao obter dados de uma tabela, certifique-se da necessidade de se somar os elementos de uma 
linha ou de uma coluna.
 › Em gráficos de linhas, verifique todos os pontos e suas coordenadas em x e y. Também verifique 
em que trechos ele é crescente, constante e decrescente.
 › Nos gráficos de colunas ou de barras deve-se atentar aos eixos horizontal e vertical, além da 
legenda.
A figura mostra o percentual de alunos do Ensino Médio nas séries adequadas (sem terem sido reti-
dos), considerando-se sexo, cor/raça e rendimento financeiro.
Percentual de alunos do Ensino Médio que estavam 
na série esperada para a idade em 2017 por:
cor ou raça
0
preta/parda
branca
0
20% com menores rendimentos
20% com maiores rendimentos
rendimento
73,5%
63,5%
76,4%
63,5%
54,5%
90,5%
sexo
0
M
M
73,5%
63,5%
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D36 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
ANALFABETISMO cai em 2017, mas segue acima da meta para 2015. Ag•ncia IBGE Not’cias. PNAD Contínua 2017 - Educação. 
18 maio 2018. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/ 
21255-analfabetismo-cai-em-2017-mas-segue-acima-da-meta-para-2015>. Acesso em: 10 fev. 2020.
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37
a) Há mais homens ou mulheres nas séries esperadas do Ensino Médio?
b) Qual a porcentagem de alunos brancos que não estão na série esperada?
RESOLVENDO A QUESTÃO
Você percebeu que esse gráfico mostra de forma resumida a situação do Ensino Médio em nosso país? Você 
considera o cenário bom? Você acredita que, na sua cidade, o grau de escolarização é melhor do que o apresentado 
na pesquisa? O ideal seria que 100% dos estudantes estivessem na série adequada. Isso ajudaria muito o nosso 
país a crescer e se desenvolver, não é? Vamos resolver a questão:
a) Em termos absolutos, não há como responder a essa pergunta, já que não é fornecido o número 
de estudantes de cada sexo. Analisando-se apenas percentualmente, há maior abrangência no grupo 
das mulheres.
b) Se 76,4% estão na série esperada, deve-se calcular o que falta para totalizar 100%. Dessa forma:
100 − 76,4 = 23,6
Conclui-se que 23,6% dos alunos brancos não estão na série esperada.
Em gráficos de linha é comum estudar a mudança de uma variável (eixo vertical y) em função 
do tempo (eixo horizontal x). Isso dependerá da “variação” do gráfico, ou seja, se ele é crescente, 
constante ou decrescente. 
Se for constante, será representado por um segmento de reta na horizontal. Se for crescen-
te, a diferença entre os valores da variável no final e no início do trecho analisado será positiva. 
Caso contrário, se for negativa, será decrescente. 
O gráfico de linha abaixo mostra as vendas de uma empresa e nos ajuda a observar esses 
fenômenos. De 2010, a 2011 o gráfico é decrescente, pois a variável em y era 30 e foi para 15 
(diminuiu). De 2012 a 2013 e de 2015 a 2016, também é decrescente. 
Ao contrário, de 2011 a 2012, ele é crescente, pois aumenta de 15 para 25. O gráfico é cres-
cente ainda de 2013 a 2015 e de 2016 a 2017.
baú do conhecimento
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Quantidade de vendas
Dados fictícios. Elaborado em 2020.
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38
1. O gráfico a seguir mostra a expectativa de vida ao nascer, no Brasil, de 1940 a 2017.
Expectativa de vida ao nascer
0
1940
Anos de vida
2017
10
20
30
40
50
60
70
80
90
79,6
76,0
72,5
48,3
45,5
42,9
mulheres
todos
homens
Ano
Adaptado de: EXPECTATIVA de vida do brasileiro sobe para 76 anos; mortalidade infantil cai. Agência IBGE Notícias. 29 nov. 2018. 
Diretoria de Pesquisas, DPE. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/ 
noticias/23206-expectativa-de-vida-do-brasileiro-sobe-para-76-anos-mortalidade-infantil-cai>. Acesso em: 10 fev. 2020.
A categoria em que houve maior acréscimo, de 1940 a 2017, é:
(A) a de mulheres.
(B) a de homens.
(C) a infantil.
(D) nenhuma.
Resposta: alternativa A.
2. A tabela mostra a situação por domicílio da população indígena brasileira em 2010.
População indígena, por situação do domicílio, 
segundo a localização do domicílio – Brasil – 2010
Localização do domicílio
População indígena por situação do domicílio
Total Urbana Rural
Total 896 917 324 834 572 083
Terras indígenas 517 383 25 963 491 420
Fora de terras indígenas 379 534 298 871 80 663
IBGE. Censo Demográfico 2010.
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Valendo!
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39
A maioria dos indígenas brasileiros, em 2010, morava:
(A) na zona urbana, em terras indígenas.
(B) na zona urbana, fora de terras indígenas.
(C) na zona rural, em terras indígenas.
(D) na zona rural, fora de terras indígenas.
Resposta: alternativa C.
3. O infográfico abaixo apresenta a taxa de analfabetismo por unidade federativa brasileira, em 
2017, incluindo pessoas com 15 anos ou mais.
Taxa de analfabetismo da população de 15 anos ou mais
3,0
2,6
5,0
6,5
6,2
6,0
5,9
12,7
10,2
7,2
8,6
16,7
2,5
5,5
2,5
14,5
18,2
13,4
16,5
13,5
16,6 14,2
4,6
2,6
12,1
5,0
TAXA DE ANALFABETISMO 
(15 anos ou mais)
6,5%
META PARA 2015
7,0%
BRASIL EM 2017
Atingiram a meta
Não atingiram a meta
ANALFABETISMO cai em 2017, mas segue acima da meta para 2015. Agência IBGE Notícias. PNAD Contínua 2017 – Educação. 18 maio 2018. 
Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/
21255-analfabetismo-cai-em-2017-mas-segue-acima-da-meta-para-2015>. Acesso em: 10 fev. 2020.
Quantas unidades federativas não atingiram a meta de 6,5%?
(A) 12.
(B) 13. 
(C) 14.
(D) 15.
Resposta: alternativa B.
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ENE
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missão final
40
1. O sistema monetário brasileiro é composto por cédulas e moedas nos valores de 5, 10, 25 e 
50 centavos, além de moedas de 1 real.
As estudantes Maria, Fernanda e Selina têm moedas de 10, 25 e 50 centavos, conforme indica 
o quadro a seguir. 
Maria Fernanda Selina
10 2 3 3
25 1 4 1
50 4 2 4
a) Quantos reais tem cada uma das estudantes?
Resposta: Maria tem 10 × 2 + 25 × 1 + 50 × 4 = 245 centavos, que equivalem a R$ 2,45.
Fernanda tem 10 × 3 + 25 × 4 + 50 × 2 = 230 centavos, que equivalem a R$ 2,30.
Selina tem 10 × 3 + 25 × 1 + 50 × 4 = 255 centavos, que equivalem a R$ 2,55.
Número de moedas de
Valor da moeda(em centavos)
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IK
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41
b) Que fração representa o total de moedas da estudante com maior quantidade de dinheiro, em 
relação ao total de moedas das três estudantes?
Resposta: a estudante com maior quantidade de dinheiro é Selina, que possui 3 + 1 + 4 = 8 moedas. A quantidade total de 
moedas é: 2 + 1 + 4 + 3 + 4 + 2 + 3 + 1 + 4 = 24. A fração solicitada é 
8
24
 = 
1
3
.
c) Cada uma das estudantes possui exatamente 
1
3
 
da quantidade de moedas?
Resposta: não. Apesar de Selina possuir 
1
3
 da quantidade de moedas, como visto na resposta anterior, as outras têm frações 
distintas para representar essa quantidade.
Maria tem 2 + 1 + 4 = 7 moedas, logo a fração solicitada é 
7
24
. Fernanda tem 3 + 4 + 2 = 9 moedas, e a fração que representa 
a sua quantidade em relação ao total é 
9
24
 = 
3
8
 .
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42
O Hotel Nacional, 
localizado no Rio de 
Janeiro, foi projetado por 
Oscar Niemeyer, conhecido 
por trazer curvas às suas 
obras de arquitetura.
2
FORMAS E 
NúMEROS
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43
1. O edifício apresentado na imagem 
lembra a forma de que figura geo-
métrica?
2. Um arquiteto fez uma planilha de 
custos mensais para verificar em qual 
fase da construção os custos foram 
maiores. Ele quer sistematizar os da-
dos em um gráfico. Que tipo de grá-
fico seria o mais indicado? Por quê?
ponto de partida
Nesta Unidade, estudaremos 
a planificação dos sólidos geomé-
tricos, a semelhança e a condição 
de existência de triângulos. Serão 
realizados o cálculo de períme-
tros e áreas de figuras planas 
em malha quadriculada, sempre 
utilizando diferentes unidades de 
medida. Resolveremos também 
cálculos envolvendo números 
inteiros e racionais (inclusive a 
posição desses últimos na reta 
numérica) e as diversas represen-
tações de gráficos estatísticos.
Entendendo 
a unidade
 D
A
D
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 G
A
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D
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B
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Veja orientações no Manual do Professor.
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EF04MA16
missão
44
Os prismas são sólidos geométricos que possuem duas faces paralelas congruentes, denominadas 
bases. São classificados como prismas retos, se as faces laterais forem perpendiculares às bases, e 
como prismas oblíquos, caso as faces laterais não forem perpendiculares às bases. Em nosso cotidiano, 
observamos objetos cujos formatos são parecidos com prismas: embalagens, edifícios, elevadores, tijolos, 
contêineres, entre outros.
Analise a figura abaixo, representada como um sólido geométrico parecido com uma peça de um 
jogo de blocos de montar.
a) Esse sólido é parecido com um prisma?
b) Qual o número total de faces desse 
sólido?
c) Desenhe uma planificação do sólido 
apresentado.
RESOLVENDO A QUESTÃO
Você já viu um sólido parecido com esse?
O sólido geométrico apresentado acima não é muito estudado no Ensino Fundamental, muito embora seja 
até comum em nosso mundo real, pois seu formato é, por exemplo, o de uma canaleta de água da chuva ou outro 
objeto de concreto utilizado em construção civil.
Nesta Missão, vamos estudar os sólidos geométricos e suas respectivas 
planificações. Modelos em papel ou em cartolina poderão auxiliar na visua-
lização das planificações dos sólidos, permitindo análise do seu aspecto 
tridimensional.
D2 - Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensio-
nais, relacionando-as com as suas planificações.
EF03MA13 | EF03MA14
1
 › Comece analisando os elementos básicos da planificação, como faces, vértices e arestas.
 › Analise as faces do sólido geométrico para ajudar a identificar a respectiva planificação.
Prepare-se!
aquecendo
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45
Os prismas são sólidos geo-
métricos muito estudados em 
Matemática. A sua planificação 
é composta das duas bases con-
gruentes (que podem ser qual-
quer polígono), mais as faces 
laterais. A quantidade de faces 
laterais corresponde ao número 
de lados do polígono que com-
põe cada base. Por exemplo: se 
cada base é formada por um he-
xágono (polígono com 6 lados), o 
prisma terá 6 faces laterais. Para 
obter a quantidade total de faces 
de um prisma, basta pegar o número de faces laterais e somar com 2, que é a quantidade de 
bases. No exemplo dado, o prisma de base hexagonal terá, no total, 6 + 2 = 8 faces. Observe a 
imagem acima (de uma dobradura) que corresponde a uma planificação de um hexágono regu-
lar. Isso ajudará a compreender o total de faces.
baú do conhecimento
Por ter esse formato incomum, pa-
rece ser complexo obter sua planificação 
e seu número de faces, mas estudando 
com calma é possível determinar esses e 
outros elementos.
O mais difícil, talvez, seja contar 
corretamente seu número de faces 
e imaginar sua planificação. Vamos 
tentar?
a) Sim. As bases são dois polí-
gonos iguais em forma de U 
e são paralelas. 
b) O sólido tem 10 faces. Para 
contar a quantidade de fa-
ces laterais, basta contar a 
quantidade de lados da base 
em forma de U, que são 8. So-
mando às 2 bases, resulta em 
10 faces no total.
c) A figura ilustra uma planifi-
cação possível. Observe que 
há 8 faces laterais e mais as 
2 bases em forma de U.
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46
1. Na imagem, estão presentes 5 objetos que lembram 
figuras geométricas tridimensionais denominadas, da 
esquerda para a direita, como: pirâmide de base qua-
drada, esfera, cilindro, cone e paralelepípedo.
Imagine as planificações dessas figuras, quantas delas 
terão, pelo menos, uma face quadrangular?
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
Resposta: alternativa B. 
2. Lilian recortou um papelão para encapar uma caixa. A figura mostra o papelão recortado e esticado 
antes de encapar a caixa. Não foi necessário adicionar mais papelão e não houve sobreposição. 
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12
O formato da caixa é:
(A) (B) (C) (D)
Resposta: alternativa C.
3. Fábio deseja construir um sólido geométrico e reuniu vários pedaços de papelão para compor as 
faces, conforme ilustra a figura.
Qual dos sólidos abaixo Fábio vai construir se utilizar todos os pedaços de papelão?
(A) (B) (C) (D)
Resposta: alternativa D.
Lembre-se de que uma face quadrangular pode ser quadrada ou retangular, ou seja, deve ter quatro lados. Também 
poderia ser em forma de trapézio, paralelogramo, losango, entre outras. No entanto, nesta unidade estudaremos 
somente faces quadradas e retangulares.
L
A
B
2
12
L
A
B
2
12
L
A
B
2
12
A
M
A
S
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E
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G
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A
-
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/S
H
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C
K
Valendo!
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EF04MA16
missão
47
O terreno de uma fazenda tem formato triangular. Ele é representado pelo triângulo EFG, retângulo 
em G, de forma que BE = 400 m e CF = 900 m, como ilustra a figura. Será construído um enorme galpão 
quadrado (polígono ABCD) dentro desse terreno. 
L
A
B
2
12
900 m400 m
E B FC
A D
G
Nessas condições, responda: 
a) Os triângulos ABE, AGD e CDF são 
semelhantes?
b) Qual a medida do lado do galpão?
RESOLVENDO A QUESTÃO
Você percebeu as medidas em torno do galpão? Elas estão em centenas de metros. O galpão é 
GIGANTE. Vamos calcular suasdimensões!
a) Primeiramente, é necessário frisar que os 
3 triângulos são retângulos, ou seja, têm um ân-
gulo reto. A figura, já com os ângulos nomeados, 
nos auxiliará a provar que os 3 triângulos (ABE, 
AGD e CDF) são semelhantes.
Utilizando o teorema da soma das medidas dos 
ângulos internos no triângulo ABE, tem-se que:
α + β + 90° = 180° ⇒ α + β = 90°
Nesta Missão, vamos estudar a condição de existência de triângulos. 
Também será abordada a semelhança de triângulos, sobretudo o caso AA 
(ângulo-ângulo), e será solicitado o cálculo da medida de um de seus lados.
EF07MA24 | EF09MA12
L
A
B
2
12
900 m400 m
E B FC
A D
G
α
β
γ δ
λ
μ
 › Analise as figuras, pois a maior parte das informações se encontra nelas.
 › Revise os 3 casos de semelhança de triângulos (AA, LAL e LLL). 
aquecendo
2
Prepare-se!
D3 - Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.
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48
No vértice A: γ + β + 90° = 180° ⇒ γ + β = 90°
Conclui-se, então, que: α = γ
Utilizando o teorema da soma das medidas dos ângulos internos agora no triângulo AGD, tem-se que:
γ + δ + 90° = 180° ⇒ γ + δ = 90°
Chega-se à conclusão de que: β = δ
Pelo caso AA, os triângulos ABE e AGD são semelhantes. Veja que, como ambos têm um ângulo reto, era 
suficiente provar somente que α = γ.
Provemos que AGD e CDF também são semelhantes pelo caso AA (vamos provar apenas a igualdade de 
dois ângulos).
No vértice D: λ + δ + 90° = 180° ⇒ λ + δ = 90°
Sabe-se que: γ + δ = 90°
Dessa forma: λ = γ
Verifica-se que os triângulos AGD e CDF também são semelhantes. Logo, os 3 triângulos são semelhantes. 
Aliás, se você quiser conferir, o triângulo maior EFG também é semelhante a eles!
b) Denominando o lado do quadrado como x e fazendo a proporção entre os triângulos ABE e CDF, 
obtém-se:
AB
CF 
= 
BE
CD
 ⇒ 
x
900
 = 
400
x 
⇒ x2 = 360 000
 
⇒ x = 600
Assim, o lado do galpão mede 600 metros.
Você sabia que nem sempre é possível construir um triângulo com 3 segmentos de reta? 
Dependendo das medidas dos segmentos, que seriam os lados do triângulo, pode ser impossí-
vel construí-lo. Para que seja possível construir um triângulo com segmentos medindo a, b e c, 
a medida de cada segmento deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois segmen-
tos. Assim:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Mas quando essas relações são analisadas em conjunto, podemos verificar que, para 
construir um triângulo com segmentos medindo a, b e c, a medida de qualquer um dos lados 
é menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença 
entre essas medidas. Assim:
|b − c| < a < b + c
|a − c| < b < a + c
|a − b| < c < a + b
Por exemplo: se um triângulo tem lados medindo 3 cm e 7 cm, qual pode ser a medida do 
terceiro lado? Sendo x a medida do terceiro lado:
|7 − 3| < x < 7 + 3 ⇒ 4 < x < 10
O terceiro lado pode assumir qualquer medida entre 4 cm e 10 cm.
baú do conhecimento
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49
Observe um exemplo bastante conhecido que envolve o caso AA em triângulos 
retângulos. 
Pela figura ao lado, os triângulos ABE e CDE são semelhantes pelo caso AA 
(ângulo-ângulo).
No vértice E tem-se: β + 90° + γ = 180°⇒ β + γ = 90°
Pelo teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, 
conclui-se que no triângulo CDE:
α+ β + 90° = 180°⇒ α+ β = 90°
Sendo assim: α= γ
Analogamente: β = δ
1. Corina comprou duas tábuas para servir de lados para uma área triangular. O comprimento de 
uma delas é 2 metros maior que o da outra. O comprimento da terceira tábua que ela irá comprar 
deve ser maior que:
(A) 2 metros e menor que a soma das medidas das outras duas.
(B) 2 metros e menor que a diferença entre as medidas das outras duas.
(C) 4 metros e menor que a soma das medidas das outras duas.
(D) 4 metros e menor que a diferença entre as medidas das outras duas.
Resposta: alternativa A.
2. A figura ilustra o mapa de uma região, cujos pontos re-
presentam cidades. Algumas distâncias já estão indicadas: 
AE = 60 km, BC = 90 km e AC = 100 km. Sabe-se também 
que os dois ângulos marcados (ABC^ e ADE^ ) são congruentes. 
Daniel está com seu avião na cidade D e deseja ir até a cidade 
E em linha reta. Quantos quilômetros Daniel deve percorrer?
(A) 54.
(B) 56.
(C) 62.
(D) 67.
Resposta: alternativa A.
60 km
90 km
100 km
A
B
E
CD
L
A
B
2
12
Valendo!
3. A figura mostra dois morros de alturas BD = 240 m e 
CE = 100 m. Nos pontos A, B e C existem estações de bondi-
nho. A distância AD é 80 m. Qual é a medida da distância AE?
(A) 240 m.
(B) 280 m.
(C) 300 m.
(D) 320 m.
Resposta: alternativa C.
L
A
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A
B
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C
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A
BEC
D
α
β γ
δ
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EF04MA16
missão
50
No Brasil há várias denominações para as propriedades rurais, mas as mais usadas são chácara, sítio 
e fazenda. Essa denominação depende da área da propriedade e adotaremos a seguinte nomenclatura:
Chácara: até 121 000 m2
Sítio: entre 121 000 m2 e 968 000 m2
Fazenda: a partir de 968 000 m2
A figura mostra a planta do terreno rural 
ABCD que possui área equivalente a 20 000 m2. 
Marcel achou perfeito o seu formato, mas muito 
pequeno, pois gostaria de comprar um terreno 
rural maior, com as dimensões de um sítio. O 
corretor de imóveis levou-o para conhecer o 
terreno EFGH, que também estava à venda e 
que possui exatamente o mesmo formato do 
terreno ABCD.
a) Qual a relação entre as medidas dos 
lados dos terrenos EFGH e ABCD?
b) Se para cercar o terreno ABCD são necessários 2 400 m de arame farpado, quantos metros de 
arame farpado seriam necessários para cercar o terreno EFGH?
c) O terreno EFGH pode ser denominado um sítio, como Marcel deseja?
Agora, esta Missão exigirá muito poder de observação. Em todas as ques-
tões, haverá duas imagens semelhantes, ou seja, com medidas proporcionais, 
em uma malha quadriculada. Fique atento e obtenha as medidas da malha 
quadriculada que o ajudarão a determinar a constante de proporcionalidade, 
chave para a resolução das questões.
EF06MA21
D5 - Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em 
ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas.
3
 › Analise as reduções e ampliações das imagens, observando os lados correspondentes, ou 
seja, com medidas proporcionais.
 › Atente-se para medidas que possam ser detectadas a partir da medida do lado dos qua-
dradinhos da malha quadriculada, pois será necessário determinar a proporção entre duas 
imagens semelhantes.
Prepare-se!
L
A
B
2
12
A
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CB
 
H
GF 
E
aquecendo
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51
RESOLVENDO A QUESTÃO
Na questão dada, precisamos verificar a denominação dos terrenos oferecidos pelo corretor de imóveis 
e utilizar conceitos de semelhança, como a proporção simples. Para a resolução da questão, adotaremos 
uma unidade para a medida do lado de cada quadradinho. Vamos lá?
a) Para determinar a constante de proporcionalidade, basta dividir a medida de um segmento 
no terreno EFGH e seu correspondente no terreno ABCD. Tomemos EG = 10 e AC = 4. Dessa 
forma:
EG
AC 
= 
10
4
= 2,5 
As medidas dos lados do terreno EFGH são 2,5 vezes maiores que as do terreno ABCD.
b) Como o perímetro do terreno ABCD é 2 400 m, o perímetro de EFGH será:
2,5 
⋅ 2 400 = 6 000 m
Serão necessários 6 000 m de arame farpado para cercar o terreno EFGH.
c) A proporção de áreas deve ser feita com o quadrado da constante de proporcionalidade. Sendo 
assim, a área de EFGH é (2,5)2 
⋅ A
ABCD
 = 6,25 
⋅ A
ABCD 
. Portanto:6,25 
⋅ 20 000 = 125 000 m2
Como a área de EFGH é maior que 120 000 m2, o terreno EFGH é um sítio.
baú do conhecimento
Há casos em que a posição de duas figuras numa malha quadriculada não permite de-
terminar a constante de proporcionalidade por meio da relação de um único par de medidas. 
Veja os dois polígonos semelhantes ao lado.
L
A
B
2
12
A
B
C
D
E
E
G
F
Não é possível determinar a relação entre dois pares de lados equivalentes (AB e EF, por 
exemplo) nem determinar a altura de EFGH em relação ao lado do quadradinho (parece que 
é 2,5, mas não dá para ter certeza, não é?). Mas é possível determinar a largura de cada um. 
Observe que o polígono ABCD ocupa dois quadradinhos de largura e o polígono EFGH ocupa 
apenas 1. Logo, a constante de proporcionalidade é 
2
1
 = 2, ou seja, as medidas lineares do 
polígono ABCD são o dobro das equivalentes em EFGH.
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52
1. Nelson está imprimindo fotos do Rio de Janeiro. Quando foi imprimir a primeira, achou que ela 
tinha ficado muito pequena (imagem 1). Após ampliar a foto (imagem 2), percebeu que o perímetro 
tinha aumentado em 1 vez e meia.
Imagem 1 Imagem 2
T
 P
H
O
T
O
G
R
A
P
H
Y
/S
H
U
T
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S
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C
K
A área da imagem 2 é quantas vezes maior que da imagem 1?
(A) 1,5. (B) 1,75. (C) 2,25. (D) 2,5.
Resposta: alternativa C.
2. Lúcio trabalha numa empresa de tecnologia e publicará uma propaganda numa revista de alta 
circulação. A cobrança é feita proporcionalmente à área ocupada pela imagem. Ele esboçou a 
mesma imagem em tamanhos distintos em uma malha quadriculada, como mostra a figura. 
Imagem 2Imagem 1
T
A
W
4
/S
H
U
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E
R
S
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C
K
Se Lúcio optar pela imagem maior, pagará quantas vezes mais do que se escolher a menor?
(A) 1,5. (B) 1,8. (C) 2. (D) 4.
Resposta: alternativa D.
3. Ieda é editora de imagens e colocou sobre uma mesma malha 
quadriculada duas fotos de mesmo formato, mas de tamanhos 
distintos, uma à esquerda (imagem 1) e uma à direita (imagem 2). 
O perímetro da imagem 1 é 12 cm. O perímetro da imagem 2 é:
(A) 18 cm.
(B) 24 cm.
(C) 36 cm.
(D) 48 cm.
Resposta: alternativa A.
Valendo!
 D
E
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Imagem 1
Imagem 2
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EF04MA16
missão
53
Rosana está fazendo uma experiência de resistência com alguns elásticos de escritório idênticos e uma 
caixa de fósforo com medidas 1,5 cm, 3,5 cm e 5 cm. Esticou um elástico em torno da caixa envolvendo a 
sua altura (1,5 cm) e sua espessura (3,5 cm), como na figura, e conseguiu dar 5 voltas na caixa sem que 
o elástico se rompesse. Quando tentou dar mais uma volta, o elástico arrebentou.
L
A
B
2
12
5 cm
1,5 cm
1,5 cm
3,5 cm
3,5 cm
5 cm
1,5 cm
Nessas condições, responda:
a) Qual é o maior comprimento de tensão (“esticamento”) do elástico sem rompimento, considerando 
apenas essa primeira experiência de Rosana? E qual comprimento de tensão o elástico não suporta?
b) Rosana tentou realizar a mesma experiência, mas colocou o elástico em torno da altura (1,5 cm) 
e do comprimento (5 cm). Quantas voltas, no mínimo, é possível dar nessa condição?
c) Por fim, Rosana envolveu o elástico em torno da espessura (3,5 cm) e do comprimento 
(5 cm) da caixa de fósforo. Quantas voltas, no mínimo, é possível dar nessa condição?
Nesta Missão veremos figuras planas cujo perímetro deverá ser determi-
nado. Antes de iniciar a resolução dos problemas, é recomendável rever as 
fórmulas básicas de perímetro dos polígonos mais usuais e o comprimento 
da circunferência.
EF06MA29 | EF07MA33
D12 - Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
 › Colete os dados para a resolução da questão tanto do enunciado como da figura associada a ele.
 › Quando a atividade apresentar imagens de figuras planas não convencionais, resultado da 
junção de várias já estudadas por você, divida-as por linhas, para visualizar cada uma delas, 
se necessário.
aquecendo
4
Prepare-se!
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54
Cuidado com o cálculo do perímetro ou comprimento de uma circunferência! A fórmula 
mais usada é 2 ⋅ π ⋅ r, sendo r o seu raio, mas muitas vezes a questão fornece o seu diâmetro. 
Você pode dividi-lo por 2 e obter o raio, ou utilizar a fórmula: π ⋅ d, sendo d o seu diâmetro. Isso 
funciona porque 2 ⋅ r = d. Por exemplo: 
Qual é o perímetro de uma circunferência de diâmetro 10 cm? 
10 cm
L
A
B
2
12
O raio é 
10
2
 = 5 cm. Sendo assim, pode-se calcular o comprimento de duas maneiras:
2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 5 = 10π cm
ou
π ⋅ d = π ⋅ 10 = 10π cm
O perímetro da circunferência é 10π cm.
RESOLVENDO A QUESTÃO
Você já esticou um elástico de escritório até ele estourar? Dói na mão, não é?
Nesta questão somos convidados a fazer uma experiência. Esticando um elástico, quantos centímetros ele 
suporta, no máximo? Vamos estudar essa situação resolvendo o problema, que envolve o perímetro das três 
seções de uma caixa de fósforo.
a) A seção lateral envolta pelo elástico é a de um retângulo de lados 1,5 cm e 3,5 cm. Seu perímetro pode 
ser calculado pela adição das medidas de seus lados:
1,5 + 3,5 + 1,5 + 3,5 = 10 cm.
 Como foram dadas 5 voltas sem que o elástico se rompesse, ele pode ser tensionado até 
5 ⋅ 10 = 50 cm, sem se romper. Já com 6 voltas, ou seja, 6 ⋅ 10 = 60 cm, o elástico se rompe.
b) Esse retângulo tem um perímetro maior, por isso não é possível dar tantas voltas como antes:
1,5 + 5 + 1,5 + 5 = 13 cm.
 Dando 3 voltas, tem-se 3 ⋅ 13 = 39 cm e dando 4 voltas, tem-se 4 ⋅ 13 = 52 cm. 
 Do item anterior, verificamos que o elástico aguenta ser esticado até 50 cm, mas não é possível 
saber se o elástico suporta ser esticado até 52 cm, pois ao atingir qualquer valor entre 50 cm e 
60 cm, ele arrebenta. Assim, no mínimo, é possível dar 3 voltas.
c) Novamente deve-se calcular o perímetro:
3,5 + 5 + 3,5 + 5 = 17 cm.
Duas voltas implicam em 2 ⋅ 17 = 34 cm. Já 3 voltas configuram 17 ⋅ 3 = 51 cm.
 Do item a, verificamos que o elástico aguenta ser esticado até 50 cm, mas não é possível saber se o 
elástico suporta ser esticado até 51 cm, pois ao atingir qualquer valor entre 50 cm e 60 cm, ele arre-
benta. Assim, no mínimo, é possível dar 2 voltas.
baú do conhecimento
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55
1. A figura mostra parte da planta de uma casa, 
com duas salas quadradas idênticas e um 
corredor na forma retangular. As linhas azuis 
representam duas portas com largura de 1 
metro. Será colocada uma faixa ao redor das 
salas e do corredor, mas não nas portas.
O comprimento da faixa, em metros, é:
(A) 36.
(B) 40.
(C) 42.
(D) 56.
Resposta: alternativa B.
2. A figura mostra a vista superior de duas vigas de 
concreto. A seção transversal de uma delas tem for-
mato circular com centro A e diâmetro de 32 cm, e a 
outra tem formato retangular (BCDE), em que a me-
dida de um dos lados tem o triplo da medida do lado 
adjacente. Um pedreiro colocou uma corda em volta 
delas e percebeu que os comprimentos eram iguais, 
ou seja, que as duas vigas têm o mesmo perímetro.
A medida da base BC da viga retangular é, em cm, 
igual a:
(A) 4π.
(B) 8π.
(C) 16π.
(D) 32π.
Resposta: alternativa A.
3. A figura mostra a vista superior de um rolo de papel 
higiênico. O diâmetro externo é 12 cm e o diâmetro do 
furo é 4 cm. O rolo tem 30 metros, ou seja, 3 000 cm 
de comprimento. Fabiana quer determinar quantas 
voltas é possível dar com o papel em torno do furo 
central. Como ele tem espessura que não pode ser 
desprezada, optou-se por adotar o diâmetro médio 
de 8 cm (linha tracejada), ou seja, imagine que o