Cálculos Matemáticos

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- **Resposta:** \( \sec(x) + C \). 
 
104. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{19}{x} \right)^{x} \). 
 - **Resolução:** 
 Use a definição de limite exponencial. 
 - **Resposta:** \( e^{19} \). 
 
105. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra da cadeia, \( g'(x) = \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 
106. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \sin(2x) \), o eixo \( 
x \), e as linhas \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resolução:** 
 Integrar a função \( \sin(2x) \) entre os limites dados. 
 - **Resposta:** \( 1 \). 
 
107. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(20x)}{\sin(21x)} \). 
 - **Resolução:** 
 Utilize expansões de série de Taylor para calcular o limite. 
 - **Resposta:** \( \frac{20}{21} \). 
 
108. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra do quociente, \( f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \). 
 
109. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 - **Resolução:** 
 Substitua \( u = \cos(x) \) para integrar. 
 - **Resposta:** \( \sec(x) + C \). 
 
110. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{22}{x} \right)^{x} \). 
 - **Resolução:** 
 Use a definição de limite exponencial. 
 - **Resposta:** \( e^{22} \). 
 
111. **Problema:** Determine a derivada de \( g(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra da cadeia, \( g'(x) = \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 
112. **Problema:** Encontre a área da região limitada pela curva \( y = \sin(2x) \), o eixo \( 
x \), e as linhas \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 - **Resolução:** 
 Integrar a função \( \sin(2x) \) entre os limites dados. 
 - **Resposta:** \( 1 \). 
 
113. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(24x)}{\sin(25x)} \). 
 - **Resolução:** 
 Utilize expansões de série de Taylor para calcular o limite. 
 - **Resposta:** \( \frac{24}{25} \). 
 
114. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \). 
 - **Resolução:** 
 Aplicando a regra do quociente, \( f'(x) = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3} \). 
 - **Resposta:** \( \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3} \). 
 
115. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 - **Resolução:** 
 Substitua \( u = \cos(x) \) para integrar.