Homomorfismos de Grupos

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HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Profª.: Sarah Faria Monteiro Mazzini Costa 
Sempre que definimos uma nova estrutura algébrica é importante saber
como relacionamos duas dessas estruturas. Em outras palavras,
procuramos definir correspondências entre os objetos dessas estruturas
de maneira que suas propriedades e operações sejam preservadas. Com
essa finalidade vamos definir um homomorfismo de grupos.
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
Sejam 𝐆,∗ e (𝓖,×) dois grupos. Uma função 𝛙: 𝐆 → 𝓖 é um homomorfismo
se ela é compatível com as estruturas dos grupos, ou seja, se para todo 𝐱, 𝐲
∈ 𝐆 tivermos
𝛙 𝐚 ∗ 𝐛 = 𝛙 𝐚 ×𝛙 𝐛 .
• A função 𝝍: (𝑮,∗) → (𝓖,×) tal que 𝝍 𝒈 = 𝒆𝓖 é um homomorfismo, chamado
homomorfismo trivial. De fato, dados 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮, temos
𝝍 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒆𝓖 = 𝒆𝓖 × 𝒆𝓖 = 𝝍 𝒂 ×𝝍 𝒃 .
• A função 𝑰𝒅: 𝑮,⋅ → (𝑮,⋅) , 𝑰𝒅 𝒈 = 𝒈, é um homomorfismo chamado
homomorfismo identidade.
• Seja 𝑯 um subgrupo normal de 𝑮. Então 𝝍:𝑮 →
𝑮
𝑯
, 𝝍 𝒈 = 𝒈𝑯 é um
homomorfismo, chamado projeção canônica. De fato, dados 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮,
temos
𝝍 𝒂 ⋅ 𝒃 = 𝒂𝒃𝑯 = 𝒂𝑯 ⋅ 𝒃𝑯 = 𝝍 𝒂 ⋅ 𝝍 𝒃 .
• Seja 𝒏 ∈ ℤ. Então 𝝍: ℤ,+ → ℤ,+ ,𝝍 𝒙 = 𝒏𝒙 é um homomorfismo. De fato,
dados 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ, temos 𝝍 𝒂 + 𝒃 = 𝒏 𝒂 + 𝒃 = 𝒏𝒂 + 𝒏𝒃 = 𝝍 𝒂 +𝝍 𝒃 .
Vejamos algumas propriedades dos homomorfismos de grupo:
• Propriedade 1: 𝝍 𝒆𝑮 = 𝒆𝓖, ou seja, a imagem do elemento neutro é o 
elemento neutro.
• Propriedade 2: Para todo 𝒈 ∈ 𝑮, 𝝍 𝒈−𝟏 = 𝝍 𝒈 −𝟏, ou seja, a imagem do 
inverso de 𝒈 é o inverso da imagem de 𝒈.
• Propriedade 3: O conjunto 𝒌𝒆𝒓 𝝍 ≔ 𝒈 ∈ 𝑮 𝝍 𝒈 = 𝒆𝓖} é um subgrupo 
normal de 𝑮 chamado núcleo de 𝝍.
• Propriedade 4: O conjunto 𝑰𝒎𝝍 ≔ 𝒚 ∈ 𝓖 𝒚 = 𝝍 𝒈 para algum 𝒈 ∈ 𝑮} é
um subgrupo de 𝓖 chamado imagem de 𝝍.
• Propriedade 5: 𝑲𝒆𝒓 𝝍 = {𝒆𝑮} se e somente se 𝝍 é injetora.
• Propriedade 6: Seja 𝝓: (𝓖,×) → (𝓙, ∆) um homomorfismo de grupos.
Então a composição 𝝓 ∘ 𝝍: (𝑮,∗) → (𝓙, ∆) é um homomorfismo.
Um homomorfismo 𝝍: 𝑮,∗ → (𝓖,×) é um isomorfismo se existe um
homomorfismo 𝝈: 𝓖,× → (𝐆,∗) tal que 𝝍 ∘ 𝝈 = 𝑰𝒅𝓖 e 𝝈 ∘ 𝝍 = 𝑰𝒅𝑮. Nesse
caso, os subgrupos 𝑮 e 𝓖 são isomorfos e utilizamos a notação 𝑮 ≃ 𝓖.
Encontrar o homomorfismo inverso, ou seja, o homomorfismo 𝝈 tal que
𝝍 ∘ 𝝈 = 𝑰𝒅𝓖 e 𝝈 ∘ 𝝍 = 𝑰𝒅𝑮 , nem sempre é uma tarefa fácil. O resultado a
seguir torna essa tarefa mais simples:
Proposição: Seja 𝝍: 𝑮,∗ → (𝓖,×) um homomorfismo de grupos. Então 𝝍 é
um isomorfismo se e somente se é um homomorfismo bijetor.
Exemplo: Seja 𝑮 = 𝒈 = ⋯ ,𝒈−𝟏, 𝒆, 𝒈, 𝒈𝟐, ⋯ um grupo cíclico de ordem
infinita. Então
𝒇: ℤ,+ → 𝑮, ⋅ , 𝒇 𝒏 = 𝒈𝒏
é um isomorfismo.
De fato, 𝒇 é um homomorfismo de grupos pois dados 𝒏𝟏, 𝒏𝟐 ∈ ℤ, 
𝒇 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 = 𝒈𝒏𝟏+𝒏𝟐 = 𝒈𝒏𝟏 ⋅ 𝒈𝒏𝟐 = 𝒇 𝒏𝟏 ⋅ 𝒇 𝒏𝟐 .
𝒇 é injetora, pois 𝒌𝒆𝒓𝒇 = 𝒏 ∈ ℤ 𝒈𝒏 = 𝒆} = {𝟎}. Além disso, 𝒇 é sobrejetora,
pois dado 𝒈𝒏 ∈ 𝒈 , temos 𝒈𝒏 = 𝒇 𝒏 . Assim 𝒇 é bijetora e portanto, pela
Proposição anterior, é um isomorfismo.
Primeiro Teorema do isomorfismo: Seja 𝝍: 𝑮,∗ → (𝓖,×) um
homomorfismo de grupos. Então a função induzida
é um isomorfismo.
O PRIMEIRO TEOREMA DO 
ISOMORFISMO
ത𝜓:
𝐺
𝑘𝑒𝑟 𝜓 → 𝐼𝑚 𝜓
𝑔 𝑘𝑒𝑟 𝜓 ↦ 𝑓(𝑔)
• Pela Propriedade 3, temos que o núcleo de um homomorfismo𝝍: 𝑮,∗
→ (𝓖,×) é um subgrupo normal do grupo 𝑮. Portanto o quociente Τ𝑮 𝑲𝒆𝒓 𝝍
é um grupo.
• Pela Propriedade 4, temos que 𝑰𝒎 𝝍 é um subgrupo de 𝓖. Portanto o
isomorfismo Τ𝑮 𝑲𝒆𝒓 𝝍 ≃ 𝑰𝒎𝝍 faz sentido.
• O isomorfismo 𝒇: ℤ,+ → 𝑮, ⋅ , 𝒇 𝒏 = 𝒈𝒏, com 𝑮 = 𝒈 = ⋯ ,𝒈−𝟏, 𝒆, 𝒈, ,⋯
também pode ser demonstrado com o Teorema do isomorfismo, pois
como 𝒌𝒆𝒓𝒇 = 𝟎 e 𝑰𝒎 𝒇 = 𝑮,
ℤ
{𝟎}
≃ 𝑮 ⇒ ℤ ≃ 𝑮.