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477. Problema: Determine o valor de \( \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} \). 
 Resolução: Representando \( \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} \) como \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), 
encontramos \( \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \). 
 
478. Problema: Qual é o valor de \( \log_{10}{(2x+1)} - \log_{10}{(x-1)} = 2 \)? 
 Resolução: Resolvendo a equação logarítmica e encontrando as condições para \( x > 1 
\), obtemos \( x = 10 \). 
 
479. Problema: Se \( a + b = 5 \) e \( ab = 4 \), calcule \( a^2 + b^2 \). 
 Resolução: Utilizando a identidade \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \), encontramos \( a^2 + 
b^2 = 17 \). 
 
480. Problema: Determine a solução da equação \( \sqrt{6x-2} = 4x - 2 \). 
 Resolução: Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação resultante, 
encontramos \( x = 1 \). 
 
481. Problema: Calcule \( \sin{75^\circ} \). 
 Resolução: Usando a identidade da função seno para a soma de ângulos, \( 
\sin{75^\circ} = \sin{(45^\circ + 30^\circ)} = \sin{45^\circ}\cos{30^\circ} + 
\cos{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). 
 
482. Problema: Determine o valor de \( \tan^2{60^\circ} - \cot^2{30^\circ} \). 
 Resolução: Usando as identidades trigonométricas, \( \tan^2{60^\circ} - 
\cot^2{30^\circ} = 3 \). 
 
483. Problema: Qual é o valor de \( \log_{10}{(3x+1)} = 2 \)? 
 Resolução: Resolvendo a equação logarítmica, obtemos \( 3x + 1 = 100 \), então \( x = 33 
\). 
 
484. Problema: Determine a solução da equação \( \sqrt{7x-3} = 5x - 3 \). 
 Resolução: Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação resultante, 
encontramos \( x = 1 \). 
 
485. Problema: Calcule \( \cos{105^\circ} \). 
 Resolução: Usando a identidade da cosseno para a soma de ângulos, \( \cos{105^\circ} 
= -\sin{15^\circ} \). 
 
486. Problema: Determine o valor de \( \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} \). 
 Resolução: Representando \( \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} \) como \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \), 
encontramos \( \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \). 
 
487. Problema: Qual é o valor de \( \log_{10}{(2x+1)} - \log_{10}{(x-1)} = 2 \)? 
 Resolução: Resolvendo a equação logarítmica e encontrando as condições para \( x > 1 
\), obtemos \( x = 10 \). 
 
488. Problema: Se \( a + b = 5 \) e \( ab = 4 \), calcule \( a^2 + b^2 \). 
 Resolução: Utilizando a identidade \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \), encontramos \( a^2 + 
b^2 = 17 \). 
 
489. Problema: Determine a solução da equação \( \sqrt{6x-2} = 4x - 2 \). 
 Resolução: Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação resultante, 
encontramos \( x = 1 \). 
 
490. Problema: Calcule \( \sin{75^\circ} \). 
 Resolução: Usando a identidade da função seno para a soma de ângulos, \( 
\sin{75^\circ} = \sin{(45^\circ + 30^\circ)} = \sin{45^\circ}\cos{30^\circ} + 
\cos{45^\circ}\sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \). 
 
491. Problema: Determine o valor de \( \tan^2{60^\circ} - \cot^2{30^\circ} \). 
 Resolução: Usando as identidades trigonométricas, \( \tan^2{60^\circ} - 
\cot^2{30^\circ} = 3 \). 
 
492. Problema: Qual é o valor de \( \log_{10}{(3x+1)} = 2 \)? 
 Resolução: Resolvendo a equação logarítmica, obtemos \( 3x + 1 = 100 \), então \( x = 33 
\). 
 
493. Problema: Determine a solução da equação \( \sqrt{7x-3} = 5x - 3 \). 
 Resolução: Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo a equação resultante, 
encontramos \( x = 1 \).