todos os anos de matematica (4)

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- Resposta: 43 
 - Explicação: A sequência segue o padrão de adicionar um número crescente: \( 1 + 4 = 
5, 5 + 5 = 10, 10 + 8 = 18, \ldots \). 
 
406. Se \( \frac{a}{b} = 7 \) e \( \frac{b}{c} = 11 \), qual é o valor de \( \frac{a}{c} \)? 
 - Resposta: \( \frac{a}{c} = 77 \) 
 - Explicação: \( \frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = 7 \times 11 = 77 \). 
 
407. Qual é a soma dos quadrados dos primeiros 35 números naturais? 
 - Resposta: 12485 
 - Explicação: A fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros \( n \) números 
naturais é \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \). 
 
408. Se \( \log_{10} (1000000000) = 9 \), qual é o valor de \( \log_{10} (0.00001) \)? 
 - Resposta: \( \log_{10} (0.00001) = -5 \) 
 - Explicação: \( \log_{10} (0.00001) = \log_{10} (10^{-5}) = -5 \). 
 
409. Se \( \cos \theta = \frac{1}{2} \), em qual quadrante está \( \theta \)? 
 - Resposta: \( \theta \) está no primeiro e quarto quadrante. 
 - Explicação: \( \cos \theta > 0 \) implica que \( \theta \) está no primeiro e quarto 
quadrante. 
 
410. Qual é o valor de \( \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \)? 
 - Resposta: \( 2 - \sqrt{3} \) 
 - Explicação: Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o 
denominador por \( 2 - \sqrt{3} \). 
 
411. Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as letras da palavra 
"PNEUMOULTRAMICROSCOPICOSSILICOVULCANOCONIÓTICO"? 
 - Resposta: \( \frac{44!}{5! \times 4! \times 3! \times 2! \times 2!} \) 
 - Explicação: A palavra tem 44 letras, com várias letras se repetindo. 
 
412. Se \( \frac{a}{b} = 8 \) e \( \frac{b}{c} = 12 \), qual é o valor de \( \frac{a}{c} \)? 
 - Resposta: \( \frac{a}{c} = 96 \) 
 - Explicação: \( \frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = 8 \times 12 = 96 \). 
 
413. Qual é o valor de \( \log_{10} (10000000000) \)? 
 - Resposta: \( \log_{10} (10000000000) = 10 \) 
 - Explicação: \( \log_{10} (10000000000) = \log_{10} (10^{10}) = 10 \). 
 
414. Se um carro percorre 160 km/h, quantos minutos levará para percorrer 80 km? 
 - Resposta: 30 minutos 
 - Explicação: Tempo = Distância / Velocidade = \( \frac{80 \text{ km}}{160 \text{ km/h}} = 
0,5 \text{ horas} = 30 \text{ minutos} \). 
 
415. Se \( \tan \theta = \frac{13}{84} \), qual é o valor de \( \sin \theta \)? 
 - Resposta: \( \sin \theta = \frac{13}{85} \) 
 - Explicação: Use a relação \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{13}{84} \) 
e o fato de que \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) para encontrar \( \cos \theta \) e, 
portanto, \( \sin \theta \). 
 
416. Se \( \cos \theta = -\frac{7}{25} \), em qual quadrante está \( \theta \)? 
 - Resposta: \( \theta \) está no segundo e terceiro quadrante. 
 - Explicação: \( \cos \theta < 0 \) e \( \sin \theta > 0 \) no segundo quadrante, \( \cos 
\theta < 0 \) e \( \sin \theta < 0 \) no terceiro quadrante. 
 
417. Qual é a área de um triângulo equilátero com um lado de comprimento 21 cm? 
 - Resposta: \( \frac{441\sqrt{3}}{4} \) cm² 
 - Explicação: A área de um triângulo equilátero é \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{lado}^2 
\). 
 
418. Se \( \log_{10} (x) = 9 \), qual é o valor de \( x \)? 
 - Resposta: \( x = 1000000000 \) 
 - Explicação: \( \log_{10} (x) = 9 \) significa que \( 10^9 = x \), então \( x = 1000000000 \). 
 
419. Se \( a - b = 16 \) e \( a + b = 32 \), qual é o valor de \( a \)?