equações (28)

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88. **Problema 88:** 
 - **Enunciado:** Qual é a soma dos primeiros 50 termos da sequência \( 1, 2, 2, 3, 3, 3, 
4, 4, 4, 4, \ldots \)? 
 - **Resposta e Explicação:** A soma é \( 875 \). Essa sequência forma um padrão onde 
cada \( n \) aparece \( n \) vezes. 
 
89. **Problema 89:** 
 - **Enunciado:** Se \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x-2} \). Determine o domínio de \( f(x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** O domínio de \( f(x) \) é \( \mathbb{R} \setminus \{ 2 \} \). 
 
90. **Problema 90:** 
 - **Enunciado:** Determine os autovalores da matriz \( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 - **Resposta e Explicação:** Os autovalores são \( 3 \) e \( 5 \). 
 
91. **Problema 91:** 
 - **Enunciado:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A resposta é \( \frac{1}{3} \). 
 
92. **Problema 92:** 
 - **Enunciado:** Resolva a equação diferencial \( y' + \sin(x) y = \cos(x) \). 
 - **Resposta e Explicação:** A solução é \( y(x) = \frac{C + \sin(x)}{2} \), onde \( C \) é 
uma constante. 
 
93. **Problema 93:** 
 - **Enunciado:** Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada 
por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 2x \) em torno da linha \( y = 2 
 
 \). 
 - **Resposta e Explicação:** O volume é \( \frac{128\pi}{15} \). 
 
94. **Problema 94:** 
 - **Enunciado:** Determine a soma dos coeficientes na expansão de \( (x + 1)^{10} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A soma dos coeficientes é \( 1024 \). 
 
95. **Problema 95:** 
 - **Enunciado:** Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \cos x \) e \( y = 
\sin x \) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( 2 \). 
 
96. **Problema 96:** 
 - **Enunciado:** Determine a derivada de \( y = \int_{x^2}^{2x} \frac{\sin t}{t} \, dt \). 
 - **Resposta e Explicação:** A derivada é \( y' = \frac{\sin(2x)}{2x} - \frac{\sin(x^2)}{x^2} 
\). 
 
97. **Problema 97:** 
 - **Enunciado:** Se \( A \) é uma matriz \( 2 \times 2 \) com autovalores \( 2 \) e \( 3 \), 
determine a matriz \( A \). 
 - **Resposta e Explicação:** Uma matriz possível é \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 
\end{pmatrix} \). 
 
98. **Problema 98:** 
 - **Enunciado:** Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada 
por \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 2x \) em torno do eixo \( y = 2 \). 
 - **Resposta e Explicação:** O volume é \( \frac{128\pi}{15} \). 
 
99. **Problema 99:** 
 - **Enunciado:** Determine a soma dos coeficientes na expansão de \( (1 + x)^{20} \). 
 - **Resposta e Explicação:** A soma dos coeficientes é \( 2^{20} \). 
 
100. **Problema 100:** 
 - **Enunciado:** Determine a área da região limitada pela curva \( y = \ln x \), \( y = 0 \), \( 
x = 1 \) e \( x = e \). 
 - **Resposta e Explicação:** A área é \( e - 1 \). 
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