Séries Infinitas em Cálculo

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Aula 8– Cálculo Avançado
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Séries
Ou seja, a série é uma soma infinita.
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,... é uma sequência e 
2+4+6+8+10+12+14+16+... é uma série de termo geral an = 2n.
b) 1, 2, 6, 24, 120 ... É uma sequência infinita e 
1+2+6+24+120 +... É uma série infinita de termo geral an = n!
c) A série harmônica cujo termo geral é 
Séries infinitas
Exemplos
• Uma série geométrica é uma série da forma:
• A n-ésima soma parcial da série geométrica é: 
A série também pode ser escrita como: σ𝑛=0
∞ 𝑎𝑟𝑛.
Lembrete: 𝑆𝑛 =
𝑎1 1−𝑟𝑛
1−𝑟
d) σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯
Lembrete: 𝑆𝑛 =
𝑎1 1−𝑟𝑛
1−𝑟
Lembrete: PG 𝑆𝑛 =
𝑎1 1−𝑞𝑛
1−𝑞
d) σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯
𝑆1 = 1 +
1
2
=
3
2
𝑆2 = 1 +
1
2
+
1
4
=
7
4
𝑆∞ =
1
1 −
1
2
= 2
𝑆𝑛 =
1(1 −
1
2
𝑛
)
1 −
1
2
= 2(1 −
1
2
𝑛
)
𝑆𝑛 =
1(1 −
1
2
𝑛
)
1 −
1
2
= 2(1 −
1
2
𝑛
)
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
2(1 −
1
2
𝑛
) = 2
Portanto a sequência das somas parciais converge a 2.
Dizemos que a série σ𝑛=1
∞ 1
2𝑛−1
converge a 2.
→ lim
𝑛→∞
𝑛𝑎 = ∞, logo a série diverge.
𝑆𝑛 =
𝑎1 1 − 𝑟𝑛
1 − 𝑟
Exercícios
• 01. Determine se a série é convergente ou divergente, se 
convergente encontre a soma.
3) σ𝑛=0
∞ −1 𝑛.5
4𝑛
= 5 −
5
4
+
5
16
−
5
64
+⋯
Exercícios
Expresse a dízima periódica 0,222 ... Como uma fração comum
Se σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 converge, então 𝑎𝑛 → 0.
Este teorema pode ser usado como teste para comprovar divergência.
Não podemos concluir nada se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0 a série pode ser 
convergente ou divergente.
σ𝑛=1
∞ 1
𝑛
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑎𝑝𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑒 lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
Verifique usando o teste do termo geral se as séries são divergente ou 
o teste é inconclusivo.
a) σ𝑛=1
∞ 𝑛2
b) σ𝑛=1
∞ 𝑛+1
𝑛
c) σ𝑛=1
∞ −1 𝑛+1
d) σ𝑛=1
∞ −𝑛
2𝑛+5
GEORGE, B. THOMAS, Cálculo, volume 2 – Pearson
ANTON, H. Cálculo. Vol. 2. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. ISBN 9788582602461
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	Slide 7: Exemplos
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