Sistemas de Equações Lineares

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Capítulo 3 
Sistemas de 
equações lineares
e quadráticas 
Neste capítulo são apresentados os sistemas lineares, contendo 
equações lineares e os sistemas não lineares, em particular, contendo 
ao menos uma equação quadrática. Há situações da área de negócios 
em que as incógnitas apresentam mais de uma condição a ser satisfei-
ta e precisamos encontrar valores que tornem todas essas condições 
verdadeiras. Para tanto, usamos os sistemas de equações, como vere-
mos nas aplicações. 
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1 Sistemas de equações
Uma equação, em ℝ, é composta por números, operações, incóg-
nitas e pelo sinal de igualdade. Por exemplo, −5x + 2y = −1. O conjunto 
solução, em x e y, é composto por todos os pares ordenados (x, y) que 
tornam a equação verdadeira. Será linear se a maior potência das incóg-
nitas for igual a 1 e se as incógnitas aparecerem multiplicadas somente 
por números. Na forma usual, os números são os coeficientes; as letras, 
incógnitas; e o termo independente é chamado de constante, exemplifi-
cado na figura a seguir.
Figura 1 – Coeficiente, incógnitas e constantes
-5x + 2y = -1
ConstanteIncógnitas
Coeficientes
Há outros tipos de equações, que não são lineares, por exemplo:
• x y = 6 (as incógnitas, x e y, estão multiplicadas entre si);
• y + 3 = 2x (a incógnita x aparece como expoente de uma potência);
−• x2 + √y = 0 (a incógnita x tem expoente 2, e a incógnita y apresen-
1ta expoente );2
x• + 3 = 0 (a incógnita y apresenta expoente −1).y
Um sistema de equações lineares, em ℝ, é composto por duas ou 
mais equações lineares. O conjunto solução, em x e y, é composto pe-
los pares ordenados (x, y) que tornam todas as equações do sistema 
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verdadeiras. Havendo n incógnitas, a solução será uma ênupla1 ordena-
da de reais (x, y, …n) que torna todas as equações verdadeiras. 
Vejamos o conjunto solução de dois exemplos: 
O sistema 2x ‒ 3y = 14G ‒x + y 
 tem como solução o conjunto S = {(4, −2)}, for-=‒6
mado por um par ordenado em que x é igual a 4 e y é igual a −2. 
Verificação: 
• 2x − 3y = 14 → 2 ∙ 4 − 3 (−2) = 14 → 14 = 14 erdadeir Vo 
• −x + y = −6 → −4 + (−2) = −6 → −6 = −6 erdadeir V o 
]]Z]x + 2y + z = 9]
O sistema []2x + y ‒ z = 3]]
\
]
 
3x ‒ y ‒ 2z =‒4 tem como solução o conjunto S = {(1, 3, 2)} for-
mado pela ênupla (1, 3, 2), em que x é igual a 1, y é igual a 3 e z é igual a 2. 
Verificação: 
• x + 2y +z = 9 → 1 + 2 ∙ 3 + 2 = 9 → 9 = 9 Verdadeiro 
• 2x + y − z = 3 → 2 ∙ 1 + 3 − 2 = 3 → 3 = 3 erdadeiro V 
• 3x − y − 2z = −4 → 3 ∙ 1 − 3 − 2 ∙ 2 = −4 → −4 = −4 erdadeir V o 
1.1 Classificação 
De acordo com Iezzi e Hazzan (1985), os sistemas são classificados 
quanto à forma e quanto à solução. 
1.1.1 Quanto à forma 
Considerando à forma, os sistemas podem sem homogêneos e 
não homogêneos. 
1 Uma ênupla é uma sequência ordenada de n elementos. 
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.Um sistema homogêneo apresenta todas as constantes (termos in-
dependentes) nulas. Por exemplo: 
O sistema (1) 3x + 2y = 0G x − y = 0 admite somente a solução trivial S = {(0, 0)}.
]]Z]2x ‒ 3y = 0]
O sistema (2) 15
]]]
[‒ 5x + y = 0 ] 2 tem infinitas soluções. Seja um real qualquer 
\ 3ɑα, assumindo que y = α, temos como solução o conjunto S = G T , ɑ , 2 Y J 
α ∈ R. 
Observe que, nos sistemas homogêneos, a solução trivial sempre 
é uma solução, ou seja, a ênupla formada por zeros torna todas as 
equações verdadeiras. 
Em um sistema não homogêneo há alguma equação em que a cons-
tante é não nula. Por exemplo: 
O sistema (3) 2x ‒ 3y = 14G ‒x + y =‒6 tem como solução o conjunto S = {(4, −2)},
verificado anteriormente. 
O sistema (4) x + y =‒3G x + y = 2 não tem solução.
1.1.2 Quanto à solução 
Quanto à solução, os sistemas são classificados como possível ou 
impossível. 
O sistema é chamado possível quando existe solução real. Note que 
os sistemas homogêneos, uma vez que admitem ao menos a solução 
trivial, sempre são possíveis. Os sistemas possíveis são classificados 
em determinado ou indeterminado: 
• Possível e determinado: admite uma única solução real. 
Exemplo: sistemas 1 e 3. Os sistemas homogêneos que apresentam 
somente a solução trivial são possíveis e determinados. 
Possível e indeterminado: admite infinitas soluções reais. 
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]]]
]]]
Exemplo: sistema 2. Para x valendo um real qualquer α, o sistema 
tem solução. Os valores de y dependem do valor assumido para x e há 
infinitas soluções no conjunto dos Reais. Concluímos que os sistemas 
homogêneos que apresentam a solução trivial e outras soluções não 
nulas, são possíveis e indeterminados. 
O sistema é classificado como impossível quando não existe solu-
ção real, ou seja, não existe valores para x e y que tornam todas as equa-
ções verdadeiras. Por exemplo, o sistema 4. 
IMPORTANTE 
Resumindo a classificação dos sistemas lineares, temos: 
1. Classificação quanto à forma: 
• Homogêneo: as constantes de todas as equações são nulas. 
• Não homogêneo: alguma constante é não nula. 
2. Classificação quanto à solução: 
• Sistema possível: existe solução real 
◦ Sistema possível e determinado: admite uma única solu-
ção real. 
◦ Sistema possível e indeterminado: admite infinitas solu-
ções reais 
• Sistema impossível: não existe solução real 
 
1.2 Sistemas equivalentes 
Os sistemas equivalentes são aqueles que apresentam o mesmo 
conjunto solução. Por exemplo: 
Zx + 4y =‒2
O sistema (5) [] tem solução S = {(−2, 0)}.
]3x + 2
1 y =‒6 
\ 
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‒4x + y = 8O sistema (6) G tem solução S = {(−2, 0)}.x ‒ y = ‒2 
Os sistemas 5 e 6 são equivalentes,ou S(5) ~ S(6)2. 
Verificação: 
No sistema (5): 
x + 4y = −2 → −2 + 4 ∙ 0 = −2 → −2 = −2 Verdadeiro 
3x + 2
1 y = −6 → 3 ∙ (−2) + 2
1 ∙ 0 = −6 → −6 = −6 Verdadeiro 
No sistema (6): 
−4x + y = 8 → −2 + 4 ∙ 0 = −2 → −2 = −2 Verdadeiro 
x − y = −2 → −2 −0 = −2 → −6 = −6 Verdadeiro 
1.3 Métodos de resolução 
Inicialmente, apresentamos as classificações de um sistema de equa-
ções com os respectivos conjuntos soluções. Neste item, aprenderemos 
como encontrar esses conjuntos, usando três métodos de resolução. 
Qualquer método pode ser empregado para resolver um sistema li-
2x ‒ 3y = 1near. Escolhemos o sistema (3) G para exemplificá-los. Na sequ-‒x + y =‒6 
ência, resolvemos os demais sistemas. 
1.3.1 Método da adição 
O método consiste em eliminar uma incógnita a partir da adição de 
duas equações do sistema. Para tanto, é necessário que os coeficientes 
da incógnita escolhida tenham o mesmo valor, mas com os sinais opos-
tos (um positivo e o outro negativo) de modo que a soma resulte zero. 
2 O símbolo ~ significa equivalente. 
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Aplicando o método, o primeiro passo é substituir a 2ª equação do 
sistema por uma equação equivalente. No sistema 3, para eliminar a 
variável x, necessitamos que, na segunda equação, o coeficiente de x 
seja igual a 2. Multiplicamos então a 2ª equação por 2, ou seja, −x + y = 
−6 ~ −2x + 2y = −12. 
Na sequência, realizamos a soma membro a membro da 1ª equa-
ção com a equação obtida anteriormente. Observe que tomamos a 1ª 
equação (2x − 3y = 14) e a equação equivalente à 2ª (−2x + 2y = −12) e 
realizamos uma soma, membro a membro (2x − 2x = 0, −3y + 2y = −y e 
14 − 12 = 2), obtendo como resultado −y = −2. Para isolar a incógnita y, 
multiplicamos a equação resultante por −1. 
2x ‒ 3y = 14 
‒2x + 2y =‒12 + 
‒y = 2 
y = ‒ 2 (multiplicando ambos os membros por ‒1) 
A equação encontrada substitui a 2º equação. Reescrevemos o sis-
2x ‒ 3y = 14 2x ‒ 3y = 14 tema linear com as equações resultantes: G + G‒x + y =‒6 y =‒2 
O segundo passo é, conhecendo o valor de uma das incógnitas, 
substituí-la em uma das equações para encontrar as demais incógni-
tas. No caso, conhecemos o valor de y e escolhemos a 1ª equação para 
encontrar o valor de x. Dessa forma, temos: 
2 x − 3y = 14 → 2x − 3 ∙ (−2) = 14 → 2x + 6 = 14 → 2x = 8 → x = 82 → x = 4 
Portanto, a solução do sistema é S = {(4, −2)}. Verificamos no item 1 
que esse par ordenado torna ambas as equações verdadeiras. 
1.3.2 Método da comparação 
Nesse método, o primeiro passo consiste em isolar no primeiro 
membro a mesma incógnita, nas duas equações. Nesse caso, escolhe-
mos a incógnita y: 
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‒14 + 2x • 2x − 3y = 14 → −3y = 14 − 2x → 3y = −14 + 2x → y = (A)3 
• −x + y = −6 → y = −6 + x (B) 
Na sequência, o segundo passo é igualar a incógnita escolhida (y = y), 
fazer as substituições e encontrar o valor de x. 
‒14 + 2x ‒14 + 2x = ‒18 + 3xy = y → =‒6 + x → → −14 + 2x = − 18 3 3 
+ 3x → 
2x − 3x = −18 + 14 → −x = −4 → x = 4 
Por fim, o terceiro passo é substituir o valor de x em uma das equa-
ções. Escolhemos a (B). 
y = −6 + x → y = −6 + 4 → y = −2 
Portanto, o conjunto solução é S = {(4, −2)}. 
1.3.3 Método da substituição 
O primeiro passo desse método consiste em isolar no primeiro mem-
bro uma das incógnitas, em uma das equações. Escolhemos isolar x na 
2ª equação: 
• −x + y = −6 → −x = −6 − y → x = 6 + y (A) 
No segundo passo, substituímos na outra equação o valor de x em 
função de y. No caso, substituímos x = 6 + y na 1ª equação: 
2x − 3y = 14 → 2 ∙ (6 + y) − 3y = 14 → 12 + 2y − 3y = 14 → −y = 14 − 12 
−y = 2 → y = −2 
No passo seguinte, o terceiro, encontrado o valor de y, substituímos 
em (A). 
x = 6 + y → x = 6 + (−2) → x = 4 
Portanto, o conjunto solução é S = {(4, −2)}. 
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Verificamos que os três métodos resultam no mesmo conjunto solu-
ção, da mesma forma que, realizando outras escolhas (a 1ª equação no 
lugar da 2ª, ou isolando inicialmente a variável x ou y), também resultará 
na mesma solução. 
Vamos praticar! Para fixar os métodos, resolveremos os demais sis-
temas, começando pelo sistema (1). 
O sistema (1) 3x + 2y = 0G , será resolvido pelo método da adição:x ‒ y = 0 
1º Passo: Multiplicamos a 2ª equação por −3 : x − y = 0 ~ −3x + 3y = 0 
Realizamos a soma das equações: 
3x + 2y = 0 + ‒3x + 3y = 0
5y = 0 
y = 0 
Reescrevemos o sistema linear com as equações resultantes: 
3x + 2y = 0 3x + 2y = 0G + Gx ‒ y = 0 y = 0 
2º Passo: conhecendo o valor de y, substituímos em uma das equa-
ções. No caso, na 1ª equação: 
03x + 2y = 0 → 3x + 2 ∙ 0 = 0 → 3x = 0 → x = → x = 03 
Portanto, o conjunto solução é S = {(0, 0)} e o sistema é possível e 
determinado. 
Z]]2x ‒ 3y = 0
Vamos resolver o sistema (2) ]]][ 15 
, pelo método da substituição:
]]‒ x + y =
\
] 
 
5 02 
1º Passo: escolhemos isolar x na 1ª equação: 
3y
2x − 3y = 0 → 2x = 3y → x = (A)2 
3y
2º Passo: substituímos x = na 2ª equação:2 
15 3y 15 15 1 5 ‒5x + y = 0 → ‒52 $ + y = 0 → ‒ y + y = 0 → 0 = 0 2 2 2 2 
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]]]
]]]
Concluímos que o sistema tem infinitas soluções. 
Para α ∈ ℝ, se y = α, substituímos em (A): 
3y 3ax = → x = 2 2 
Portanto, S = {( 32 
α , α)}, α ∈ ℝ. O sistema é possível e indeterminado. 
Note que poderíamos também atribuir α para x e encontrar y em função 
de x. 
x + y = ‒3Vamos resolver o sistema (4) G , pelo método da comparação:x + y = 2 
1º Passo: isolamos x no primeiro membro, nas duas equações. 
• x + y = −3 → x = −3 − y (A) 
• x + y = 2 → x = 2 − y (B) 
2º Passo: igualamos a incógnita escolhida (x=x): 
x = x → −3 − y = 2 − y − y + y = 2 + 3 → 0 = 5 Falso 
Portanto, o sistema não tem solução. O sistema é impossível. 
Zx + 2y + z = 9
O sistema []2x + y ‒ z = 3 , será resolvido por substituição:
]3x ‒ y ‒ 2z =‒4
\ 
1º Passo: escolhemos isolar x na 1ª equação: 
x + 2y + z = 9 → x = 9 − 2y − z (A) 
2º Passo: substituímos x (A) na 2ª equação: 
2x + y − z = 3 → 2(9 − 2y − z) + y − z = 3 → 18 − 4y − 2z + y − z = 3 → 
−3y − 3z = 3 − 18 → −3y − 3z = −15 → y + z = 5 (B) 
2º Passo: substituímosx (A) na 3ª equação: 
3x − y − 2z = −4 → 3 (9 − 2y − z) − y − 2z = −4 → 27 − 6y − 3z − y − 2z 
= −4 → 
−7y − 5z = −4 − 27 → −7y − 5z = −31 (C) 
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]]]
]]]
Montamos o sistema equivalente com as equações encontradas: 
Zx + 2y + z = 9][y + z = 5 
]‒7y ‒ 5z =‒31 
\ 
Repetimos o 1º passo para a 2º equação, isolando y. 
y + z = 5 → y = 5 − z (D) 
Substituímos (D) na 3ª equação: 
−7y − 5z = −31 → −7(5 − z) − 5z = −31 → −35 + 7z − 5z = −31 → 
4→ 2z = −31 + 35 → 2z = 4 → z = → z = 22 
3º Passo: encontrado o valor de z, substituímos em (D). 
y = 5 − z → y = 5 − 2 → y = 3 
Encontrado y, substituímos y e z em (A): 
x = 9 − 2y − z → x = 9 − 2 ∙ 3 − 2 → x = 1 
Portanto, o sistema é possível de determinado e o conjunto solução 
é S = {(1, 3, 2)}. Essa solução foi verificada no início do capítulo. 
1.4 Interpretação gráfica 
Consideremos sistemas lineares com equações de duas variáveis. 
Os gráficos dessas equações são retas. O ponto de intersecção dessas 
retas, quando há, é a solução do sistema. Verificamos essa afirmação 
construindo os gráficos dos sistemas resolvidos. 
Nos sistemas possíveis e determinados, o ponto de intersecção das 
retas é a solução do sistema. 
2x ‒ 3y = 14No caso do sistema (3) G , as retas intersectam-se no ponto‒x + y =‒6 
P(4, −2), que á solução do sistema. 
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Figura 2 – Gráfico de um sistema possível e determinado 
5 6 71 8 
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42�1 0 
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1 
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3 
Y 
P(4, –2) 
–x + y = –6 
2x – 3y = 14 
No caso do sistema (1), também possível e determinado, mas homo-
gêneo, as retas se cruzam na origem do sistema cartesiano. 
Figura 3 – Gráfico de um sistema homogêneo, possível e determinado 
2 3 4�2 5�3 
X 
10 
�2 
�1 
2 
3 
4 
1 
5 
�1�4�5 
Y 
x – y = 03x –2y = 0 
P (0, 0) 
63 Sistemas de equações lineares e quadráticas
M
aterial para uso exclusivo de aluno m
atriculado em
 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
partilham
ento digital, sob as penas da Lei. ©
 Editora Senac São Paulo.
 
 
Nos sistemas possíveis e indeterminados, como o sistema (2), os 
gráficos das equações são coincidentes, ou seja, todos os pontos são 
comuns entre as retas. Logo, há infinitas soluções. 
2x ‒ 3y = 0
sistema (2) G 15 ‒5x + y = 02 
Figura 4 – Gráfico de um sistema possível e indeterminado 
3 4 5�1 
�2 
�1 
2 
3 
4 
1 
6�2 
X 
1 2 
5 
6 
�3 
0 
Y 
–5x + 15/2y = 0 
2x – 3y = 0 
Observe, no sistema 2, que uma equação é múltipla da outra, nesse 
caso, a 1ª equação multiplicada por − 2
5 é igual a 2ª equação. Nesses 
casos, os gráficos são coincidentes, pois as equações são equivalentes. 
Nos sistemas impossíveis, como o sistema (4), os gráficos são para-
lelos entre si. Portanto, não há pontos em comum e o sistema não tem 
solução. 
x + y = ‒3sistema (4) G x + y = 2 
64 Raciocínio quantitativo M
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Figura 5 – Gráfico de um sistema impossível 
�2 
�1 
2 
3 
�3 
0 1 2 3�3�4 �2�5�6 �1 
�4 
1 
Y 
X 
x + y = –3 x + y = 2 
1.5 Sistemas não lineares 
Há aplicações cuja solução se resume em duas ou mais equações, 
podendo ter graus diferentes: equações do 1º grau (linear) ou do 2º grau 
(quadrática). 
‒2y = ‒5Por exemplo: sistema (11) G x2 ‒ y = ‒2 
Resolvendo por substituição: 
5 + xx − 2y = −5 → −x + 2y = 5 → y = 2 
5 + x 5 x x x2 −y = −2 → x2 ‒ S 2 X =‒2 → x2 ‒ 2 ‒ 2 =‒2 → x2 ‒ 2 ‒ 5
2 + 2 = 0 → 
2x2 ‒ x ‒→ 5 + 4 = 0 → 2x2 − x − 1 = 02 
a = 2, b = −1 e c = −1 
∆ = b2 − 4ac → ∆ = (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−1) → ∆ = 1 + 8 → ∆ = 9 > 0 Duas 
raízes reais. 
1+ 3 → x' =x' = 4 
4
4 → x' = 1 
65 Sistemas de equações lineares e quadráticas
M
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Figura 6 – Gráfico de um sistema com equações de 1º e 2º graus 
1 - 3 2 1x'' = → x''=− → x'' = − 4 4 2
5 + x 5 + 1 6Para x'=1 : y' = = = = 32 2 2 
1 5 + x 5 + Q‒ 1 V 5 ‒ 1 10 1 9 
Para x'' = − : y' =2 ' = 2 = 2 = 2 = 2 9 1 9= =2 2 2 2 2 2 $ 2 4 
1 9Portanto, S = G Q 1, 3 V , S ‒ , X J . 2 4
A intersecção dos gráficos das equações é composta por dois pon-
1 9tos (1, 3) e S ‒ , X gráfico de 2 4 . Veremos em outro capítulo que o uma
equação do 2º grau é uma parábola. 
X 
�1.5 �1 �0.5 0.5 1 1.5 2 2.5�2 30 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
3 
3.5 
4 
4.5 
�0.5 
5 
Y 
�2.5�3�3.5�4�4.5�5�5.5�6 
A(1, 3) 
B(–1/2, 9/4) 
x – 2y = –5 
x² – y = –2 
2 Aplicações 
Que tal praticarmos um pouco? Apresentaremos um problema en-
volvendo sistemas lineares. Mãos à obra! 
Na primeira compra de dois produtos A e B em uma papelaria, um 
cliente comprou três produtos A e um produto B, gastando no total 
R$ 11,00. No dia seguinte, comprou um produto A e quatro produtos 
66 Raciocínio quantitativo M
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B, totalizando R$ 22,00. Os preços não foram reajustados. Sem ter as 
notas fiscais em mãos, precisou calcular os valores de cada produto. 
Quais foram os valores encontrados? 
A partir do enunciado, montamos o sistema de equações e resolve-
mos, por adição: 
3x + y = 11 3x + y = 11 3x + y = 11 G + G + Gx + 4y = 22 ‒3x ‒12y = ‒66 ‒11y = ‒55 
−11y = −55 → 11y = 55 → y = 55 → y = 511 
3x + y = 11 → 3x + 5 = 11 → 3x = 11 − 5 → 3x = 6 → x = 63 → x = 2 
S = {(2, 5)} 
O produto A custou R$ 2,00 e o produto B custou R$ 5,00. 
Considerações finais 
Vimos os sistemas de equações lineares e quadráticas e três 
métodos de resolução. Nas aplicações, apresentadas no item 2, es-
tudamos exemplos de aplicações em finanças, geometria e na área 
administrativa. 
Referências 
IEZZI G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar: sequências, ma-
trizes, determinantes e sistemas. v. 4. São Paulo: Atual, 1985.