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25. Problema: Se \( a + b + c = 12 \) e \( a^2 + b^2 + c^2 = 54 \), encontre o valor de \( ab + 
bc + ca \). 
 Resposta: O valor de \( ab + bc + ca \) é 18. 
 
26. Problema: Qual é a soma dos dígitos de \( 2^{1000} \)? 
 Resposta: A soma dos dígitos de \( 2^{1000} \) é 1366. 
 
27. Problema: Encontre o valor de \( \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 - \frac{1}{3} \right) 
\left( 1 - \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right) \). 
 Resposta: O valor é \( \frac{1}{100} \). 
 
28. Problema: Qual é a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \( (2x - 3)^4 \)? 
 Resposta: A soma dos coeficientes é 16. 
 
29. Problema: Se \( x + \frac{1}{x} = 4 \), qual é o valor de \( x^3 + \frac{1}{x^3} \)? 
 Resposta: O valor de \( x^3 + \frac{1}{x^3} \) é 52. 
 
30. Problema: Determine a soma dos valores de \( x \) que satisfazem \( \sqrt{x} - 
\frac{1}{\sqrt{x}} = 2 \). 
 Resposta: A soma dos valores de \( x \) é 9. 
 
31. Problema: Qual é o maior número primo menor que 1000? 
 Resposta: O maior número primo menor que 1000 é 997. 
 
32. Problema: Se \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6} \), qual é o valor de \( a + b \)? 
 Resposta: \( a + b = 6 \). 
 
33. Problema: Qual é a probabilidade de que três inteiros escolhidos aleatoriamente entre 
1 e 20 sejam todos pares? 
 Resposta: A probabilidade é \( \frac{1}{20} \). 
 
34. Problema: Se \( \sin \theta = \frac{3}{5} \) e \( \cos \theta = \frac{4}{5} \), qual é o valor 
de \( \tan \theta \)?