S10-Função Senoidal e Fasores

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Prof. Dr. Juan Camilo Castellanos Rodriguez 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) – Câmpus Curitiba.
Curso de Engenharia Elétrica e Engenharia de Controle e Automação 
Departamento de Eletrotécnica
Prof. Dr. Juan Camilo Castellanos Rodriguez
2021
ET73F - CIRCUITOS ELÉTRICOS A
FUNÇÃO SENOIDAL E FASORES
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CONTEÚDO
• Tensão alternada senoidal
• Fasores
• Diagrama fasorial
• Impedância e Admitância
• Aplicações em circuitos RL, RC e RLC
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Nas últimas semanas temos analisado circuitos 
assumindo que as fontes de alimentação são 
constantes, de corrente continua, quer dizer que 
não variam com o tempo!
Mas o que acontece com a análise de circuitos 
quando as fontes mudam de amplitude e sentido 
com o tempo?!
Por exemplo com a fonte de tensão da tomada de 
casa?
A partir de agora vamos analisar os circuitos com 
corrente alternada... 
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TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL
Uma corrente alternada (ca) normalmente se comporta de 
maneira senoidal no tempo:
Quer dizer, tem uma mudança periódica (que se repete) entre 
valores positivos e negativos (i.e. uma mudança de polaridade 
ou sentido) e uma mudança de amplitude com o tempo.
 
 
 
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TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL
Vamos considerar uma tensão senoidal:
𝒗 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)
sendo:
• 𝑉𝑚 a amplitude máxima
• 𝜔 a frequência angular (rad/s)
• 𝜔𝑡 é o argumento da senoide
A senoide se repete a cada T segundos, chama-se 
período:
𝑻 =
𝟐𝝅
𝝎
[s]
A função periódica, também se pode expressar 
pelo número de repetições em 1 segundo, chama-
se frequência:
𝒇 =
𝟏
𝑻
=
𝝎
𝟐𝝅
, suas unidades: Hertz [Hz]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão em função de 𝜔𝑡
Tensão em função do tempo
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TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL
De uma maneira mais geral podemos expressar a tensão 
considerando o ângulo de fase (𝜙):
𝒗 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝓)
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒗𝟏 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)
𝒗𝟐 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓
• Observe como a tensão em 
vermelho está com um ângulo de 
fase 𝜙 em relação à tensão em 
azul
• Neste caso o pico da tensão em 
vermelho acontece antes! Se 
adianta ao pico da tensão em 
azul, uma quantidade de 𝜙 graus.
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TENSÃO ALTERNADA SENOIDAL
Neste exemplo específico podemos 
observar que o ângulo de fase é 𝜙 =
90𝑜. 
Portanto:
𝒗𝟐 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟗𝟎
Isto é equivalente a dizer que: 
𝒗𝟐 𝒕 = 𝑽𝒎𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕
Da mesma maneira, 𝑣1pode ser 
expressada usando a função coseno:
𝑣1 𝑡 = 𝑉𝑚cos(𝜔𝑡 − 90)
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒗𝟏 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 = 𝑽𝒎𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 − 𝟗𝟎
𝒗𝟐 𝒕 = 𝑽𝒎𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟗𝟎 = 𝑽𝒎𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕
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• Dada a senoidal
𝑣 𝑡 = 10𝑠𝑒𝑛 2𝜋120𝑡 − 30 [𝑉]
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FASORES
Os circuitos CA em regime permanente senoidal, são mais 
facilmente analisados utilizando fasores.
• Um fasor é:
– um número complexo;
– que representa a amplitude e a fase da senoide.
• Pode ser utilizado quando o circuito é:
– linear;
– opera em regime permanente;
– as fontes independentes são senoidais da mesma frequência.
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LEMBRE-SE: NÚMEROS COMPLEXOS
Podem ser escritos de três formas distintas:
• Forma retangular:
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦
sendo 𝑗 = −1, 𝑥 a parte real de 𝑧; e 𝑦 a parte imaginária de 𝑧. 
• Forma polar:
𝑧 = 𝑟∠𝜙
sendo 𝑟 a magnitude de 𝑧; e 𝜙 a parte imaginária de 𝑧. 
• Forma exponencial:
𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜙
sendo 𝑟 a magnitude de 𝑧; e 𝜙 a parte imaginária de 𝑧. 
A relação entre as formas retangular e polar (ou exponencial) é:
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦^2 e 𝜙 = tan−1
𝑦
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica de 
um número complexo
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LEMBRE-SE: OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Tendo dois números complexos:
𝒁𝐴 = 𝑋𝐴 + 𝑗𝑌𝐴 = 𝑟𝐴∠𝜙𝐴 e 𝒁𝐵 = 𝑋𝐵 + 𝑗𝑌𝐵 = 𝑟𝐵∠𝜙𝐵
Todas as operações matemáticas utilizadas nos 
números complexos são empregadas nos fasores.
Veja aqui a explicação das operações com complexos
• Adição (use a forma retangular):
𝒁𝐴 + 𝒁𝐵 = 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 + 𝑗 𝑌𝐴 + 𝑌𝐵
• Multiplicação (use a forma polar):
𝑟1∠𝜙1 ⋅ (𝑟2∠𝜙2) = 𝑟1𝑟2∠(𝜙1 + 𝜙2)
• Inverso(use a forma polar):
1
𝒁
=
1
𝑟
∠ − 𝜙
• Conjugado complexo (qualquer forma):
𝒁∗ = 𝑋 − 𝑗𝑌 = 𝑟∠ − 𝜙 = 𝑟𝑒−𝑗𝜙
• Subtração (use a forma retangular):
𝒁𝐴 − 𝒁𝐵 = 𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 + 𝑗 𝑌𝐴 − 𝑌𝐵
• Divisão (use a forma polar):
𝑟1∠𝜙1
𝑟2∠𝜙2
=
𝑟1
𝑟2
∠(𝜙1 − 𝜙2)
• Raiz (use a forma polar):
𝒁 = 𝑟∠
𝜙
2
https://www.youtube.com/watch?v=eFYTZGhm9kk
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FASORES
Podemos decompor um número complexo, utilizando a lei de Euler:
𝒛 = 𝑟𝑒±𝑗𝜙 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜙 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜙 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙 ± 𝑗𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙
Demostrando que temos uma parte real (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜙) e uma parte imaginária 
(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙). Portanto, dada uma tensão senoidal:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙
Podemos reescrever 𝑣(𝑡), como a parte real de um número complexo:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 = 𝑅𝑒 𝑉𝑚𝑒
𝑗 𝜔𝑡+𝜙 = 𝑅𝑒 𝑉𝑚𝑒
𝑗 𝜔𝑡 𝑒𝑗 𝜙
𝑣 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑽𝑒𝑗 𝜔𝑡
sendo 𝑽 = 𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜙 = 𝑉𝑚∠𝜙
𝑽 é a representação fasorial da tensão 𝑣(𝑡)!
Uma representação da magnitude e fase da senoide da tensão!
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Assista a explicação feita pelo Profa. Paula Costa da UNICAMP, 
aqui (7:25-19:22min) sobre fasores:
Preste especial atenção ao seguinte:
• O que é um fasor? Como pode ser representado?
• Em qual forma usa o fasor se estiver somando ou 
subtraindo? E multiplicando ou dividindo?
FASORES
https://www.youtube.com/embed/Y_5kpKAngPU?start=445&end=1162
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FASORES
Podemos colocar 𝑽𝑒𝑗𝜔𝑡 no plano complexo, sendo 𝑽 = 𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜙 o fasor
da tensão.
• A medida que o tempo aumenta o argumento (𝜔𝑡) aumenta e o 
fasor girará (sentido antihorário) traçando uma circunferência de 
raio 𝑉𝑚 a uma velocidade angular 𝜔. 
• Podemos entender que a senoide (no tempo) é a projeção no eixo 
real para cada valor de tempo.
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FASORES
Por exemplo, com o fasor: 𝑽 = 𝑉𝑚∠30
𝑜, é representada a tensão:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚cos(𝜔𝑡 + 30𝑜)
• veja que fasor corresponde ao valor quando 𝑡 = 0
• Depois de um tempo (no ponto C) quando 𝜔𝑡 = 30𝑜, o fasor girou 30𝑜 em 
relação a sua posição inicial; 
• a projeção sobre o eixo real de cada ponto no tempo corresponde à senoidal 
da tensão 𝑣(𝑡)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DIAGRAMA FASORIAL
• A representação gráfica dos fatores é chamada diagrama 
fasorial. Por exemplo:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑽 = 𝑉𝑚∠𝜙
𝑰 = 𝐼𝑚∠ − 𝜙
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FASORES
• As diferenças entre 𝑣(𝑡) e 𝑽
– 𝑣(𝑡) é a representação instantânea no tempo, enquanto 𝑽 é a 
representação em termos de frequência.
– 𝑣(𝑡) é dependente do tempo, enquanto o fasor V não é!
– 𝑣(𝑡) é sempre real, enquanto V geralmente é complexo
• Operações entre fasores somente são validas quando a 
frequência é a mesma e constante
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RELAÇÕES TENSÃO E CORRENTE EM FASORES
• Resistor (𝑅): (lei de Ohm)
𝑽 = 𝑅𝑰
Observe que a tensão e a corrente estão em fase.
• Indutor (L):
𝑽 = 𝑗𝜔𝐿𝑰
Observe que a tensão tem magnitude 𝜔𝐿𝐼𝑚 e fase +90𝑜em relação à corrente.
• Capacitor (C):
𝑽 =
𝑰
𝑗𝜔𝐶
Observe que a tensão tem magnitude 𝐼𝑚/𝜔𝐶 e fase −90𝑜em relação à corrente.
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Assista a explicação feita pelo Profa. Paula Costa da UNICAMP, 
aqui (0:01-15:45min):
Preste especial atenção ao seguinte:
• Como é a relação tensão corrente em resistores, capacitores 
e indutores?
• Como é o diagrama de fase destes componentes?
RELAÇÕES TENSÃO E CORRENTE EM FASORES
https://www.youtube.com/embed/Db77DyTckqc?start=1&end=945
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IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA
• As expressões das relações tensão corrente podem ser rescritas 
como:
𝑉
𝐼
= 𝑅, 
𝑉
𝐼
= 𝑗𝜔𝐿 e 
𝑉
𝐼
=
1
𝑗𝜔𝐶
• Dessas três expressões obtemos a lei de Ohm na forma fasorial:
𝒁 =
𝑽
𝑰
ou 𝑽 = 𝒁𝑰
• sendo Z a impedância, razão entre tensão e corrente fasorial, a 
qual depende da frequência, suas unidades Ohm.
• A impedância representa em circuitos ca, o mesmo que a 
resistência em circuitos cc; a oposição ao fluxo de corrente.
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IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA
As impedâncias para os elementos é:
𝒁𝑹 = 𝑅 [Ω], 𝒁𝑪 = 1/𝑗𝜔𝐶 [Ω] e 𝒁𝑳 = 𝑗𝜔𝐿 [Ω]
Sendo um número retangular, pode ser representado como:
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋
onde 𝑅 é a parte real (resistência), e 𝑋 a parte imaginária (reatância). A 
impedância é indutiva quando 𝑋 é positiva; e capacitiva quando 𝑋 é 
negativa.
Algumas vezes é interessante trabalhar com o inverso da impedância, 
𝒀 = 1/𝒁, chamada admitância (unidades Siemens - S). Neste caso:
𝒀 = 𝐺 + 𝑗𝐵
sendo 𝐺 a condutância e 𝐵 a susceptância.
Vejamos um resumo das cargas antes de continuar com os circuitos...
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RESISTORES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que um resistor tem impedância somente real (veja diagrama de 
impedância), a tensão se encontra em fase em relação à corrente (veja diagrama 
de fase e forma de onda)
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INDUTORES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que um indutor tem impedância somente imaginária positiva (veja 
diagrama de impedância), a tensão se encontra adiantada 90 em relação à 
corrente (veja diagrama de fase e forma de onda)
A tensão se encontra adiantada em relação à corrente, pois 
o pico da tensão acontece antes do que o pico da corrente
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CAPACITORES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão se encontra atrasada em relação à corrente, pois 
o pico da tensão acontece depois do que o pico da corrente
Observe que um capacitor tem impedância somente imaginária negativa (veja 
diagrama de impedância), a tensão se encontra atrasada 90 em relação à 
corrente (veja diagrama de fase e forma de onda)
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Assista a explicação e exemplo da transformação de 
resistências e reatâncias feita pelo Prof. Eudemario Souza, 
aqui (1:06-12:36min) :
Preste especial atenção ao seguinte:
• O que é reatância? 
• Como são os diagramas fasoriais de cada elemento?
• Como converter indutores e capacitores em reatâncias?
IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA
https://www.youtube.com/watch?v=XX8Rd6SI1BM
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Assista a explicação e exemplo de impedâncias feita pelo Prof. 
Eudemario Souza, aqui (0:01-8:53min) :
Preste especial atenção ao seguinte:
• Como calcular as impedâncias equivalentes ?
• Qual a relação de impedância com a tensão e corrente?
• O que quer dizer atrasada ou adiantada? Como isto indica se 
domina o efeito indutivo ou capacitivo?
IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA
https://www.youtube.com/embed/WP1k9sGB6nM?start=1&end=537
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ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS: SERIE
• Serie: No arranjo em serie de impedâncias
Podemos calcular uma impedância equivalente 𝒁𝒆𝒒 entre os nós A e B.
Lembre que a corrente é a mesma em todas as impedâncias e a tensão de cada um 
deles segue a lei de ohm, portanto:
𝑉1 = 𝐼𝑍1, 𝑉2 = 𝐼𝑍2, ..., 𝑉𝑁 = 𝐼𝑍𝑁 e 𝑉𝐴𝐵 = 𝐼𝑍𝑒𝑞
Sendo a tensão 𝑉𝐴𝐵 = 𝑉1 + 𝑉2 +⋯+ 𝑉𝑁 , podemos descrever 𝑍𝑒𝑞 sendo:
𝒁𝒆𝒒 = 𝒁𝟏 + 𝒁𝟐 +⋯+ 𝒁𝑵 =෍
𝒊=𝟏
𝑵
𝒁𝒊
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS: PARALELO
• Paralelo: No arranjo em paralelo de impedâncias
Podemos calcular uma impedância equivalente 𝒁𝒆𝒒 entre os nós A e B
Lembre que a tensão é a mesma em todos as impedâncias e a corrente 
de cada um deles segue a lei de ohm, portanto:
𝐼1 = 𝑉𝐴𝐵/𝑍1, 𝐼2 = 𝑉𝐴𝐵/𝑍2, ..., 𝐼𝑁 = 𝑉𝐴𝐵/𝑍𝑁 e I= 𝑉𝐴𝐵/𝑍𝑒𝑞
Sendo 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 +⋯+ 𝐼𝑁 , podemos descrever 𝑍𝑒𝑞 sendo:
𝟏
𝒁𝒆𝒒
=
𝟏
𝒁𝟏
+
𝟏
𝒁𝟐
+⋯+
𝟏
𝒁𝑵
ou 𝐙𝐞𝐪 = 𝟏/σ𝒊=𝟏
𝑵 𝟏
𝒁𝒊
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Assista a explicação e exemplo sobre associação de 
impedâncias feita pelo Prof. Eudemario Souza, aqui (0:58-
7:38min)
Preste especial atenção ao seguinte:
• Como calcular as impedâncias equivalentes em serie? 
• Como calcular as impedâncias equivalentes em paralelo? 
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS
https://www.youtube.com/embed/mbvnR7yhZfY?start=53&end=458
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APLICAÇÕES EM CIRCUITOS
• Vamos calcular as correntes e tensões em todos os 
componentes deste circuito ca:
 
 
 
 
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APLICAÇÕES EM CIRCUITOS
• Primeiro vamos transformar o circuito para o domínio da 
frequência utilizando fasores e impedância: 
• Neste caso, a frequência angular é 377rad/s (da fonte de 
tensão)
𝝎 = 𝟑𝟕𝟕𝒓𝒂𝒅/𝒔 (60Hz):
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito no domínio do tempo Circuito no domínio da frequência
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APLICAÇÕES EM CIRCUITOS
• Depois podemos encontrar a impedância equivalente:
• Aplicando a Lei de Ohm temos uma corrente da fonte
𝐼𝑇 =
4∠0
10 + 0,23𝑗
=
4∠0
10∠1,32𝑜
= 0,4∠ − 1,32𝑜
Podemos dizer que a corrente está atrasada 1.32 graus em relação a tensão.
𝑖𝑇 𝑡 = 0,4cos(377𝑡 − 1,32)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APLICAÇÕES EM CIRCUITOS
Para o indutor:
• A tensão no indutor corresponde à mesma tensão da fonte:
𝑽𝑳 = 4∠0, quer dizer 𝑣𝐿 𝑡 = 4cos(377𝑡)
• Enquanto que sua corrente será:
𝑰𝑳 =
𝑽𝑳
𝒁𝑳
=
4∠0
377∠90
= 0,01∠ − 90
quer dizer, 𝑖𝐿(𝑡) = 0,01cos(377𝑡 − 90)
Para o resistor e capacitor:
• A corrente do resistor e capacitor será:
𝑰𝑹𝑪 =
4∠0
10 − 0,03𝑗
=
4∠0
10∠ − 0,17
= 0,4∠0,17
quer dizer, 𝑖𝑅𝐶 𝑡 = 0,4 cos 377𝑡 + 0,17
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APLICAÇÕES EM CIRCUITOS
• Nesse caso, a tensão no resistor é:
𝑽𝑹 = 10 ∗ 0,4∠0,17 = 4∠0,17
quer dizer 𝑣𝑅 𝑡 = 4cos(377𝑡 + 0,17)
• Nesse caso, a tensão no capacitor é:
𝑽𝑪 = 0,03∠ − 90 ∗ 0,4∠0,17 = 0,12∠ − 89,83
quer dizer 𝑣𝐶 𝑡 = 0,12cos(377𝑡 − 89,83)
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APLICAÇÕES EM CIRCUITOS
Note que em LTspice o argumento do coseno deve ser dado em graus
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Contato: juanc@utfpr.edu.br
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/juanc