Critério de estabilidade de Nyquist

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Critério de estabilidade 
de Nyquist
 O critério de Nyquist relaciona a estabilidade de um sistema em malha fechada com a 
resposta em frequência em malha aberta e a posição dos polos em malha aberta.
 Assim, o conhecimento da resposta em frequência do sistema em malha aberta fornece
informações sobre a estabilidade do sistema em malha fechada.
 Trata-se de conceito semelhante ao do lugar geométrico das raízes, onde inicia-se com 
informações sobre o sistema em malha aberta, seus polos e zeros, e desenvolve-se 
informações sobre o transitório e a estabilidade do sistema em malha fechada.
 Embora a princípio o critério de Nyquist forneça informações sobre a estabilidade, é 
possível estender o conceito para a resposta transitória e para os erros em regime 
permanente. Desse modo, as técnicas de resposta em frequência apresentam-se como
uma abordagem alternativa ao lugar geométrico das raízes.
Introdução
Dedução
 Considere o Sistema
 O critério de Nyquist pode dizer quantos polos em malha fechada estão no semiplano da 
direita. Antes de deduzi-lo, revê-se quatro conceitos importantes:
 (1) a relação entre os polos de 1 + G(s)H(s) e os polos de G(s)H(s)
 (2) a relação entre os zeros de 1 + G(s)H(s) e os polos da função de transferência em 
malha fechada, T(s);
 (3) o conceito de mapeamento de pontos;
 (4) o conceito de mapeamento de contornos.
Dedução
 (1) e (2) – Relações entre polos e zeros
 Sendo
 Então
 Portanto:
 (1) os polos de 1+G(s)H(s) são os 
mesmos que os polos de G(s)H(s), 
o sistema em malha aberta
 (2) os zeros de 1+G(s)H(s) são os 
mesmos que os polos de T(s), o 
sistema em malha fechada.
Dedução
 (3) - Mapeamento
 Tomando-se um número complexo no plano s e o substituindo em uma função, F(s), 
o resultado é outro número complexo. Este processo é chamado de mapeamento.
 Por exemplo, substituindo s = 4 + j3 na função (s2 + 2s + 1) resulta 16 + j30. Diz-
se que 4 + j3 é mapeado em 16 + j30 através da função (s2 + 2s + 1).
Dedução
 (3) – Mapeamento de contornos
 Seja o conjunto de pontos, denominado de contorno A.
 O contorno A pode ser mapeado através de F(s) no contorno B substituindo-se cada 
ponto do contorno A na função F(s) e representando-se graficamente os números 
complexos resultantes. Por exemplo, o ponto Q na Figura abaixo é mapeado no 
ponto Q′ através da função F(s).
Dedução
 (3) – Mapeamento de contornos
 O mapeamento de cada ponto é definido pela aritmética de números complexos, no 
qual o número complexo resultante, R, é calculado a partir dos números complexos 
representados por ω
 Admitindo-se sentido horário para o mapeamento dos pontos do contorno A, então:
 O contorno B é mapeado no sentido horário se F(s) possuir apenas zeros ou 
possuir apenas polos que não são envolvidos pelo contorno.
 O contorno B é mapeado no sentido anti-horário se F(s) possuir apenas polos 
que são envolvidos pelo contorno.
 Se o polo ou o zero de F(s) é envolvido pelo contorno A, o mapeamento envolve 
a origem.
Dedução
 (3) – Mapeamento de contornos
Dedução
 (3) – Mapeamento de contornos
Dedução
 (3) – Mapeamento de contornos
 O contorno A envolve um polo e um zero, a rotação decorrente do polo e a rotação 
decorrente do zero se cancelam, e o mapeamento não envolve a origem.
Dedução
 Critério de Nyquist
 Seja F(s) = 1 + G(s) H(s) com polos e zeros como mostrado na figura da esquerda, 
próximos do contorno A.
 R = (V1V2)/(V3V4V5) e à medida que cada ponto Q do contorno A é substituído em 
1+G(s)H(s), um ponto mapeado resulta no contorno B.
 Admitindo-se que F(s) = 1+G(s)H(s) possua dois zeros e três polos, cada termo entre 
parênteses da equação acima é um vetor na figura.
Dedução
 Critério de Nyquist
 À medida que se move, no sentido horário, ao longo do contorno A cada vetor da 
que se encontra no interior do contorno A aparentará ter passado por uma rotação 
completa, ou por uma mudança em ângulo de 360°.
 Por outro lado, cada vetor traçado a partir dos polos e dos zeros de 1+G(s)H(s) que 
existem fora do contorno A parecerá oscilar e retornar à sua posição anterior, 
passando por uma variação angular líquida de 0°.
Dedução
 Critério de Nyquist
 Cada fator de polo ou zero de 1+G(s)H(s) cujo vetor passe por uma rotação 
completa ao redor do contorno A deve resultar em uma alteração de 360°no 
resultado, R, ou em uma rotação completa do contorno mapeado B.
 Caso se mova no sentido horário ao longo do contorno A, cada zero dentro do 
contorno A produz uma rotação no sentido horário, enquanto cada polo dentro do 
contorno A produz uma rotação no sentido anti-horário.
 Assim, N = P – Z, em que:
 N é o número de voltas no sentido anti-horário do contorno B ao redor da 
origem
 P é o número de polos de 1+G(s)H(s) no interior do contorno A
 Z é o número de zeros de 1+G(s)H(s) no interior do contorno A.
Dedução
 Critério de Nyquist
 Como os polos mostrados na figura são polos de 1+G(s)H(s), sabe-se que eles 
também são polos de G(s)H(s) e são conhecidos.
 Porém, uma vez que os zeros mostrados na figura são os zeros de 1+G(s)H(s), sabe-
se que eles também são polos do sistema em malha fechada e não são conhecidos.
 Portanto, P é igual ao número de polos em malha aberta envolvidos e Z é igual ao 
número de polos em malha fechada envolvidos.
 Assim, N=P–Z, ou, alternativamente, Z=P–N, diz que o número de polos em malha 
fechada no interior do contorno (que é o mesmo que o número de zeros dentro do 
contorno) é igual ao número de polos em malha aberta de G(s)H(s) no interior do 
contorno menos o número de voltas no sentido anti-horário do mapeamento em 
torno da origem.
Dedução
 Critério de Nyquist
 Caso se estenda o contorno para incluir todo o semiplano da direita, pode-se contar 
o número de polos em malha fechada no interior do contorno A, no semiplano da 
direita, e determinar a estabilidade de um sistema.
 Uma vez que é possível contar o número de polos em malha aberta, P, dentro do 
contorno, que são os mesmos que os polos de G(s)H(s) no semiplano da direita, o 
único problema que resta é como obter o mapeamento e determinar N.
 Como todos os polos e zeros de G(s)H(s) são conhecidos, o que acontece se o 
mapeamento for feito através de G(s)H(s) em vez de 1+G(s)H(s)?
 O contorno resultante é o mesmo que o de um mapeamento através de 
1+G(s)H(s), exceto que ele é transladado uma unidade para a esquerda
 Assim, conta-se as voltas em torno de –1 em vez das voltas em torno da origem. 
Critério de Nyquist
 Portanto, o critério de estabilidade de Nyquist é definido como:
Se um contorno, A, que envolve todo o semiplano da direita, for mapeado 
através de G(s)H(s), então o número de polos em malha fechada, Z, no 
semiplano da direita é igual ao número de polos em malha aberta, P, que estão 
no semiplano da direita menos o número de voltas do mapeamento no sentido 
anti-horário, N, em torno de –1; isto é, Z=P–N. O mapeamento é chamado de 
diagrama de Nyquist, ou curva de Nyquist, de G(s)H(s).
Critério de Nyquist
 Ao longo do contorno A na figura, o mapeamento dos pontos sobre o eixo jω através da 
função G(s)H(s) é o mesmo que substituir s=jω em G(s)H(s) para formar a função de 
resposta em frequência G(jω)H(jω).
 Portanto, se está determinando a resposta em frequência de G(s)H(s) sobre esta parte 
do contorno A que corresponde à parte positiva do eixo jω. Em outras palavras, parte 
do diagrama de Nyquist é o diagrama polar da resposta em frequência de G(s)H(s).
Determinando estabilidade
 Exemplo 1: A Figura mostra um contorno A que não envolve polos em malha fechada, 
isto é, os zeros de 1+G(s)H(s).
 O contorno desse modo é mapeado através de G(s)H(s) em um diagrama de Nyquist que 
não envolve –1. Assim, P = 0, N = 0 e Z = P – N = 0.
 Uma vez que Z é o número de polos em malha fechada no interior do contorno A, que 
envolve o semiplano da direita, este sistema não possui polos no semiplano da direita e 
é estável.
Determinandoestabilidade
 Exemplo 2: A figura mostra um contorno A que, embora não envolva polos em malha 
aberta, gera duas voltas no sentido horário em torno de –1. Assim, P = 0, N = –2, e o 
sistema é instável;
 Há dois polos em malha fechada no semiplano da direita, uma vez que Z=P–N=2. Os dois 
polos em malha fechada são mostrados no interior do contorno A como zeros de 
1+G(s)H(s).
Determinando estabilidade
 Exemplo 2:
 Cabe ressaltar que voltas no sentido horário implicam um valor negativo para N. O 
número de voltas pode ser determinado traçando-se um raio de teste a partir de –1 em 
qualquer direção conveniente e contando-se o número de vezes que o diagrama de 
Nyquist cruza o raio de teste. Os cruzamentos no sentido anti-horário são positivos, e os 
cruzamentos no sentido horário são negativos.
 Por exemplo, na figura o contorno B cruza o raio de teste duas vezes no sentido 
horário. Portanto, há –2 voltas em torno do ponto –1.
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 O diagrama de Nyquist é traçado substituindo-se os pontos do contorno mostrado na 
Figura em G(s) = 500/[(s + 1)(s + 3)(s + 10)] em um processo equivalente a efetuar 
aritmética de números complexos utilizando os vetores de G(s) traçados até os 
pontos do contorno, como mostrado nas figuras abaixo.
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 Cada termo de polo e zero de G(s) é um vetor na figura.
 O vetor resultante, R, obtido em qualquer ponto ao longo do contorno é, em geral, 
o produto dos vetores de zeros dividido pelo produto dos vetores de polos. Assim, a 
magnitude do resultado é o produto das distâncias até os zeros dividido pelo 
produto das distâncias até os polos, e o ângulo do resultado é a soma dos ângulos 
dos zeros menos a soma dos ângulos dos polos.
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 À medida que se move no sentido horário ao longo do contorno, do ponto A até o 
ponto C na primeira figura, o ângulo resultante vai de 0°a –3×90°=–270°, ou de A′ a 
C′ na última figura.
 Uma vez que os ângulos emanam de polos no denominador de G(s), a rotação ou o 
aumento no ângulo é na verdade uma diminuição no ângulo da função G(s).
 Os polos ganham 270° no sentido anti-horário, o que explica por que a função 
perde 270°.
 Enquanto o resultado se move de A′ para C′ na última figura 10.27(c), sua 
magnitude varia de acordo com o produto das distâncias até os zeros dividido pelo 
produto das distâncias até os polos.
 Portanto, o resultado vai de um valor finito em frequência zero [no ponto A existem 
três distâncias finitas até os polos] até uma magnitude zero na frequência infinita 
no ponto C [no ponto C existem três distâncias infinitas até os polos].
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 Analiticamente: De A a C o conjunto de pontos ao longo do contorno é imaginário. 
Portanto, de A até C, G(s) = G(jω), ou
 Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do 
denominador, tem-se
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 Na frequência zero, G(jω) = 500/30 = 50/3. Portanto, o diagrama de Nyquist
começa em 50/3 com um ângulo de 0°.
 À medida que v aumenta, a parte real permanece positiva, e a parte imaginária 
permanece negativa. Em ω= 30/14 a parte real se torna negativa. Em ω= 43 , o 
diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo, uma vez que o termo imaginário se 
anula.
 O valor real no cruzamento do eixo, ponto Q′, encontrado substituindo-se na 
equação anterior, é –0,874.
 Continuando para ω = infinito, a parte real é negativa e a parte imaginária é 
positiva. Em frequência infinita, G(jω) < 500j/ω3, ou aproximadamente zero a 90°.
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 Ao longo do semicírculo infinito do ponto C ao ponto D, os vetores giram no sentido 
horário, cada um por 180°. Portanto, o resultado passa por uma rotação no sentido 
anti-horário de 3×180°, começando no ponto C′ e terminando no ponto D′.
 Analiticamente, pode-se ver isso admitindo que, ao longo do semicírculo infinito, os 
vetores começam aproximadamente na origem e possuem módulos infinitos. Para 
qualquer ponto no plano s o valor de G(s) pode ser obtido representando cada 
número complexo na forma polar, como a seguir:
 em que R–i é a magnitude do número complexo (s+i), e θ –i é o ângulo do número 
complexo (s+i). Ao longo do semicírculo infinito, todos os R –i são infinitos, e pode-
se usar a hipótese para aproximar os ângulos como se os vetores começassem na 
origem.
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Exemplo 1
 Assim, ao longo do semicírculo infinito:
 No ponto C os ângulos são todos 90°. Portanto, o resultado é 0∠–270°, mostrado 
como ponto C′. De modo análogo, no ponto D, G(s) = 0∠+270° que é mapeado no 
ponto D′.
 O eixo imaginário negativo pode ser mapeado percebendo-se que a parte real de 
G(jω)H(jω) é sempre uma função par, enquanto a parte imaginária de G(jω)H(jω) é 
uma função ímpar. Isto é, a parte real não mudará de sinal quando valores 
negativos de ω são utilizados, enquanto a parte imaginária mudará de sinal. 
Portanto, o mapeamento do eixo imaginário negativo é uma imagem refletida do 
mapeamento do eixo imaginário positivo. O mapeamento do trecho do contorno do 
ponto D até A é traçado como uma imagem refletida em relação ao eixo real do 
mapeamento do ponto A até C.
Esboçando o diagrama de Nyquist
 No exemplo, não havia polos em malha aberta situados ao longo do contorno 
envolvendo o semiplano da direita.
 Caso esses polos existam, então um desvio ao redor dos polos sobre o contorno é 
necessário; caso contrário, o mapeamento iria para infinito de uma forma 
indeterminada, sem informação angular.
 Consequentemente, um esboço completo do diagrama de Nyquist não poderia ser feito, 
e o número de voltas em torno de –1 não poderia ser determinado
Esboçando o diagrama de Nyquist
 Admitindo G(s)H(s) = N(s)/sD(s), em que D(s) possui raízes imaginárias. O termo s no 
denominador e as raízes imaginárias de D(s) são polos de G(s)H(s) que estão no 
contorno.
 Para esboçar o diagrama de Nyquist, o contorno deve desviar ao redor de cada polo em 
malha aberta que está em seu caminho. O desvio pode ser à direita do polo, e o vetor 
de cada polo gira de +180° quando se move ao longo do contorno próximo desse polo.
 Esse conhecimento da rotação angular dos polos no contorno permite completar o 
diagrama de Nyquist. O desvio deve levar apenas a uma distância infinitesimal no 
semiplano da direita; caso contrário, alguns polos em malha fechada no semiplano da 
direita serão excluídos da contagem.
 Pode-se também desviar para a esquerda dos polos em malha aberta. Nesse caso, cada 
polo gira de um ângulo de –180° quando desvia-se ao seu redor.
Esboçando o diagrama de Nyquist
Estabilidade
 Para determinar a estabilidade de um sistema, empregando a equação simples Z=P–N, 
os valores de P (número de polos em malha aberta de G(s)H(s) envolvidos pelo 
contorno) e de N (número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de –1) são 
utilizados para determinar Z, o número de polos no semiplano da direita do sistema em 
malha fechada.
 Caso o sistema em malha fechada possua um ganho variável na malha, uma questão que 
surge é: “Para que faixa de ganho o sistema é estável?”
 Esta questão, respondida anteriormente pelo método do lugar geométrico das 
raízes e pelo critério de Routh-Hurwitz, é agora respondida através do critério de 
Nyquist. A abordagem geral é ajustar o ganho de malha com valor unitário e traçar 
o diagrama de Nyquist. Uma vez que o ganho é simplesmente um fator 
multiplicativo, seu efeito é o de multiplicar o resultado por uma constante em 
qualquer ponto do diagrama de Nyquist.
Estabilidade
Estabilidade
 À medida que o ganho é variado, pode-se visualizar o diagrama de Nyquist expandindo 
(ganho maior) ou encolhendo (ganho menor) como um balão.
 Essa alteração poderia mover o diagrama de Nyquist para além de –1, alterando o 
quadro daestabilidade.
 Para esse sistema, uma vez que P = 2, o ponto crítico deve ser envolvido pelo diagrama 
de Nyquist para resultar em N = 2 e em um sistema estável.
 Uma redução no ganho colocaria o ponto crítico fora do diagrama de Nyquist em que N 
= 0, resultando em Z = 2, um sistema instável.
 Sob outra perspectiva, pode-se pensar no diagrama de Nyquist como permanecendo 
estacionário e no ponto –1 se movendo ao longo do eixo real. Para isso, ajusta-se o 
ganho como unitário e posiciona-se o ponto crítico em –1/K em vez de em –1. Assim, o 
ponto crítico parece se mover para mais perto da origem à medida que K aumenta.
Estabilidade
 Ademais, se o diagrama de Nyquist cruza o eixo real em –1, então G(jω)H(jω) = –1.
 A partir dos conceitos do lugar geométrico das raízes, quando G(s)H(s) = –1 a variável s 
é um polo em malha fechada do sistema. Portanto, a frequência na qual o diagrama de 
Nyquist passa por –1 é a mesma frequência na qual o lugar geométrico das raízes cruza 
o eixo jω.
 Assim, o sistema é marginalmente estável se o diagrama de Nyquist interceptar o eixo 
real em –1.
 Em resumo, se o sistema em malha aberta contém um ganho variável, K, faz-se K = 1 e 
cria-se o esboço do diagrama de Nyquist. Considerando o ponto crítico como –1/K em 
vez de –1, ajusta-se o valor de K para resultar em estabilidade, com base no critério de 
Nyquist.
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