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Respostas
Aritmética01
Combinatória02
Conversão de unidades e notação científica03
Estatística, gráficos e tabelas04
Funções, equações e inequações do 1° grau05
Funções, equações e inequações do 2° grau06
Funções, equações e inequações exponenciais
e logarítmicas07
Funções trigonométricas08
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Respostas
Geometria analítica09
Geometria espacial10
Geometria plana 11
Grandezas proporcionais12
Matemática Financeira13
Matrizes e determinantes14
Probabilidade15
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Respostas
Sequências16
Teoria dos conjuntos17
Trigonometria18
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Olá, tudo certo?
Caso você encontre algum erro, por favor envie um e-mail
para contato@fisicabase se possível com o assunto "Erro em
questões de matemática do ENEM" para que a gente possa
corrigir!
Bons estudos!
Obrigado!
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Aritmética
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ARITMÉTICA E ÁLGEBRA - SOLUÇÕES
Questão 1
A questão aborda sobre soma de frações. O exemplo dado mostra, por exemplo, que
1
2
=
1
4
+
1
4
(um
compasso de
1
2
composto por duas semı́nimas),
1
2
=
1
2
(um compasso de
1
2
composto por uma mı́nima) e
1
2
=
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
(um compasso de
1
2
composto por quatro colcheias).
Com oito compassos, cuja fórmula é
3
4
, tem-se uma duração de 8 · 3
4
=
24
4
= 6 tempos. Assim, consultando
a imagem, basta analisar qual das alternativas contém as combinações diferentes de notas que encaixam
perfeitamente neste intervalo. Fazendo isto:
(A) 24 fusas = 24 · 1
32
=
24
32
=
3
4
̸= 6
(B) 3 semı́nimas = 3 · 1
4
=
3
4
̸= 6
(C) 8 semı́nimas = 8 · 1
4
=
8
4
= 2 ̸= 6
(D) 24 colcheias e 12 semı́nimas = 24 · 1
8
+ 12 · 1
4
=
24
8
+
12
4
= 3 + 3 = 6
(E) 16 semı́nimas e 8 semicolcheias = 16 · 1
4
+ 8 · 1
16
=
16
4
+
8
16
= 4 +
1
2
=
9
2
̸= 6
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 2
O enunciado da questão traz o procedimento utilizado para encontrar os d́ıgitos verificadores do número de
inscrição no CPF. Estes números são os dois últimos de uma sequência de 11 d́ıgitos.
De acordo com o que é exposto, o primeiro d́ıgito verificador d1 é calculado multiplicando os 9 primeiros
algarismos pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 e, em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos
resultados (digamos S1) das multiplicações por 11. Se o resto r for 0 ou 1, d1 é zero. Caso contrário, d1 =
(11 – r). Assim, para o CPF de João:
S1 = 10 · 1 + 9 · 2 + 8 · 3 + 7 · 4 + 6 · 5 + 5 · 6 + 4 · 7 + 3 · 8 + 2 · 9
S1 = 10 + 2(9 · 2) + 2(8 · 3) + 2(7 · 4) + 2(6 · 5)
S1 = 10 + 2(18) + 2(24) + 2(28) + 2(30)
S1 = 10 + 36 + 48 + 56 + 60
S1 = 210
Dividindo por 11, obtém-se resto 1, pois 210 = 19 · 11 + 1. Ou seja, S1 = 210 implica r = 1. Logo, d1 = 0.
Para o segundo d́ıgito verificador o procedimento é análogo. Seja, agora, S2 como a soma das multiplicações
contadas a partir do segundo algarismo. Assim,
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S2 = 10 · 2 + 9 · 3 + 8 · 4 + 7 · 5 + 6 · 6 + 5 · 7 + 4 · 8 + 3 · 9 + 2 · 0
S2 = 20 + 2(9 · 3) + 2(8 · 4) + 2(7 · 5) + (6 · 6)
S2 = 20 + 2(27) + 2(32) + 2(35) + 36
S2 = 20 + 54 + 64 + 70 + 36
S2 = 244
Dividindo por 11, obtém-se resto 2, pois 244 = 22 · 11 + 2. Ou seja, S2 = 244 implica s = 2. Logo,
d2 = (11− 2) = 9.
Finalmente, os d́ıgitos verificadores d1 e d2 são, respectivamente, 0 e 9.
A alternativa correta é o item A.
Questão 3
Com o valor fornecido da massa da menina de 64 kg e seu IMC igual a 25 kg/m2, pode-se calcular sua altura
a partir da fórmula que calcula o IMC:
25 =
64
altura2
⇒ altura2 =
64
25
⇒ altura =
√
64√
25
=
8
5
= 1, 6 m
Com a altura, calcula-se o RIP . Note, entretanto, que na fórmula do RIP a altura se encontra em cm.
Assim,
RIP =
160
3
√
64
=
160
4
= 40 cm/kg
1/3
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 4
A questão pergunta sobre quantas Terras cabem dentro de Júpiter. De acordo com o enunciado, o planeta
Netuno comportaria 58 planetas Terra. Por sua vez, dentro de Júpiter cabem 23 Netunos. Logo, para cada
Netuno, há 58 planetas Terra. Assim, o número de planeta Terra que caberiam dentro do planeta Júpiter é
23 · 58 = 1334.
A alternativa correta é o item B.
Questão 5
Para postar 500 folhetos do segundo tipo serão necessários 500 selos de cada com preços de R$ 0,65, R$ 0,60
e R$ 0,20. Logo, o custo com selos para o envio de folhetos do segundo tipo é
500 · (0, 65 + 0, 60 + 0, 20) = 500 · (1, 45) = R$ 725, 00
Com isso, sobra para envio de folhetos do primeiro tipo R$ 1000,00 − R$ 725,00 = R$ 275,00. Se cada um
usa um selo de R$ 0,65, o número de folhetos máximos posśıveis do primeiro tipo é
275
0, 65
≈ 423.
Assim, foram comprados 500 + 423 = 923 selos de R$ 0,65 (Alternativa C).
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Questão 6
O pistão a comprar deve ser o de diâmetro mais próximo do pistão ideal que é de 68mm de diâmetro. Como
só estão dispońıveis os pistões de diâmetros 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm, pode
ser útil colocá-los em ordem crescente de tamanho colocando-os com mesmo número de casas decimais:
68, 000 < 68, 001 < 68, 012 < 68, 020 < 68, 102 < 68, 210
Logo, o dono da oficina terá de adquirir o pistão de diâmetro 68,001 mm (Alternativa E).
Questão 7
Primeiramente, é preciso calcular a altura da jovem em metros. Usando as informações dadas e a fórmula do
IMC apresentada, tem-se:
IMC =
massa
altura2
⇒ 20 =
60
altura2
⇒ altura2 =
60
20
= 3 ⇒ altura =
√
3 ≈ 1, 7 m
Com isso, o IAC pode ser calculado:
IAC =
circunferência
altura ·
√
altura
− 18 ⇒ IAC =
100
1, 7 ·
√
1, 7
− 18 =
100
1, 7 · 1, 3
− 18 ≈ 27, 25
Como a adiposidade normal entre as mulheres está entre 19% e 26%, essa jovem deve perder 27, 25− 26 =
1, 25 ≈ 1% para se adequar aos ńıveis de normalidade de gordura corporal (Alternativa A).
Questão 8
A densidade demográfica (d) de uma região é a razão entre o número de habitantes pela área dessa região.
Assim,
d =
20 · 106
800 000
=
200
8
= 25
Logo, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga é de 25 habitantes por km2 (alternativa B).
Questão 9
A questão pode ser resolvida de diferentes maneiras. Uma delas é subtrair da área total inicial (Ai) a área do
forro que restou após o encolhimento (Ae). Façamos assim. Calcula-se primeiro a área inicial:
Ai = 5 · 3 = 15
Calcula-se, agora, a área após o encolhimento:
Ae = (5− x) · (3− y) = 15− 5y − 3x+ xy
Subtrai-se as áreas:
Ai −Ae = 15− (15− 5y − 3x+ xy) = 5y + 3x− 3y
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, pode ser expressa por 5y + 3x − xy
(Alternativa E).
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Questão 10
De acordo com o esquema apresentado, o cadeirante ficará confortável se os dispositivos (tomadas e
interruptores) estiverem a uma altura de 0,80m a 1,00m, porém aceitável a uma altura mı́nima de 0,40m a
1,35m.
Analisando as alternativas dispońıveis, vê-se que a única que atenderá ao cadeirante é a proposta que coloca
0,45m para as tomadas e 1,20m para os interruptores. Isso se dá, pois é a única alternativa que traz um
valor maior do que a altura mı́nima (0, 45 > 0, 40) para a tomada e um valor menor do que a altura máxima
(1, 20 < 1, 35) para o interruptor.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 11
O sistema de numeração que usamos é decimal e posicional. Isso significa que agrupamos de 10 em 10 ou, de
outra forma, usamos 10 śımbolos (algarismos) para representartodos os números e que a posição de um
algarismo na formação de um número o define. Por exemplo, são diferentes os números 13 e 31 que, mesmo
tendo os mesmo algarismos na sua formação, representam números distintos.
Os diferentes números formados são divididos em classes e ordens. A classe de números é composta por
unidade, dezena e centena e se constitui por até três algarismos (a última classe pode não ter três algarismos).
A ordem de números começa da direita para a esquerda e representa a posição do algarismo que compõe o
número.
Para o número de João, começando da direita para a esquerda, tem-se 3 classes: classe das unidades, classe
dos milhares e classe dos milhões.
Logo, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de centena de milhar
(Alternativa C).
Questão 12
Os três lados do terreno que devem ser cercados somam 81 + 190 + 81 = 352 metros. Como cada rolo
comprado de tela tem 48 metros, serão necessários 352/48 = 7, 3 rolos. Uma vez que não se pode comprar
uma quantidade não inteira de rolos, serão necessários 8 rolos (Alternativa C).
Questão 13
O número de divisores de um número qualquer pode ser calculado a partir da fatoração desse número. Se essa
fatoração tem a forma pe11 · pe22 · pe33 · . . . penn , com pi números primos (i ∈ {1, 2, . . . , n}) e ej seus expoentes
(j ∈ N), então o número de divisores pode ser calculado pelo produto (e1 +1) · (e2 +1) · (e3 +1) · . . . · (en +1).
Tal fato decorre diretamente do prinćıpio multiplicativo.
Se a forma fatorada de N é 2x · 5y · 7z, aplicando tem-se (x+ 1) · (y+ 1) · (z + 1) divisores. Como não quer-se
o próprio número N , exclui-se desta quantidade uma unidade. Logo,
(x+ 1) · (y + 1) · (z + 1)− 1
É importante observar que as restrições sobre N (múltiplo de 10 e múltiplo de 7) não invalidam a expressão e
ela continua valendo da mesma forma.
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Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 14
Seguindo as instruções e o exemplo dado, o número formado a partir do quipus tem quatro ordens. De cima
para baixo, são elas: unidade dos milhares, centenas, dezenas e unidades.
Como se apresenta, há três nós nas região da corda equivalente às unidades dos milhares, nenhum nó na
região das centenas, seis nós nas dezenas e quatro nós nas unidades. Logo, o número representado é 3064
(Alternativa C).
Questão 15
Se o executivo sai da cidade A às 15h e chega à cidade B às 18h em um avião que gasta 6 horas para fazer
o percurso, logo a cidade B tem seu horário adiantado em (15 + 6)− 18 = 3 horas em relação à cidade A.
Assim sendo, se x é o horário que ele deve sair da cidade B para não se atrasar com o compromisso na cidade
A, logo:
(x+ 6) + 3 = 13
x+ 9 = 13
x = 4
Assim, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) 4h (Alternativa D).
Questão 16
Para resolver essa questão, é necessário encontrar o maior divisor comum (MDC) entre os comprimentos das
tábuas de madeira (540 cm, 810 cm e 1080 cm) que seja menor do que 200 cm (2 m). Isso se justifica, pois o
carpinteiro precisa cortar as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que
as novas peças ficassem com o maior tamanho posśıvel, mas de comprimento menor que 2 m.
Para encontrar o MDC desses números, podemos fazer uma fatoração conjunta. A fatoração de 540 é 22 ·33 ·5,
de 810 é 2 · 34 · 5 e de 1080 é 23 · 33 · 5. Ao fazer a fatoração conjunta, percebemos que os números 2, 33 e
5 são comuns entre os três números, logo eles são os fatores que dividem esses números sem deixar resto.
Assim, o MDC é 2 · 33 · 5 = 270.
Acontece, no entanto, que o tamanho das peças deve ser menor do que 200 cm. Assim, dividimos 270 por 2 e
encontramos 135 (dois é o menor número pelo qual divide-se 270 e o resultado é menor do que 200).
Logo:
� 540/135 = 4 tábuas;
� 810/135 = 6 tábuas;
� 1080/135 = 8 tábuas;
Assim,
40 · 4 = 160 tábuas
30 · 6 = 180 tábuas
10 · 8 = 80 tábuas
Total de peças: 160 + 180 + 80 = 420 peças.
O carpinteiro deve produzir 420 peças (Alternativa E).
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Questão 17
Segundo os critérios estabelecidos, o número mı́nimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos
é encontrado a partir do máximo divisor comum (MDC) de 400 e 320, que dá o número de ingressos que
cada escola receberá.
Fazendo os cálculos,
MDC(400, 320) = 80
Como o número total de ingressos dispońıveis é 720, então 720/80 = 9 escolas serão escolhidas para receber
ingressos, cada uma recebendo 80 ingressos (Alternativa C).
Questão 18
A paciente precisa ingerir 1 copo de água (150 ml) a cada meia hora, ou seja, 20 copos (3000 ml) em 10 horas.
Isso se justifica, pois em 10 horas há 20 peŕıodos de meia hora.
Como ela deve escolher duas garrafas de mesmo tipo para consumir todo o ĺıquido antes do exame, a soma
do volume dessas garrafas deve ser igual a 3000 ml. Uma vez que ela vai comprar duas garrafas, a única
garrafa que atende a essa necessidade é a garrafa IV, onde cada uma tem volume de 1,5 litros, ou seja, 1500
ml. Portanto, o tipo de garrafa escolhido pela paciente é a garrafa IV (Alternativa D).
Questão 19
A famı́lia de 10 pessoas precisa construir um reservatório para armazenar a água captada das chuvas e
economizar nas contas mensais de água. O objetivo é ter capacidade suficiente para abastecer a famı́lia por
20 dias.
Considerando que cada pessoa consome diariamente 0,08 m3 de água, a capacidade mı́nima necessária do
reservatório será de:
� 10 pessoas x 0,08 m3/pessoa/dia = 0,8 m3/dia
� 0,8 m3/dia x 20 dias = 16 m3
Logo, a capacidade mı́nima do reservatório, em litros, será de 16 m3 · 1000 litros/m3 = 16 000 litros
(Alternativa E).
Questão 20
A escolha da espessura da lente será baseada na medida mais próxima de 3 mm, ou seja, naquele número
real cujo módulo da diferença com 3 mm é o menor.
O módulo de diferença entre dois números reais é o valor absoluto da diferença entre eles, ou seja, o módulo
da diferença entre 3 mm e cada uma das espessuras do estoque será calculado e comparado. A espessura cujo
módulo da diferença com 3 mm for o menor será a escolhida.
Calculando-se o módulo da diferença para cada uma das espessuras do estoque, obtemos:
� | 3,10 mm - 3 mm | = 0,10 mm
� | 3,021 mm - 3 mm | = 0,021 mm
� | 2,96 mm - 3 mm | = 0,04 mm
� | 2,099 mm - 3 mm | = 0,901 mm
� | 3,07 mm - 3 mm | = 0,07 mm
Nesse caso, temos que o módulo da diferença mais próximo de zero é o módulo da diferença entre 3,021 mm e
3 mm, ou seja, 0,021 mm. Portanto, a espessura escolhida deve ser de 3,021 mm (Alternativa C).
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Questão 21
Da maneira que está na figura, da direita para esquerda, tem-se:
� 1 unidade;
� 4 centenas de milhar;
� 7 dezenas;
� 0 milhar;
� 1 centena;
� 6 dezenas de milhar;
Logo, 1 + 400 000 + 70 + 0 + 100 + 60 000 = 460 171 (Alternativa D).
Questão 22
Após 100 doações de sangue com 450 mL cada, é posśıvel obter 100 ·
(
40
60 · 450 mL
)
= 100 ·300 mL = 30000 mL
de plasma. Armazenado em bolsas de 250 mL de capacidade, isso resulta em 30000 mL/250 mL = 120
bolsas de plasma. Com cada refrigerador tendo capacidade para armazenar 50 bolsas, o número mı́nimo de
refrigeradores necessários é
⌈
120
50
⌉
= 3.
Portanto, o banco precisou alugar pelo menos 3 refrigeradores para estocar todas as bolsas de plasma daquela
semana (Alternativa B).
Questão 23
A questão solicita a colocação em ordem crescente das medidas de tubos de água, que são expressas como
frações, 1
2 ,
3
8 e 5
4 polegadas. O objetivo é comparar essas frações para identificar a ordem crescente dos
diâmetros equivalentes de cada medida.
Para comparar as frações 1
2 ,
3
8 e 5
4 , é necessário encontrar frações equivalentes. Isso podeser feito através
da reescrita das frações, ou seja, encontrando um denominador comum para cada par. Por exemplo, para
comparar 1
2 e 3
8 , é necessário encontrar um denominador comum entre essas frações. Nesse caso, o denominador
comum pode ser 8. A fração 1
2 se torna 4
8 e a fração
3
8
não é necessário realizar nenhuma multiplicação.
Assim, temos que 4
8 é maior que
3
8
, e portanto, 1
2 é maior que
3
8
. A mesma lógica pode ser aplicada à
comparação das outras frações.
Assim, encontrando os valores numéricos equivalentes das frações, é posśıvel compará-las e colocá-las em
ordem crescente: 3
8 ,
1
2 e 5
4 . Ou seja, o menor diâmetro de tubo é o de 3
8 de polegada, o de meio é o de 1
2 de
polegada e o maior é o de 5
4 de polegada (Alternativa C).
Questão 24
A quantidade total de alimentos desperdiçada é de 150 · 2/3 = 100 milhões de toneladas. Já a quantidade de
alimentos desperdiçada ao longo da cadeia produtiva é de 64% desse total, ou seja, 100 · 0, 64 = 64 milhões de
toneladas.
Com isso, tem-se listados os seguintes volumes de desperd́ıcio:
� 20 milhões de toneladas com colheita;
� 8 milhões de toneladas com transporte e armazenamento,;
� 15 milhões com indústria de processamento;
� 1 milhão de tonelada no varejo;
� 64− (20 + 8 + 15 + 1) = 20 milhões de toneladas no processamento culinário e hábitos alimentares.
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Assim, a alternativa correta é o item A.
Questão 25
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, a pena de reclusão prevista pela
Lei 12.550/11 é de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). No entanto, segundo a mesma lei, se o crime for cometido por
um funcionário público, a pena sofrerá um aumento de 1/3. Calculando esse aumento:
12 + (1/3 · 12) = 12 + (4) = 16 (mı́nimo)
48 + (1/3 · 48) = 48 + (16) = 64 (máximo)
Portanto, a pena de reclusão para um funcionário público condenado por fraudar um concurso público seria
de 16 a 64 meses (Alternativa C).
Questão 26
A escala utilizada foi de 3 : 400, ou seja, para cada 1 metros do avião original, na maquete serão representados
3/400 cent́ımetros. Então, para a envergadura CD de 60 metros, na maquete será representado por:
60 · 3
400
=
180
400
= 0, 45 m = 45 cm
Portanto, a envergadura CD na maquete será de 45 cent́ımetros (Alternativa C).
Questão 27
As duas máquinas do clube juntas fazem 200 m2 por hora, então fazem 200 · 5 = 1000 m2 em 5 horas.
Como o campo tem 8000 m2, ainda faltam 8000− 1000 = 7000 m2 para serem podados.
Se o clube precisa podar 7000 m2 em 5 horas, então precisará de 7000/1000 = 7 vezes mais máquinas
dispońıveis, pois, como visto, as duas máquinas fazem 1000 m2 em 5 horas. Logo, serão necessárias mais
7 · 2 = 14 máquinas.
Portanto, o administrador precisará solicitar ao clube vizinho, no mı́nimo, 14 máquinas (Alternativa D).
Questão 28
Se já haviam sido usados 15% do volume da água existente na caixa às 13h de segunda-feira, então resta nesse
momento 100%− 15% = 85% da água que restava. Como o dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento
quando o volume restante é de 5% do volume total, então ainda precisarão ser usados 85%− 5% = 80% da
água.
Observe, também, que levou 13− 7 = 6 horas para reduzir 15%. Assim, dado que a vasão é constante, a cada
6 horas o tanque reduz 15%. Logo, de forma equivalente, a cada 2 horas o tanque reduz 5%.
Calculando o tempo para reduzir 80%:
80
5
· 2 = 32 horas
Adicionando este tempo às 13h de segunda feira, o dispositivo interromperá o funcionamento às 13 + 32 =
13 + 24 + 8 horas = 1 dia + 21 horas. Assim, o dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento às 21 h
de terça-feira (Alternativa E).
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Questão 29
Para resolver essa questão, precisamos usar a relação entre escalas e volumes. A escala 1:400 significa que a
peça comprada pelo turista é 400 vezes menor do que o monumento original. Seja Vo o volume do monumento
original em metros cúbicos, então temos:
Vp =
1
4003
Vo,
onde Vp é o volume da peça comprada pelo turista em metros cúbicos. Sabemos que o volume da peça é de
25 cm3, o que equivale a 25 · 10−6 = 0, 000025 m3. Substituindo na equação acima, temos:
0, 000025 =
1
4003
Vo.
Multiplicando ambos os lados por 4003, obtemos:
Vo = 0, 000025 · 4003 = 1600 m3.
Portanto, o volume do monumento original é de 1600 metros cúbicos (Alternativa C).
Questão 30
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo com o ńıvel de água na piscina ao
longo do tempo.
Vamos começar calculando a taxa de enchimento da piscina enquanto a chuva está caindo. Sabemos que a
chuva está caindo com intensidade constante, então a taxa de enchimento da piscina também é constante.
A piscina é um paraleleṕıpedo retângulo, então podemos calcular o volume de água que entra na piscina a
cada minuto multiplicando a área da base da piscina pela taxa de enchimento. A área da base da piscina é o
produto da largura pela profundidade. Como o ńıvel de água aumenta em 20 cm em 45 minutos, a taxa de
enchimento (Te) é de:
Te =
20 cm
45 min
=
4
9
cm/min
Agora, vamos calcular a taxa de escoamento (sáıda) da água da piscina depois que o registro é aberto.
Sabemos que a vazão é constante, então a taxa de escoamento é constante também. A taxa de escoamento
(Ts) é maior do que taxa de enchimento (Te) quando o ńıvel de água na piscina está diminuindo a uma taxa
constante. Isso ocorre porque, se a taxa de enchimento fosse maior do que a taxa de escoamento, o ńıvel de
água na piscina continuaria a aumentar em vez de diminuir. Entre 18h e 18h 40 min a altura da piscina
reduziu de 20 cm para 15 cm. Logo, a vazão conjunta (Te + Ts) é negativa com uma taxa de
(20− 15) cm
40 min
=
5
40
=
1
8
cm/min
Logo, podemos calcular a taxa de escoamento do registro:
Te + Ts = −1
8
4
9
+ Ts = −1
8
Ts = −1
8
− 4
9
Ts = −41
72
Isso quer dizer que a taxa de escoamento do registro é de
41
72
cm/min.
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As 18h 40 min restam 15 cm de altura de água na piscina sujeito somente a essa taxa de escoamento. Assim,
o tempo t necessário para que a piscina fique completamente vazia é:
t = 15 :
41
72
≈ 26, 34 min
Finalmente, o instante em que a água dessa piscina termina de escoar completamente é 18h 40 min + 26,34
min = 19h 04 min, ou seja, entre 19 h e 19h 10 min (Alternativa D).
Questão 31
A pérola a ser escolhida pelo joalheiro deve ter o diâmetro mais próximo posśıvel das outras pérolas da pulseira
original. Para isso, devemos calcular o módulo das diferenças entre os diâmetros das pérolas dispońıveis e o
diâmetro das pérolas originais, e escolher aquela que tiver o maior módulo.
Calculando o módulo das diferenças, temos:
� |4, 025− 4, 000| mm = 0,025 mm
� |4, 100− 4, 000| mm = 0,100 mm
� |3, 970− 4, 000| mm = 0,030 mm
� |4, 080− 4, 000| mm = 0,080 mm
� |3, 099− 4, 000| mm = 0,901 mm
A pérola que tem a menor diferença é aquela cujo diâmetro é 4,025 mm, com uma diferença de apenas 0,025
mm em relação às pérolas originais. Portanto, a resposta correta é a opção (C).
Questão 32
Devemos calcular a redução de pena para ambos os extremos, isto é, para a pena máxima e para a pena
mı́nima.
Portanto, a pena mı́nima para o crime previsto no artigo 33 da Lei de Drogas é de 5 anos, enquanto a pena
máxima é de 15 anos. Se o réu primário e com bons antecedentes criminais tiver sua pena reduzida, ela pode
variar da seguinte forma:
� Redução da pena mı́nima: um sexto de 5 anos é de 10 meses, enquanto dois terços de 5 anos é de 3 anos
e 4 meses. Portanto, a pena mı́nima após a redução será de 4 anos e 2 meses a 1 ano e 8 meses.
� Redução da pena máxima: um sexto de 15 anos é de 2 anos e 6 meses, enquanto dois terços de 15 anos
é de 10 anos. Portanto, a penamáxima após a redução será de 12 anos e 6 meses a 5 anos.
Assim, a resposta correta é a letra A: a pena poderá variar de 1 ano e 8 meses (melhor cenário) a 12
anos e 6 meses (pior cenário).
Questão 33
Podemos utilizar a fórmula que relaciona distância percorrida, velocidade média e tempo de percurso para
calcular as distâncias percorridas por cada equipe. Essa fórmula é:
d = v · t
Onde d é a distância percorrida, v é a velocidade média e t é o tempo de percurso. Usando essa fórmula,
temos:
� Equipe Alpha: dAlpha = 6, 0 · 1, 5 = 9 km
� Equipe Beta: dBeta = 5, 0 · 1, 5 = 7, 5 km
� Equipe Gama: dGama = 6, 5 · 1 = 6, 5 km
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Agora, podemos ordenar as distâncias percorridas pelas equipes:
dGama < dBeta < dAlpha
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Questão 34
Inicialmente, a taxa de LDL do paciente era de 280 mg/dL. Após o primeiro mês, houve uma redução de
25% nessa taxa, o que corresponde a uma nova taxa de LDL de:
280− 0, 25 · 280 = 210 mg/dL
Após o segundo mês, houve uma redução de mais 20% na taxa de LDL em relação ao resultado anterior, o
que corresponde a uma nova taxa de LDL de:
210− 0, 20 · 210 = 168 mg/dL
A nova taxa de LDL, portanto, é de 168 mg/dL. Segundo a classificação apresentada no enunciado, essa taxa
se enquadra na categoria “alta”, já que está entre 160 e 189 mg/dL.
Portanto, a resposta correta é a letra (d): alta.
Questão 35
Para comparar as intensidades das forças gravitacionais, precisamos comparar as expressões FA, FB , e FC ,
que são dadas por:
FA =
kmA
r2A
FB =
kmB
r2B
FC =
kmC
r2C
Observando o gráfico e as informações dadas, podemos notar que:
� O ponto C tem maior ordenada (raio) que o ponto A, o que significa que o raio da órbita de C é maior
que o raio da órbita de A.
� O ponto B tem maior abcissa (massa) que o ponto A, o que significa que a massa de B é maior que a
massa de A.
� O ponto C tem a mesma abcissa (massa) do ponto A.
Com essas informações, podemos comparar as intensidades das forças gravitacionais:
� Comparando FA e FC : Como mC = mA e rC > rA, temos que FC < FA. Portanto, as opções (C) e (D)
são eliminadas.
� Comparando FA e FB: Como mB > mA e rB = rA, temos que FB > FA. Portanto, a opção (A) é
eliminada.
� Comparando FB e FC : Como mB > mA = mC e rB = rA < rC , temos que FC < FB. Portanto, a
opção (B) é eliminada.
Resta apenas a opção (E), que afirma que FC < FA < FB. Essa opção é coerente com as informações do
gráfico e com as comparações realizadas.
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Questão 36
Para escrever o diâmetro interno do v́ırus influenza em notação cient́ıfica, primeiro precisamos escrevê-lo
como um número entre 1 e 10, multiplicado por uma potência de 10.
0,00011 pode ser reescrito como:
1, 1 · 10−4
Para chegar a esse resultado, movemos a v́ırgula quatro lugares para a direita e multiplicamos por uma
potência de 10 correspondente a esse deslocamento.
Portanto, a resposta correta é a alternativa (D).
Questão 37
Para resolver essa questão, precisamos converter as unidades de medida para que todas estejam na mesma
escala. Primeiro, vamos converter a capacidade do reservatório para litros.
45 cm3 = 0, 045 litros
Agora, precisamos descobrir quantos litros de água o reservatório tem atualmente, quando está cheio:
1 : 200 é a escala da maquete, o que significa que a maquete é 200 vezes menor que o condomı́nio real.
Portanto, a capacidade real do reservatório será o volume do reservatório da maquete multiplicado pelo cubo
dessa razão:
0, 045 litros · 2003 = 360000 litros
Sabendo que o consumo diário de água é de 30 000 litros, podemos calcular quantos dias o reservatório cheio
será suficiente para abastecer o condomı́nio:
360000 litros
30000 litros/dia
= 12 dias
Portanto, o reservatório cheio será suficiente para abastecer o condomı́nio por 12 dias (Alternativa C).
Questão 38
Três pés equivalem a 1 jarda que, por sua vez, equivale a 0,9144 metro. Então:
3 pés = 1 jarda = 0, 9144 metro = 91, 44 cent́ımetros
Assim, temos:
1 pé = 30, 48 cent́ımetros
Dado que cada polegada tem 2, 54 cent́ımetros:
1 pé =
30, 48 cm
2, 54 cm
= 12 polegadas
Logo, a resposta correta é a alternativa D.
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Questão 39
Para calcular a quantidade de medicamento que a criança deve receber diariamente, usamos a fórmula:
q = 500 ·m
onde q é a quantidade de medicamento em miligramas que a criança deve receber e m é a massa da criança
em quilogramas. Substituindo m = 20, temos:
q = 500 · 20 = 10000 mg
Agora, para calcular a quantidade total de medicamento que será necessária para o tratamento de 5 dias,
basta multiplicar essa quantidade diária por 5:
qtotal = 10000 · 5 = 50000 mg
Sabendo que 1 g desse medicamento ocupa 1 cm3, podemos converter a quantidade total de medicamento
para mililitros:
Vtotal = 50000 mg = 50 g = 50 cm3 = 50 mL
Portanto, os pais da criança devem comprar um frasco de 50 mL para a dosagem máxima do antibiótico
infantil pelo peŕıodo de 5 dias. A resposta correta é a letra B.
Questão 40
As passagens já vendidas pela empresa de ônibus estão representadas no desenho com os assentos mais
escuros. Contando-os na imagem, tem-se 16 assentos já ocupados, ou seja, 16 passagens já vendidas.
Uma vez que o número total de assentos dispońıveis no ônibus é 42, a razão entre o número de assentos já
vendidos e o total de assentos desse ônibus, no instante considerado na imagem, é
número de assentos vendidos
número total de assentos
=
16
42
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 41
Primeiro, vamos calcular quantos litros de água já estão no balde:
50% de 18 litros = 9 litros
Portanto, o balde já contém 9 litros de água e, para enche-lo completamente, precisamos adicionar mais 9
litros.
Agora, vamos calcular quantas gotas são necessárias para encher 9 litros de água:
1 litro = 1000 mL
9 litros = 9000 mL
Se cada gota contém 5 · 10−2 mL de água, então, o número de gotas necessárias para encher o balde é:
9000
5 · 10−2
=
9 · 103
5 · 10−2
= 1, 8 · 105 gotas.
Se a cada segundo, caem 5 gotas da torneira, então o tempo necessário em segundos é:
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1.8 · 105
5
= 3, 6 · 104 segundos.
Convertendo para horas:
3, 6 · 104
3600
= 10 horas.
Portanto, a resposta correta é a letra (B): 1 · 101 horas.
Questão 42
A densidade superficial do papel A4 é de 75 g/m2, o que significa que uma folha de papel A4 tem uma massa
de:
75 g/m2 · 0.062 m2 = 4, 65 g/folha
Um pé de eucalipto rende, em média, 20 mil folhas de papel A4, então a massa total dessas folhas é:
20 000 · 4, 65 g/folha = 93 000 g = 93 kg
Portanto, a resposta correta é a letra (E) 93 kg.
Questão 43
Para realizar a viagem, o motociclista precisa percorrer 500 km na ida (trajeto AB), 200 km no seu destino e
mais 500 km na volta (trajeto BA). É importante também observar que o posto Estrela (ponto E) se encontra
entre o ponto de partida e seu destino, distando 80 km do seu destino.
Uma vez que sua moto consome 5 litros de gasolina para cada 100 km rodados, a moto faz 20 km por litro.
Dado que ela se encontra com o tanque cheio no ińıcio do percurso com 22 litros de gasolina, logo consegue
percorrer
22 · 20 = 440 km.
Ou seja, consegue alcançar o posto estrela na viagem de ida e ainda tem autonomia de 440− 420 = 20 km.
Ao se deslocar do posto Estrela ao destino, percorrer os 200 km nesse destino e voltar para o posto Estrela
novamente, precisará percorrer:
80 + 200 + 80 = 360 km
Logo, precisará abastecer, no mı́nimo, combust́ıvel suficiente para percorrer 360− 20 = 340 km.
Dado que a moto faz 20 km por litro,
340
20
= 17 litros
Portanto, a quantidade mı́nima de combust́ıvel que o motociclista deve reabastecer no posto Estrela na
viagem de ida é de 17 litros (AlternativaC).
Questão 44
Para resolver esse problema, vamos seguir os seguintes passos:
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� Calcular a área total que será dividida em terrenos. Como o fazendeiro irá utilizar 0,9 hectare para as
ruas e calçadas, ele utilizará 3− 0, 9 = 2, 1 hectares para os terrenos. Como 1 hectare equivale a 10.000
m2, então 2,1 hectares equivalem a 21.000 m2.
� Calcular quantos terrenos serão criados. Como cada terreno terá área de 300 m2, serão criados 21.000
m2 / 300 m2 = 70 terrenos.
� Calcular o valor arrecadado com a venda dos 20 primeiros terrenos. Cada terreno terá o valor de R$
20.000,00, portanto, os 20 primeiros terrenos terão um valor total de R$ 20.000,00 · 20 = R$ 400.000,00.
� Calcular o valor arrecadado com a venda dos demais terrenos. Como sobraram 50 terrenos para serem
vendidos, e cada um será vendido por R$ 30.000,00, o valor arrecadado será de R$ 30.000,00 · 50 =
R$1.500.000,00.
� Somar o valor arrecadado com a venda dos 20 primeiros terrenos com o valor arrecadado com a venda
dos demais terrenos para obter o valor total arrecadado pelo fazendeiro.
Portanto, temos:
Valor total arrecadado = R$ 400.000,00 + R$ 1.500.000,00 = R$ 1.900.000,00.
Assim, a alternativa correta é a (C) 1 900 000.
Questão 45
Para encontrar o ano de fundação da cidade, precisamos converter o número romano MCDLXIX em um
número decimal. Sabe-se que:
� M = 1000
� CD = 400
� LX = 60
� IX = 9
Somando esses valores, temos:
1000 + 400 + 60 + 9 = 1469
Portanto, a cidade foi fundada em 1469.
Para determinar quantos anos de fundação a cidade comemorará em 2050, precisamos calcular a diferença
entre 2050 e 1469:
2050− 1469 = 581
Portanto, a cidade comemorará 581 anos de fundação em 2050.
A resposta correta é a alternativa (D) 581.
Questão 46
Calcularemos o valor total de cada opção e escolher a mais econômica:
� Suplemento I:
mineral A:
800
50
= 16 envelopes;
mineral B:
1000
100
= 10 envelopes;
mineral C:
1200
200
= 6 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 16 envelopes e, sendo assim, R$ 2,00 · 16 = R$ 32, 00
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� Suplemento II:
mineral A:
800
800
= 1 envelopes;
mineral B:
1000
250
= 4 envelopes;
mineral C:
1200
200
= 6 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 6 envelopes e, sendo assim, R$ 3,00 · 6 = R$ 18, 00
� Suplemento III:
mineral A:
800
250
= 3, 2 envelopes;
mineral B:
1000
1000
= 1 envelopes;
mineral C:
1200
300
= 4 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 4 envelopes e, sendo assim, R$ 5,00 · 4 = R$ 20, 00
� Suplemento IV:
mineral A:
800
600
= 1, 33 envelopes;
mineral B:
1000
500
= 2 envelopes;
mineral C:
1200
1000
= 1, 2 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 2 envelopes e, sendo assim, R$ 6,00 · 2 = R$ 12, 00
� Suplemento V:
mineral A:
800
400
= 2 envelopes;
mineral B:
1000
800
= 1, 25 envelopes;
mineral C:
1200
1200
= 1 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 2 envelopes e, sendo assim, R$ 8,00 · 2 = R$ 16, 00
Portanto, a opção mais econômica é comprar 2 sachês do Suplemento IV, que custa R$ 12,00 e fornece todas
as quantidades de minerais necessárias. A resposta correta é a alternativa D.
Questão 47
Para encontrar a escala utilizada para fazer a réplica do castelo, podemos comparar as medidas da réplica
com as medidas do castelo original. Vamos calcular a escala da largura da ponte:
Escala = medida da réplica
medida do original =
7
168
Como todas as medidas estão em cent́ımetros, não precisamos de uma unidade de medida.
Simplificando a fração 7
168 por 7, obtemos a escala igual a 1
24 .
Portanto, a escala utilizada para fazer a réplica do castelo é 1 : 24. A resposta correta é a letra (C).
Questão 48
Dado que o automóvel apresenta um desempenho médio de 16 km/L, podemos calcular qual o volume
necessário para fazer 20 km.
Aplicando uma regra de três simples:
16 → 1L
20 → xL
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multiplicando cruzado:
16x = 20
x =
20
16
x = 1, 25L
Logo, o automóvel tem um desempenho médio de 20 km a cada 1,25 L com o motor original.
Como o novo motor economiza, em relação ao motor anterior, 0,1 L de combust́ıvel a cada 20 km percorridos,
tem-se agora um desempenho de 20 km a cada 1, 25− 0, 1 = 1, 15 L.
Querendo saber quanto equivale a cada litro:
20 → 1, 15L
x → 1L
multiplicando:
1, 15x = 20
x =
20
1, 15
x ≈ 17, 4
Portanto, o valor do desempenho médio do automóvel com o novo motor expresso com uma casa decimal, é
de 17,4 km/L (Alternativa D).
Questão 49
Dado que a perda média de massa por hora de atividade f́ısica é de 1,5 kg, podemos representar isso como:
Perda de massa = 1, 5 kg/h
O médico recomendou que a pessoa ingerisse uma quantidade total de água correspondente a 40% a mais do
que a massa perdida na atividade f́ısica. Portanto, a quantidade de água recomendada é 1,4 vezes a massa
perdida:
Quantidade de água recomendada = 1, 4 · Perda de massa
Sabemos que a pessoa ingeriu um total de 1,7 L de água após terminar seus exerćıcios f́ısicos. Podemos
converter isso para kg, considerando que a massa de 1 L de água é de 1 kg:
1, 7L = 1, 7 kg
Substituindo na equação, temos:
1, 7 kg = 1, 4 · Perda de massa
Agora, podemos resolver para encontrar a Perda de massa:
Perda de massa =
1, 7 kg
1, 4
≈ 1, 21 kg
Agora que temos a Perda de massa, podemos encontrar o tempo necessário para perdê-la. Sabendo que a
perda média de massa por hora é de 1,5 kg, podemos usar uma regra de três:
1, 5 kg
1 h
=
1, 21 kg
xh
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Multiplicando cruzado, temos:
1, 5x = 1, 21
x ≈ 0, 81 h
Convertendo o tempo para minutos, temos:
0, 81 h · 60min/h ≈ 48, 6min
Olhando as opções fornecidas, podemos concluir que a resposta correta é: mais de 45 e menos de 55 minutos
(Alternativa C).
Questão 50
De acordo com os dados fornecidos, em janeiro de 2013 foram criadas 28.900 vagas de emprego. Isso representa
uma queda de 75% em comparação com o mesmo peŕıodo de 2012.
Podemos representar o número de vagas criadas em janeiro de 2012 como x. A queda de 75% pode ser
calculada multiplicando x por 0, 25 (ou 25%):
x · 0, 25 = 28.900
Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de x:
x =
28.900
0, 25
= 115.600
Portanto, o número de vagas criadas em janeiro de 2012 foi de 115.600 (Alternativa C).
Questão 51
Segundo as informações dadas, na planta da nova cozinha desenhada na escala de 1 : 50, o espaço destinado
ao refrigerador tinha 3,8 cm de altura e 1,6 cm de largura.
Sabe-se, também, que os fabricantes de refrigeradores indicam que é necessário deixar uma distância mı́nima
de 10 cm de outros móveis ou paredes tanto na parte superior quanto nas laterais do refrigerador.
Para determinar as medidas máximas do refrigerador em metros, podemos usar a seguinte relação:
Medida no desenho · Escala = Medida real
Vamos aplicar essa relação para determinar a altura máxima do refrigerador:
3, 8 cm · 50 = 190 cm = 1, 90m
A altura máxima do refrigerador na planta de medida real é de 1,90 m.
Agora, vamos aplicar a mesma relação para determinar a largura máxima do refrigerador:
1, 6 cm · 50 = 80 cm = 0, 80m
A largura máxima do refrigerador na planta de medida real é de 0,80 m.
Descontando, agora, 10 cm da parte superior e das laterais:
1, 90− 0, 10 = 1, 80 m
0, 80− 2 · 0, 10 = 0, 60 m
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Portanto, o refrigerador tem altura máxima de 1,80 m e largura máxima de 0,60 m (Alternativa A).
Questão 52
De acordo com as informações fornecidas, o d́ıgito verificador N5 de uma agência bancária é determinado da
seguinte forma:
S = 5 ·N1 + 4 ·N2 + 3 ·N3 + 2 ·N4
onde N1, N2, N3 e N4 são os quatro primeiros d́ıgitos do número da agência.
No caso da agência bancária com os quatro primeiros d́ıgitos 0100, temos:
S = 5 · 0+ 4 · 1 + 3 · 0 + 2 · 0 = 0 + 4 + 0 + 0 = 4
A seguir, encontramos o resto da divisão de S por 11, denotado por R. Dividindo 4 por 11, o quociente é zero
e o resto R é 4.
Por fim, o d́ıgito verificador N5 é a diferença entre 11 e R:
N5 = 11−R = 11− 4 = 7
Portanto, o d́ıgito verificador N5 da agência bancária é 7 (Alternativa C).
Questão 53
Sabemos que o recipiente do borrifador contém 360 mL de inseticida, que duram 60 dias se o borrifador for
acionado a cada 48 minutos e permanecer ligado ininterruptamente.
Primeiro, vamos calcular a quantidade de inseticida liberada por dia. Dividimos o volume total de inseticida
(360 mL) pelo número de dias (60):
360mL
60 dias
= 6mL/dia
Agora, vamos calcular a quantidade de inseticida liberada a cada acionamento do borrifador. Como o
borrifador é acionado a cada 48 minutos, podemos calcular quantos acionamentos ocorrem em um dia.
Dividimos o número de minutos em um dia (60 · 24 = 1440 minutos) pelo intervalo de tempo entre cada
acionamento:
1440min
48min/acionamento
= 30 acionamentos/dia
Em seguida, dividimos a quantidade de inseticida liberada por dia pelo número de acionamentos por dia:
6mL/dia
30 acionamentos/dia
= 0, 2mL/acionamento
Portanto, a quantidade de inseticida liberada a cada acionamento do borrifador é de 0,2 = 0,200 mL
(Alternativa B).
Questão 54
Vamos calcular a duração do ano no planeta Z, em relação aos seus dias.
Sabemos que 2 anos no planeta Z correspondem a 1 ano terrestre, que tem 365 dias. Assim sendo, 1 ano no
planeta Z corresponde a meio ano terrestre.
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Portanto, para encontrar quantos dos dias do planeta Z corresponde um dos seus anos, basta dividir a duração
do ano nesse planeta em dias terrestres pelo tempo de duração de um dia nesse planeta também em dias
terrestres:
0, 5 · 365
73
=
365
2 · 73
=
365
146
= 2, 5
Portanto, o ano no planeta Z corresponderia a 2,5 de seus dias (Alternativa A).
Questão 55
Bilhão é uma escala numérica que representa um número seguido de nove zeros (1 000 000 000). Portanto,
para representar R$ 1,35 bilhão, precisamos multiplicar 1,35 por 1 000 000 000 (ou 109). Assim,
1, 35 · 109 = 1 350 000 000, 00
Portanto, o número correto que representa R$1, 35 bilhão é 1 350 000 000, 00 (Alternativa E).
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COMBINATÓRIA
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMBINATÓRIA
Questão 1
A primeira escolha realizada foi o sorteio de 4 times estre os 12 inscritos para compor o Grupo A. Como tal
agrupamento desejado não diferencia de outro pela ordem dos seus elementos, mas pela natureza deles, então
o número de agrupamentos distintos de 4 times entre os 12 inscritos pode ser calculado por meio de uma
combinação simples.
Para a escolha dos 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, observa-se que a ordem dos times
dentro do mesmo grupo implica em um novo grupo. Se um time x, por exemplo, abrirá o torneio contra um
time y, é diferente ter x contra y ou y contra x, dado que um seria o time da casa e o outro visitante. Assim,
para o caso, os agrupamentos diferenciam-se pela ordem dos seus elementos e também pela sua natureza.
Logo, tem-se que usar um arranjo de 2 times entre os 4 inscritos.
Enfim, a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de uma
combinação e um arranjo, respectivamente (Alternativa A).
Questão 2
O número de sequências posśıveis que determinam qual trajeto João poderá fazer corresponde ao número de
anagramas da “palavra” BCDEF excluindo-se os anagramas simétricos. Isso se justifica, pois a letra A deve
começar a sequência e também terminar. Deste modo, não é preciso incluir esta letra na palavra. Como para
cada sequência diferente, tem-se um simétrico correspondente, logo basta dividir o número de anagramas
posśıveis por dois.
N◦ de anagramas: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Dividindo por dois, tem-se 120/2 = 60 sequências posśıveis.
Como ele gasta 1min30s para analisar cada sequência,
60 · 1min30s = 90min
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 3
Cada candidato receberá por sorteio um número composto por 5 algarismos distintos ı́mpares. O menor
número posśıvel é 13 579, por exemplo, e o maior, 97 531. Ao ordenar todos em ordem crescente, cada
número terá uma posição. Tal posição é a ordem de chamada do candidato para a entrevista.
É posśıvel calcular o número de números posśıveis neste formato usando permutação simples. Como tem-se 5
posições a preencher (algarismos do número) e 5 algarismos posśıveis, tem-se:
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Logo, cada um dos candidatos receberá um número diferente entre os 120 posśıveis.
Tendo 5 números ı́mpares posśıveis, dos 120 números, a quinta parte começará com 1, outra quinta parte
com 3, outra quinta parte com 5, e assim por diante. Logo,
� 24 números começarão com 1;
� 24 números começarão com 3;
� 24 números começarão com 5;
� 24 números começarão com 7;
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� 24 números começarão com 9.
Assim, o número 75 913 que se deseja saber a posição encontra-se entre o 24 + 24 + 24 + 1 = 73◦ colocado
e o 24 + 24 + 24 + 24 = 96◦ colocado. O número de posição 73◦, por exemplo, é 71 359 que é o menor
número começado com 7.
Aplicando a mesma ideia, dos 24 números que começam com 7, a quarta parte começa com 1, a quarta parte
começa com 3, etc. Assim, como o número 75 913 tem 5 na casa da unidade de milhar, a posição deste
número encontra-se entre 72 + 6 + 6 = 84◦ e 72 + 6 + 6 + 6 = 90◦. Logo, pode-se encontrar a posição de
cada um:
� 75 139 tem a posição 85◦;
� 75 193 tem a posição 86◦;
� 75 319 tem a posição 87◦;
� 75 391 tem a posição 88◦;
� 75 913 tem a posição 89◦;
� 75 931 tem a posição 90◦.
Logo, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é 89 (Alternativa E).
Questão 4
Cada escolha de um objeto (Oi) por um dos personagens (Pi) para esconder em um dos cômodos (C1)
pode ser visto como um trio (Oi, Pi, Ci) onde i é um ı́ndice que identifica o objeto. O trio (O1, P2, C3), por
exemplo, reprentaria o objeto 1 sendo escondido pelo personagem 2 no cômodo 3.
O número total de trios dispońıveis pode ser calculado através do Prinćıpio Fundamental da Contagem. Em
resumo, o prinćıpio diz que se alguma escolha pode ser feita de m maneiras diferentes e alguma escolha
subsequente pode ser feita de n maneiras diferentes, há m · n diferentes maneiras pelas quais essas escolhas
podem ser feitas sucessivamente. Esse prinćıpio pode, claro, ser estendido quando forem realizadas várias
escolhas sucessivas.
Assim, o número de trios diferentes é 5 · 6 · 9 = 270.
Como há 280 alunos, as respostas dadas no jogo devem ser sempre distintas das anteriores e um mesmo
aluno não pode ser sorteado mais de uma vez, certamente algum aluno acertará o trio e ganhará o jogo. Isso
acontece, pois há 280− 270 = 10 alunos a mais do que posśıveis respostas (Alternativa A).
Questão 5
Segundo o texto, há śımbolos distintos que identificam as cores azul, amarelo e vermelho além das cores preto
e branco. Ainda, a justaposição de dois desses śımbolos permite identificar cores secundárias. As posśıveis
justaposições entre cores primárias seriam:
� azul - amarelo
� azul - vermelho
� amarelo - vermelho
Logo, há 3 śımbolos envolvendo duas cores primárias.
Há a possibilidade de ter o verde (amarelo combinado com o azul), por exemplo, na tonalidade claro ou
escuro. Há também as mesmas opções para as outras cores formadas pelas justaposições. Assim, tem-se
mais 2 śımbolos posśıveis para cada dupla formada com as cores primárias. Como são 3 posśıveis duplas, há
3 · 2 = 6 posśıveis opções para claro ou escuro.
Pode-se, também, para cada cor primária ter a opçãode claro ou escuro. Logo, com 3 cores primárias, há
3 · 2 = 6 posśıveis opções para claro ou escuro. Assim, há 3 + 6 + 3 + 6 = 18 opções envolvendo as cores
primárias e suas tonalidades.
Tem-se, ainda, as opções branco e preto acrescentando mais 2 opções. Logo, o sistema proposto pode
representar 20 cores distintas (Alternativa C).
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Questão 6
Pode-se, primeiramente, calcular o número de senhas posśıveis usando apenas os algarismos de 0 a 9. Dado
que são 6 d́ıgitos de um total de 10 e que pode-se repetir o d́ıgito, o número de senhas pode ser calculado por
meio de uma aplicação direta do prinćıpio multiplicativo:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106
Com a possibilidade de criação da senha utilizando também letras maiúsculas e minúsculas, agora o número
de caracteres dispońıveis passa a ser 10 + 26 + 26 = 62. Logo, qualquer um dos 6 d́ıgitos posśıveis para
compor a senha deve ser escolhido entre os 62 dispońıveis. Assim,
62 · 62 · 62 · 62 · 62 · 62 = 626
Fazendo a razão para encontrar o coeficiente de melhora,
coeficente de melhora =
626
106
Portanto, a alternativa correta é o item A.
Questão 7
Imagine o artesão na execução da tarefa de produzir uma joia no formato descrito começando a escolha da
cor pelo vértice A. Como tem-se 3 cores dispońıveis, ele dispõe de 3 escolhas para tal.
Em seguida, ele quer escolher a cor do vértice C. Tal escolha é oportuna. Independente de qual cor usou no
vértice A, agora ele tem 3 escolhas para tal vértice.
Em seguida, ele escolhe a cor do vértice B. Tal escolha depende, obviamente, da escolha C. Se a cor para o
vértice é igual a cor do vértice A (Caso I), logo tem-se 2 escolhas para o vértice B e, consequentemente, 1
para D, considerando as simetrias.
Por outro lado, se a cor para o vértice C for diferente do vértice A (Caso II), tem-se definida a cor dos
vértices B e D que, necessariamente, são iguais.
Usando o prinćıpio multiplicativo para cada caso:
Caso I:
3 · 1 · 2 · 1 = 6
Caso II:
3 · 2 · 1 · 1 = 6
Logo, tem-se 6 + 6 = 12 opções (Alternativa B).
Questão 8
Se um lado do triângulo deve ter o lado com exatamente 6 palitos considerando 17 palitos no total, logo a
soma dos outros dois lados é 11. Outro fato para levar em conta é a desigualdade triangular: a soma de dois
lados quaisquer do triângulo deve ser maior que o terceiro lado para que ele exista.
Assim, tem-se as seguintes possibilidades:
� 6 + (1 + 10) −→ não existe.
� 6 + (2 + 9) −→ não existe.
� 6 + (3 + 8)
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� 6 + (4 + 7)
� 6 + (5 + 6)
Os demais seriam congruentes dois a dois a um já descrito.
Logo, são 3 triângulos (Alternativa A).
Questão 9
Inicialmente o cliente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Logo, pode escolher o filme de
ação entre os 8 filmes dispońıveis e o de comédia entre os 5. Assim sendo, usando o prinćıpio multiplicativo,
tem 8 · 5 maneiras para a escolha dos primeiros dois filmes.
Quando ele devolve os filmes, deve escolher um de ação entre os 7 restantes e um de comédia entre os 4.
Logo, com o mesmo racioćınio anterior, tem 7 · 4 maneiras para a escolha dos dois filmes seguintes.
Ele prossegue com as escolhas até que tenha assistido todos os filmes de comédia. Nesse instante, o número
de maneiras de escolhas diferentes até então é:
(8 · 5) · (7 · 4) · (6 · 3) · (5 · 2) · (4 · 1)
Em seguida, ele alugará um filme de ação e um de drama. Nesse momento, tem 3 filmes de ação inéditos
dispońıveis e 3 de drama. Assim, tem (3 · 3) escolhas para os primeiros dois filmes, (2 · 2) escolhas a seguir e
(1 · 1) para finalizar todos os filmes. Assim,
(8 · 5) · (7 · 4) · (6 · 3) · (5 · 2) · (4 · 1) · (3 · 3) · (2 · 2) · (1 · 1)
Agrupando de modo conveniente,
8! · 5! · 3!
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 10
Como a escola II tem 66 pontos contra 68 pontos da escola IV, precisa receber uma nota no quesito Bateria
pelo jurado B duas unidades maior do que a nota da escola IV. O empate entre as escolas II e IV garante a
vitória para a escola II, uma vez que ela tem maior soma de notas no quesito Enredo e Harmonia (20 > 19).
As demais escolas (com exceção da IV) podem receber qualquer nota que não ultrapassariam a escola II.
Tais notas para as escolas II e IV, respectivamente, dão a vitória para a escola II:
� 8 e 6;
� 9 e 6;
� 10 e 6;
� 9 e 7;
� 10 e 7;
� 10 e 8;
Para cada uma dessas 6 opções listadas, há 5 · 5 · 5 = 125 maneiras para escolher as notas das escolas I, III
e V. Logo, o número de configurações distintas a serem atribúıdas pelo jurado B pode ser calculado pelo
prinćıpio multiplicativo:
125 · 6 = 750
Portanto, a alternativa correta é o item C.
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Questão 11
Das 9 poltronas livres dispońıveis, 7 serão ocupadas pelos integrantes da famı́lia. Uma vez que a ordem de
ocupação importa (tem-se uma nova configuração a cada ordem), é preciso primeiramente calcular o número
de maneiras de escolher 7 poltronas em 9 dispońıveis e, em seguida, permutá-los entre esses lugares.
Para escolher 7 poltronas entre as 9 dispońıveis:(
9
7
)
=
9!
(9− 7)!7!
=
9!
2!7!
Para permutá-los: 7!
Assim, o número de formas distintas de se acomodar a famı́lia nesse voo é calculado por
9!
2!7!
· 7! = 9!
2!
(Alternativa A)
Questão 12
Usaremos para alcançar a solução o cálculo da probabilidade complementar. Ou seja, ao invés de contar
quantas são as partidas de exibição entre dois desses jogadores não sendo ambos canhotos, contaremos
quantas são as posśıveis partidas nessa configuração e diminuiremos do total.
Vamos calcular, primeiro, quantas são as posśıveis duplas sem restrição. Usaremos, para tal, a fórmula de
combinação simples, uma vez que a ordem da dupla na partida não importa.(
10
2
)
=
10!
(10− 2)! · 2!
=
10!
8! · 2!
Calculamos, agora, quantas são as partidas entre canhotos:(
4
2
)
=
4!
(4− 2)! · 2!
=
4!
2! · 2!
Por fim, subtráımos do total de partidas o número de partidas entre canhotos:
10!
8! · 2!
− 4!
2! · 2!
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 13
Para escolher a senha, a pessoa deve selecionar duas letras entre as 26 do alfabeto, e depois escolher dois
algarismos entre os 10 dispońıveis. Contudo, uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Assim,
pode-se imaginar que há 26 + 26 = 52 letras posśıveis para escolha (śımbolos diferentes) e 10 algarismos.
Também é importante observar que tanto as letras quanto os números podem ser repetidos.
Há 52 possibilidades para cada letra (26 letras maiúsculas e 26 letras minúsculas). Portanto, há 522 maneiras
de escolher as duas letras.
Para os algarismos, há 10 possibilidades para o primeiro, e 10 possibilidades para o segundo. Portanto, há
102 maneiras de escolher os dois algarismos.
Assim, o número total de senhas ordenadas posśıveis (dois números e duas letras, nessa ordem) é dado pelo
produto das duas possibilidades: 102 · 522.
Precisamos também considerar que a permutação das letras e números na senha nos dá uma nova senha. Logo,
se temos 4 śımbolos, com dois pares, possivelmente, repetidos, calculamos também o número de permutações
com repetição:
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P 2,2
4 =
4!
2! · 2!
Assim, o número total de senhas posśıveis para o cadastramento nesse site é dado por 102 · 522 · 4!
2! · 2!
(Alternativa E).
Questão 14
A questão é resolvida a partir do prinćıpio multiplicativo. Imagine que a filha comece do ćırculo A e, para
isso, dispõe inicialmente de três cores distintas. Logo, há 3 maneiras de se pintar esse ćırculo A.
O próximo passo seria pintar o ćırculo B. Como não pode usar a mesma cor que utilizou no ćırculo A, teria,
agora, 2 cores dispońıveis. Assim, há 2 maneiras de se pintar esse ćırculo B.
Seguindo,o próximo ćırculo é o C. Não é posśıvel pintá-lo com a cor usada em B, contudo, pode-se usar a
cor pintada em A. Logo, há 2 maneiras de se pintar esse ćırculo C.
Para o último ćırculo dispońıvel (ćırculo D), o número de cores dispońıveis vai depender da cor usada no
ćırculo C:
� se for diferente da cor usada em A, só resta uma opção (a mesma usada em B);
� se for igual a cor usada em A, tem-se duas cores dispońıveis.
Logo, precisamos dividir em casos.
▷ A cor em C é diferente da cor usada em A: Assim, usando o prinćıpio multiplicativo, tem-se que o número
de configurações distintas é:
3 · 2 · 1 · 1 = 6
▷ A cor em C é igual a cor usada em A: Nesse caso, o número de configurações distintas é:
3 · 2 · 1 · 2 = 12
Assim, a criança pode pintar de 6 + 12 = 18 maneiras diferentes (Alternativa C).
Questão 15
Para calcular o número de partidas que serão realizadas em um torneio com n jogadores, podemos utilizar a
fórmula n(n−1)
2 , que representa a combinação de pares posśıveis entre os jogadores. Cada par jogará uma
partida, e como cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores, teremos exatamente
n(n−1)
2 partidas no torneio.
Aplicando a fórmula para n = 8, temos:
8(8− 1)
2
=
8 · 7
2
= 28
Portanto, se a quantidade de jogadores for 8, serão realizadas 28 partidas no torneio (Alternativa E).
Questão 16
O problema exige que haja pelo menos um carrinho de cada cor, o que implica que teremos uma restrição na
pintura.
Podemos pensar na restrição de que devemos ter pelo menos um carrinho de cada cor como sendo que
já temos quatro carrinhos definidos, cada um com uma das quatro cores dispońıveis. Então, restam seis
carrinhos para serem pintados, sem a restrição de que cada cor deve aparecer pelo menos uma vez.
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Sejam x, y, z e w o número de carrinhos entre os 6 dispońıveis que serão pintados de amarelo, branco, laranja
e/ou verde, respectivamente. Logo,
x+ y + z + w = 6
Nosso problema agora é encontrar o número de soluções distintas para valores inteiros positivos para essa
equação. Observe que x, y, z e w somente podem assumir somente valores inteiros entre 0 e 6.
São exemplos de soluções:
� x = 1, y = 1, z = 2 e w = 2;
� x = 0, y = 2, z = 2 e w = 2;
� x = 3, y = 1, z = 2 e w = 0;
� x = 1, y = 4, z = 1 e w = 0.
Uma abordagem interessante para esse problema é encará-lo de outra maneira procurando saber o número
distinto de sequências de “◦” e sinais de “+”, por exemplo. Uma vez que temos que somar 6 com 4 parcelas,
tem-se 6 bolinhas e 3 sinais de +. Por exemplo,
� x = 1, y = 1, z = 2 e w = 2 equivale a sequência ◦+ ◦+ ◦ ◦+ ◦ ◦;
� x = 0, y = 2, z = 2 e w = 2 equivale a sequência + ◦ ◦+ ◦ ◦+ ◦ ◦;
� x = 3, y = 1, z = 2 e w = 0 equivale a sequência ◦ ◦ ◦+ ◦+ ◦ ◦+;
� x = 1, y = 4, z = 1 e w = 0 equivale a sequência ◦+ ◦ ◦ ◦ ◦+ ◦+.
Logo, o problema agora é o de determinar o número de anagramas desses 9 śımbolos onde 6 deles são iguais
entre si e outros 3 iguais entre si. Logo,
9!
6!3!
= C9,6 = C9,3
Assim, a alternativa correta é o item B.
Questão 17
Para calcular o número de senhas distintas posśıveis em cada opção de formato, podemos usar a seguinte
fórmula:
Número de senhas distintas = (número de possibilidades para o primeiro caractere) · (número de possibilidades
para o segundo caractere) · ... · (número de possibilidades para o último caractere)
Assim, temos:
� Opção 1: LDDDDD Número de possibilidades para a primeira letra: 26 Número de possibilidades para
cada d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis: 26 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 105 = 2,6 milhões
� Opção 2: DDDDDD Número de possibilidades para cada d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 = 1 milhão
� Opção 3: LLDDDD Número de possibilidades para cada letra: 26 Número de possibilidades para cada
d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis: 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 676 · 104 = 6,76 milhões
� Opção 4: DDDDD Número de possibilidades para cada d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 = 0,1 milhão
� Opção 5: LLLDD Número de possibilidades para cada letra: 26 Número de possibilidades para cada
d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis: 26 · 26 · 26 · 10 · 10 = 17 576 · 102 = 1,7576 milhões
A opção que mais se adequa aos critérios da empresa é aquela que tem o número de senhas distintas posśıveis
maior ou igual a 1 milhão e menor ou igual a 2 milhões. Das opções apresentadas, a única que atende a esses
critérios é a opção 5, LLLDD, com 1,7576 milhões de senhas distintas posśıveis (Alternativa E).
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Questão 18
Para resolver esta questão, podemos utilizar o prinćıpio multiplicativo, começando pela região que tem mais
adjacências.
� Como são quatro cores dispońıveis (verde, amarelo, azul e branco), existem 4 possibilidades para a
escolha da cor para a região I;
� A região II não pode ter a mesma cor da região I. Logo, há 3 possibilidades de escolha;
� A região III não pode ter a mesma cor da região II. Contudo, pode ter a mesma cor da região I. Logo,
há também 3 possibilidades de escolha;
� A região IV não pode ter a mesma cor da região III. Contudo, pode ter a mesma cor da região I ou II.
Logo, há também 3 possibilidades de escolha;
� A região V não pode ter a mesma cor da região I. Logo, há também 3 possibilidades de escolha;;
� A região VI não pode ter a mesma cor da região I. Logo, há 3 possibilidades de escolha.
Multiplicando,
4 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 972
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 19
Para compor os dois estandes, precisamos escolher dois carros compactos dentre os quatro dispońıveis e duas
caminhonetes dentre as seis dispońıveis.
Podemos escolher os dois carros compactos de C2
4 = 6 maneiras diferentes. Em seguida, escolhemos as duas
caminhonetes de C2
6 = 15 maneiras diferentes. Como a ordem em que escolhemos os carros compactos e as
caminhonetes não importa, devemos multiplicar esses resultados pelo número de maneiras de arranjar dois
objetos em dois espaços diferentes, o que é 2 · 2 = 4.
Portanto, o número de maneiras diferentes de compor os estandes é C2
4 · C2
6 · 2 · 2 = 6 · 15 · 4 = 360.
Assim, a alternativa correta é o item C.
Questão 20
O torneio é disputado em sistema de eliminatória simples, ou seja, cada partida resulta na eliminação de um
dos competidores e a promoção do outro para a fase seguinte. Na primeira fase, temos 128 competidores,
ou seja, 64 partidas são disputadas, eliminando 64 competidores e promovendo 64 para a próxima fase. Na
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segunda fase, temos 64 competidores, ou seja, 32 partidas são disputadas, eliminando 32 competidores e
promovendo 32 para a próxima fase.
Esse processo continua até a final, que é disputada por dois competidores. Na fase anterior à final, teremos
apenas 2 competidores. Portanto, o número total de partidas necessárias para definir o campeão do torneio é
dado por:
64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 21
Ignorando a restrição do enunciado, o número de configurações posśıveis para formar 4 duplas entre os 8
jogadores é: (
8
2
)
·
(
6
2
)
·
(
4
2
)
·
(
2
2
)
4!
=
2520
24
= 105
A divisão por 4! se justifica, pois, como não há ordem entre as duplas (primeira dupla, segunda dupla, etc.),
deve-se dividir pelo número de maneiras de permutá-las.
No entanto, deve-se excluir desse total o número de configurações onde os dois canhotos formam uma dupla.
Para tal, exclúımos os dois canhotos da contagem e calculamos o número de maneiras de formar 3 duplas
com os 6 jogadores restantes. Usando o mesmo racioćınio:(
6
2
)
·
(
4
2
)
·
(
2
2
)
3!
=
90
6
= 15
Logo,o número de maneiras de escolher as quatro duplas com a restrição do enunciado é calculado por:
105− 15 = 90 (Alternativa C)
Questão 22
O problema pode ser resolvido utilizando a fórmula de combinação. Primeiramente, escolhemos 4 vagões
dentre os 12 vagões dispońıveis para serem pintados de vermelho, depois 3 vagões dentre os 8 vagões restantes
para serem pintados de azul, 3 vagões dentre os 5 vagões restantes para serem pintados de verde e 2 vagões
dentre os 2 vagões restantes para serem pintados de amarelo.
Como a ordem em que os vagões são escolhidos não importa, utilizamos a fórmula de combinação para cada
grupo de vagões:
C4
12 · C3
8 · C3
5 · C2
2 (Alternativa E)
Questão 23
A tarefa da questão é contar quantos são os algarismos 2 que aparecem nos números de 100 a 399. O número
102, por exemplo, contém um algarismo 2, enquanto que o número 232 contém dois algarismos dois.
Contaremos separadamente as aparições nas unidades, dezenas e centenas.
� centenas:
Nas centenas, o algarismo 2 aparecerá nos números de 200 a 299. Assim, aparecerá 299− 200 + 1 = 100
vezes.
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� dezenas:
Nas dezenas, o algarismo 2 aparecerá nos números de 120 a 129, 220 a 229 e 320 a 329. Assim, aparecerá
3 · (129− 120 + 1) = 30 vezes.
� unidades:
Nas unidades, o algarismo 2 aparecerá uma vez a cada dez unidades. De 100 a 109 tem o 102, de 110 a
119 tem o 112, e assim por diante. Uma vez que de 100 a 399 tem-se (399− 100 + 1) = 300 números,
teremos 300/10 = 30 dezenas. Logo, o algarismo 2 aparece nas unidades 30 vezes.
Assim, a quantidade mı́nima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de
todos os quartos é
100 + 30 + 30 = 160
Portanto, a alternativa correta é o item A.
Questão 24
Vamos dividir a solução em três passos:
1. calculamos o número de maneiras distintas de sair da casa de André (A) e chegar a casa de Bernardo
(B) sem a restrição de não passar pela casa de Carlos (C);
2. calculamos o número de maneiras distintas de sair da casa de André (A) e chegar a casa de Bernardo
(B) passando pela casa de Carlos (C);
3. subtráımos as duas quantidades.
Passo 1:
Para sair de A e chegar a B, necessariamente, temos que fazer 4 deslocamentos para a direita e 3 para
cima. Assim sendo, o que difere um caminho de outro é a ordem desses deslocamentos. Vejamos alguns
deslocamentos posśıveis:
→→→→↑↑↑
→↑→→→↑↑
↑→→→↑→↑
Observe, então, que o número de diferentes caminhos para sair de A e chegar a B equivale ao número de
maneiras diferentes de permutarmos essas setas.
Uma vez que queremos determinar o lugar das 3 setas para cima (ou das 4 para frente) entre os 7 śımbolos
dispońıveis, tem-se: (
7
3
)
=
(
7
4
)
=
7!
4!3!
= 35
Logo, há 35 maneiras distintas de sair do ponto A e alcançar o ponto B sem a restrição de não passar pelo
ponto C.
Passo 2:
Para atingir o ponto B, a partir do ponto A, passando pelo ponto C, podemos dividir esse trajeto em duas
partes. Calcular o número de maneiras de atingir o ponto C a partir do ponto A e depois calcular o número
de maneiras de atingir o ponto B, a partir do ponto C.
� Trajeto AC:
Para sair de A e chegar a C temos que fazer 2 deslocamentos para direita e 2 para cima. Assim sendo,(
4
2
)
=
4!
2!2!
= 6
Logo, há 6 maneiras distintas de sair do ponto A e alcançar o ponto C.
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� Trajeto CB:
Para sair de C e chegar a B temos que fazer 2 deslocamentos para direita e 1 para cima. Assim sendo,(
3
1
)
=
(
3
2
)
=
3!
2!1!
= 3
Logo, há 3 maneiras distintas de sair do ponto C e alcançar o ponto B.
Portando, o número de maneiras de atingir o ponto B, a partir do ponto A, passando pelo ponto C, é dado
pelo produto
6 · 3 = 18
Passo 3:
Subtráımos o número de maneiras de atingir o ponto B, a partir do ponto A, passando pelo ponto C, do
número de maneiras distintas de sair da casa de André (A) e chegar a casa de Bernardo (B) sem a restrição
de não passar pela casa de Carlos (C).
35− 18 = 17
Finalmente, a alternativa correta é o item C.
Questão 25
A frase “I AM POTTER” tem 9 letras, das quais 4 são vogais e 5 são consoantes. Observe que contamos
aqui os dois T’s como letras diferentes.
Para que as vogais e consoantes apareçam sempre intercaladas é necessário que o anagrama resultante comece
com uma consoante e termine também com uma consoante. Ou seja, entre as 5 consoantes da frase, os 4
espaços entre elas serão preenchidas com vogais.
consoante, vogal, consoante, vogal, consoante, vogal, consoante, vogal, consoante
Assim sendo, as consoantes podem ser escolhidas de 5! maneiras distintas e as vogais de 4! maneiras. Pelo
prinćıpio multiplicativo, fazemos o produto essas duas quantidades obtendo 5! · 4!.
No entanto, como temos duas letras iguais não teremos um novo anagrama trocando-as de lugar dentro de
cada anagrama. Assim, dividimos por 2:
5! · 4!
2
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 26
Podemos resolver essa questão utilizando o prinćıpio multiplicativo da contagem. Para produzir uma fantasia,
é necessário escolher um tipo de tecido e um conjunto de pedras ornamentais. Como existem 6 tecidos
diferentes e 15 pedras ornamentais distintas, temos:
�
(
6
2
)
escolhas para os tipos de tecido;
�
(
15
5
)
escolhas para as pedras ornamentais (já que precisamos escolher 5 pedras dentre as 15 dispońıveis).
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Para cada uma dessas combinações, podemos escolher outro tipo de tecido e conjunto de pedras ornamentais
para produzir outra fantasia. Portanto, o número total de fantasias que podem ser produzidas é dado por:(
6
2
)
·
(
15
5
)
Podemos simplificar essa expressão utilizando a identidade
(
n
k
)
= n!
k!(n−k)! :
6!
4!2!
· 15!
5!10!
Portanto, a alternativa correta é a letra (A).
Questão 27
Segundo o enunciado,
Assim, somando 1001 e 1100 na base binária:
1 0 0 1
+ 1 1 0 0
1 0 1 0 1
Logo, o resultado da adição 9 + 12 nessa base é 10101 (Alternativa D).
Questão 28
A primeira linha só deve conter times gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude). Logo, como a soma dos
t́ıtulos desses clubes durante esses 30 anos é igual a 7, devemos escolher 5 dos 7 anos que esses clubes foram
campeões para serem representados na primeira linha. Portanto, há
(
7
5
)
maneiras de isso ser feito. Dado que
os clubes são escolhidos, há 5! maneiras para cada escolha para permutá-los na linha.
A segunda linha só deve conter times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense). Como a soma dos t́ıtulos
desses clubes é igual a 5, devemos escolher 5 dos 5 anos que esses clubes foram campeões para serem
representados na segunda linha. Assim, há
(
5
5
)
maneiras de isso ser feito e, do mesmo modo, há 5! maneiras
para cada escolha para permutá-los na linha.
Seguindo a mesma ideia,
� para a terceira linha há
(
7
5
)
· 5! maneiras;
� para a quarta linha há
(
9
5
)
· 5! maneiras.
As outras 10 posições da quinta e sexta linha podem ter clubes alocados de qualquer maneira. Logo, há 10!
maneiras de fazer essa alocação.
Aplicando o prinćıpio multiplicativo e simplificando:(
7
5
)
· 5! ·
(
5
5
)
· 5! ·
(
7
5
)
· 5! ·
(
9
5
)
· 5! · 10! = 7!
2!
· 5! · 7!
2!
· 9!
4!
· 10!
Logo, não há alternativa correta dentre as apresentadas. Essa questão foi anulada.
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Questão 29
Em cada um dos 9 andares, a escolha pode ser feita da seguinte forma:
� Escolha 1: escolher os dois apartamentos de final 1 e 2 (Por exemplo, Apt 11 e 12, 21 e 22, etc). Como
nesses ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã, a condição desejada é atendida;
� Escolha 2: escolher um apartamento de final 1 ou 2 e o outro entre aqueles que finalizam com 3, 4, 5 ou
6. Como nesses últimos apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã, a condição desejadade
pelo menos um também é atendida;
� Escolha 3: escolher os dois apartamentos entre aqueles que finalizam com 3, 4, 5 ou 6.
Vamos contar, agora, o número de maneiras para cada escolha dentro de um mesmo andar X:
� Escolha 1: X1 e X2: 1 opção.
� Escolha 2: X1 e X3, X1 e X4, X1 e X5, X1 e X6, X2 e X3, X2 e X4, X2 e X5, X2 e X6. Logo, 2 · 4 = 8
opções
� Escolha 3: X3 e X4, X3 e X5, X3 e X6, X4 e X5, X4 e X6, X5 e X6. 6 opções
Assim, os apartamentos podem ser comprados de 9 · (1 + 8 + 6) = 9 · 15 = 9 ·
(
6
2
)
= 9 · 6!
(6− 2)!2!
maneiras
(Alternativa B).
De outra forma, podemos observar que inicialmente podeŕıamos ter considerado quantas combinações de
duplas podeŕıamos formar com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6, onde a ordem não importa. Cada uma dessas
duplas representaria os dois posśıveis apartamentos para compra, aplicando esse racioćınio a cada andar.
Assim,
9 ·
(
6
2
)
= 9 · 6!
(6− 2)!2!
Questão 30
Existem 7 modelos de carros, 2 tipos de motores (1.0 e 1.6) e 3 opcionais posśıveis (central multimı́dia, rodas
de liga leve e bancos de couro). Os opcionais podem ser escolhidos de forma independente para cada modelo.
Em relação aos modelos de carros e aos tipos de motores, tem-se 7 · 2 = 14 opções dispońıveis.
Em relação aos opcionais, tem-se 23 = 8 opções dispońıveis:
� sem opcional;
� somente central multimı́dia;
� somente rodas de liga leve;
� somente bancos de couro;
� central multimı́dia e rodas de liga leve;
� central multimı́dia e bancos de couro;
� rodas de liga leve e bancos de couro;
� central multimı́dia, rodas de liga leve e bancos de couro.
Seja n o número de cores dispońıveis. Pelo prinćıpio multiplicativo:
14 · 8 · n ≥ 1000
ou
112n ≥ 1000
Assim, para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mı́nima de cores que a montadora deverá disponibilizar a
seus clientes é n ≥ 1000
112
≈ 8, 92, ou seja, 9 cores (Alternativa B).
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Conversão de unidades e
notação científica
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
CONVERSÃO DE UNIDADES E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Questão 1
Deve-se recordar, primeiramente, que 1 dm3 = 1 litro ou que 1 m3 = 1000 litros. É preciso também lembrar
como converter unidades de volume para os múltiplos e submúltiplos do m3. Basicamente, ao subir um
degrau na unidade, divide-se por 103. Se descermos um degrau, multiplica-se por 103. Veja o esquema:
Fazendo a conversão, 1 km3 equivale a (103)3 = 109 m3. Desta forma, pode-se fazer a comparação trazendo
as medidas para a mesma unidade. Para o aqúıfero,
30.000 km3 = 109 · 30.000 m3 = 109 · (3 · 104) m3 = 3 · 1013 m3.
Para o novo reservatório da SABESP,
20 milhões de litros = 20 · 106 litros = 20 · 106 dm3.
Convertendo para m3,
20 · 106 dm3 =
20 · 106
103
m3 = 20 · 103 m3 = 2 · 104 m3.
Fazendo a razão entre as capacidades do aqúıfero Guarani e desse novo reservatório da SABESP,
3 · 1013
2 · 104
= 1, 5 · 109
Logo, a capacidade do aqúıfero Guarani é 1, 5× 109 vezes a capacidade do reservatório novo (Alternativa E).
Questão 2
Um metro tem 100 cm e cada cm, 10 mm. Logo, 1 m = 1000 mm. Assim,
a = 2300 mm =
2300
1000
m = 2, 3 m
Para b:
b = 160 cm =
160
100
m = 1, 6 m
Logo, ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, 2,3 e 1,6 (Alternativa B).
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Questão 3
Vide enunciado, cada metro equivale a 3,3 pés. Assim, 6 000 m = 6000 · 3, 3 pés = 19 800 pés.
Fazendo a diferença,
31 000− 19 800 = 11 200 pés
Logo, a diferença entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias
após o ińıcio do caos foi de 11 200 pés (alternativa C).
Questão 4
Segundo a figura, a proximidade do asteróide em relação à Terra é de 325 mil km, ou seja, (325× 1000) km.
Expressando em notação cient́ıfica, 325× 1000 = 3, 25× 102 × 103 = 3, 25× 105 km.
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 5
Segundo o enunciado, uma onça fluida equivale a 2,95 centilitros (cL) que, por sua vez, vale 10 mL. Assim,
uma lata de refrigerante de 355 mL tem 355/10 = 35, 5 cL e 35, 5/2, 95 ≈ 12, 03 onças fluida (fl oz).
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 6
Um hectare equivale a 1 hectômetro quadrado. Logo, 8 hectares correspondem a 8 hectômetros quadrados.
Por outro lado, 1 hectômetro quadrado equivale a 1 · 102 · 102 = 104 metros quadrado. O esquema ajudará a
convencer dessa conversão.
Assim, 8 hectômetros quadrados têm 8 · 102 · 102 = 8 · 104 = 80 000 m2 (Alternativa E).
Questão 7
Uma tonelada corresponde a 1000 kg. Assim sendo, 4, 129 milhões de toneladas equivalem a 4, 129 · 1000
milhões de toneladas ou 4, 129 · 103 · 106 = 4, 129 · 109 de toneladas. Observe que foi usado aqui que 1 milhão
equivale a 106.
Logo, a quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de 4, 129 · 109
(Alternativa C).
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Questão 8
Sabemos que a miniatura do carro de Fórmula 1 tem 100 micrômetros de comprimento, ou seja, 100
milionésimos de metro.
Podemos representar isso em notação cient́ıfica da seguinte forma:
100 micrômetros = 100 · 10−6 metros
Agora, basta simplificar essa expressão e escrevê-la em notação cient́ıfica:
100 · 10−6 metros = 102 · 10−6 metros = 10−4 = 1, 0 · 10−4 metros
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
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Estatísticas, gráficos e
tabelas
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ESTATÍSTICA, GRÁFICOS E TABELAS
Questão 1
O gráfico traz a razão entre o número total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de
véıculos. É posśıvel observar, por exemplo, em abril de 2001, que 400 passageiros foram transportados para
cada véıculo neste peŕıodo.
O texto também apresenta que em abril de 2001 o total de passageiros era de 321,9 milhões. Logo, se a frota
nesse ano tinha n véıculos, tem-se que
321, 9 milhões
n
= 400
ou
321, 9 milhões
400
= n (1)
Por outro lado, para o peŕıodo de outubro de 2008 a informação é que a frota tinha o mesmo tamanho.
Ainda, do gráfico tem-se que a razão entre o número de passageiros e o tamanho da frota é de 441. Logo:
n° de passageiros transportados em outubro de 2008
441
= n (2)
Igualando as equações (1) e (2) e chamando o n° de passageiros transportados em outubro de 2008 de x:
x
441
=
321, 9 milhões
400
=⇒ x =
441 · 321, 9 milhões
400
= 1, 1025 · 321, 9 milhões ≈ 355 milhões
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 2
Do gráfico, é clara a relação entre o número de cigarros consumidos diariamente e o número de casos de
câncer de pulmão. Isso pode ser conclúıdo observando que o aumento do número de cigarros consumidos
implica em um aumento do número de casos de câncer de pulmão.
Por outro lado, não há proporcionalidade. Se fosse o caso, para cada número x de cigarros consumidos
diariamente haveria um número y de casos de câncer pulmonar de modo que y = kx, onde k é um número
real, chamado constante de proporcionalidade. Pode-se observar que esta relação não se verifica, pois para o
mesmo x (por exemplo x = 2, 3, 4, . . . , 10), temos o mesmo y em vários trechos do gráfico.
Ainda, não há como inferir que uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer
de pulmão a partir do gráfico. Assim sendo, a única informação correta a tirar do gráfico é que o consumo
diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem
proporcionalidade (Alternativa E).
Questão 3
Em 05/09 (maio de 2009), o gráfico mostra que a população economicamente ativa era de 23.020 · 103 pessoas.
Considerando a taxa de crescimento de 4%, deve-se calcular um acréscimo de 4% sobre esta