Deformação Elástica em Elementos

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Elementos solicitados com cargas axiais
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
CENTRO DE TECNOLOGIA
Prof.(a): Yngrid Rayane Freitas do Nascimento
CIV0411 - Resistência dos Materiais I
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Princípio de Saint-Venant
• A deformação localizada que ocorre nas regiões próximas ao ponto de aplicação tende 
a diminuir conforme as medições são feitas cada vez mais distante das extremidades.
• Admite-se que à uma distância (mínima) igual a maior dimensão da seção transversal 
carregada, esses efeitos podem ser desprezados.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Princípio de Saint-Venant
A tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes 
da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por 
quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente 
equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
• A área de seção transversal varia 
gradativamente ao longo de seu 
comprimento L. 
• A barra está sujeita a cargas concentradas 
em suas extremidades e a uma carga 
externa variável distribuída ao longo de seu 
comprimento.
Área da seção: A(x)
Diagrama de corpo livre do elemento 
de comprimento dx
Tensão e deformação no elemento:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Área da seção: A(x)
Relembrando: A relação matemática 
entre tensão e deformação depende do tipo de 
material do qual o corpo é feito. 
Se o material se comportar de maneira linear 
elástica, a lei de Hooke será aplicável e 
haverá uma relação proporcional entre tensão 
e deformação.
Onde:
𝛿: deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto;
L: distância original entre os pontos;
P(x): força axial interna na seção, localizada a distância x de uma 
extremidade;
A(x): área da seção transversal da barra, expressa em função de x;
E: módulo de elasticidade para o material
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Carga e área de seção transversal constantes.
Atenção! Se a carga axial, a área da 
seção transversal ou o material da 
seção variar de um trecho para o 
outro, a equação acima poderá ser 
aplicada a cada segmento da barra 
onde todas essas quantidades são 
constantes.
Convenção de sinais
TRAÇÃO
COMPRESSÃO
Alongamentos são considerados positivos 
Encurtamentos são considerados negativos 
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Exemplo 1: A barra de aço A-36 mostrada na Figura é composta por dois segmentos, AB e BD, 
com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 = 600 𝑚𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 = 1.200 𝑚𝑚2 , respectivamente. 
Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. 
Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 210 GPa.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Exemplo 1: A barra de aço A-36 mostrada na Figura é composta por dois segmentos, AB e BD, 
com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 = 600 𝑚𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 = 1.200 𝑚𝑚2 , respectivamente. 
Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. 
Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 210 GPa.
Trecho AB:
𝛿𝐴𝐵 =
+75 𝑘𝑁 ∙ 1 ∙ 103(𝑚𝑚)
600 (𝑚𝑚2) ∙ 210 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= +0,595 𝑚𝑚
1 𝐺𝑃𝑎 = 103𝑀𝑃𝑎
1 𝑀𝑃𝑎 = 10−3 𝑘𝑁/𝑚𝑚2Trecho BC:
𝛿𝐵𝐶 =
+35 𝑘𝑁 ∙ 0,75 ∙ 103(𝑚𝑚)
1200 (𝑚𝑚2) ∙ 210 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= +0,104 𝑚𝑚
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Exemplo 1: A barra de aço A-36 mostrada na Figura é composta por dois segmentos, AB e BD, 
com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 = 600 𝑚𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 = 1.200 𝑚𝑚2 , respectivamente. 
Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. 
Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 210 GPa.
Trecho CD:
𝛿𝐴𝐵 =
+75 𝑘𝑁 ∙ 1 ∙ 103(𝑚𝑚)
600 (𝑚𝑚2) ∙ 210 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= +0,595 𝑚𝑚
𝛿𝐵𝐶 =
+35 𝑘𝑁 ∙ 0,75 ∙ 103(𝑚𝑚)
1200 (𝑚𝑚2) ∙ 210 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= +0,104 𝑚𝑚
𝛿𝐶𝐷 =
−45 𝑘𝑁 ∙ 0,5 ∙ 103(𝑚𝑚)
1200 (𝑚𝑚2) ∙ 210 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= −0,089 𝑚𝑚
𝛿𝐴𝐷 = +0,595 𝑚𝑚 + 0,104 𝑚𝑚 − 0,089 𝑚𝑚 = 0,61 𝑚𝑚
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Exemplo 2: Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na Figura. AC é 
feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90 kN for aplicada nesse 
ponto. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa, 𝐸𝑎𝑙 = 70 GPa.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Exemplo 2: Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na Figura. AC é 
feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90 kN for aplicada nesse 
ponto. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa, 𝐸𝑎𝑙 = 70 GPa.
𝛿𝐴𝐶 =
−60 𝑘𝑁 ∙ 300(𝑚𝑚)
102𝜋 (𝑚𝑚2) ∙ 200 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= −0,286 𝑚𝑚
𝛿𝐵𝐷 =
−30 𝑘𝑁 ∙ 300(𝑚𝑚)
202𝜋 (𝑚𝑚2) ∙ 70 ( Τ𝑘𝑁 𝑚𝑚2)
= −0,102 𝑚𝑚
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
∑𝐹𝑦 = 0 ∴ 𝐹𝐴 = 𝑃 ∑𝐹𝑦 = 0 ∴ 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 − 𝑃 = 0
Estaticamente determinado Estaticamente indeterminado
Condição de 
compatibilidade ou 
condição cinemática.
𝛿𝐴𝐵 = 0
Condições de compatibilidade 
especificam as restrições ao 
deslocamento que ocorrem nos 
apoios ou em outros pontos de 
um elemento.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
∑𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 − 𝑃 = 0
Estaticamente indeterminado
𝛿𝐴𝐵 = 0
Alongamento
Encurtamento
Considerando que AE é constante:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Princípio da superposição
1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou o deslocamento a ser 
determinado.
2. A carga não deve provocar mudanças significativas na geometria ou configuração 
original do elemento
Comportamento Linear-Elástico
Simplificação do carregamento + Sobreposição dos efeitos
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Método de análise de força para elementos carregados axialmente
Estaticamente indeterminado
Liberação 
temporária de um 
dos vínculos
Se a carga P provocar um deslocamento 𝛿𝑃 para baixo em B, a reação 𝑭𝐵 deve provocar um 
deslocamento equivalente 𝛿𝐵 para cima na extremidade B, de modo que não ocorra nenhum 
deslocamento em B quando as duas cargas forem superpostas.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Método de análise de força para elementos carregados axialmente
Estaticamente indeterminado
Liberação 
temporária de um 
dos vínculos
Compatibilidade:
∴
Equilíbrio:
∴
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 3: O poste de alumínio mostrado na Figura é reforçado com um núcleo de latão. Se 
esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada na tampa 
rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere 𝐸𝑎𝑙 = 70 ∙
(103) MPa e 𝐸𝑙𝑎𝑡 = 105 ∙ (103) MPa.
D.C.L.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 3: O poste de alumínio mostrado na Figura é reforçado com um núcleo de latão. Se 
esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada na tampa 
rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere 𝐸𝑎𝑙 = 70 ∙
(103) MPa e 𝐸𝑙𝑎𝑡 = 105 ∙ (103) MPa.
A tampa rígida na parte superior do poste obriga que o 
deslocamento de ambos,alumínio e latão, seja o mesmo. 
Portanto,
∴
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 3: O poste de alumínio mostrado na Figura é reforçado com um núcleo de latão. Se 
esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada na tampa 
rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere 𝐸𝑎𝑙 = 70 ∙
(103) MPa e 𝐸𝑙𝑎𝑡 = 105 ∙ (103) MPa.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 4: As três barras de aço A-36 mostradas na Figura estão conectadas por pinos a um 
elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida em 
cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm², e a barra CD 
tem área de seção transversal de 15 mm².
D.C.L. do elemento rígido
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 4: As três barras de aço A-36 mostradas na Figura estão conectadas por pinos a um 
elemento rígido. Se a carga aplicada ao elemento for 15 kN, determine a força desenvolvida em 
cada barra. Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm², e a barra CD 
tem área de seção transversal de 15 mm².
D.C.L. do elemento rígido
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 5: A haste de aço A-36 mostrada na Figura tem diâmetro de 5 mm. Ela está presa à 
parede fixa em A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. 
Determine as reações em A e B’.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
Exemplo 5: A haste de aço A-36 mostrada na Figura tem diâmetro de 5 mm. Ela está presa à 
parede fixa em A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. 
Determine as reações em A e B’.
Compatibilidade:
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
em que 𝛼 é uma constante 
característica do material, chamada de 
coeficiente de dilatação térmica.
Com a deformação 𝑑𝑇 deve ser associada uma 
deformação específica 𝜖𝑇 = 𝛿𝑇/𝐿.
Não há tensão associada com a deformação 
específica 𝜖𝑇.
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Condição inicial:
∆𝑇°
𝜖𝑇 =
𝛿𝑇
𝐿
= 0
Variação de temperatura:
Liberação do vínculo em B para análise:
Compatibilidade de 
deformações
Aplica-se somente no caso de 
uma barra homogênea de 
seção transversal uniforme
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
− −
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
Exemplo 6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada 
quando a temperatura da barra for de -45° C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura estiver a 20 °C. Use os valores 𝐸 = 200 GPa e 𝛼 = 12 ×
10−6/°𝐶 para o aço.
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
Exemplo 6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada 
quando a temperatura da barra for de -45° C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura estiver a 20 °C. Use os valores 𝐸 = 200 GPa e 𝛼 = 12 ×
10−6/°𝐶 para o aço.
Deformação correspondente a ∆𝑻°𝑪
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
Exemplo 6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada 
quando a temperatura da barra for de -45° C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura estiver a 20 °C. Use os valores 𝐸 = 200 GPa e 𝛼 = 12 ×
10−6/°𝐶 para o aço.
Deformação correspondente a ∆𝑻°𝑪
Deformação correspondente a reação em B
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
Exemplo 6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada 
quando a temperatura da barra for de -45° C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura estiver a 20 °C. Use os valores 𝐸 = 200 GPa e 𝛼 = 12 ×
10−6/°𝐶 para o aço.
Compatibilidade de deformações
Tensões normais
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
Exemplo 6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada 
quando a temperatura da barra for de -45° C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura estiver a 20 °C. Use os valores 𝐸 = 200 GPa e 𝛼 = 12 ×
10−6/°𝐶 para o aço.
Deformação específica (trecho AC)
Deformação específica (trecho BC)
CIV 0411 – Resistência dos Materiais I
Problemas que envolvem mudanças de temperatura
Exemplo 6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada 
quando a temperatura da barra for de -45° C, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura estiver a 20 °C. Use os valores 𝐸 = 200 GPa e 𝛼 = 12 ×
10−6/°𝐶 para o aço.
Deformações por trecho:
Embora a soma 𝛿 = 𝛿𝐴𝐶 + 𝛿𝐶𝐵 das duas deformações 
seja zero, nenhuma das deformações é igual a zero.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 5 ed. Porto Alegre: AMGH, 
2011;
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2010.
Yngrid Rayane Freitas do Nascimento
yngrid.rayane.eng@gmail.com
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