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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aulas nº 03 e 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas.
Objetivos da Aula
� De�nir as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmica, exponencial e hiperbólicas;
� Enunciar as principais propriedades dessas funções e reconhecer os seus respectivos grá�cos.
1 Funções Trigonométricas
Dado um número real θ, considere o ângulo orientado, em sentido anti-horário a partir do semi-eixo
positivo do eixo das abscissas, cuja medida em radianos é θ, e P (x, y) a interseção do lado terminal deste
ângulo com o círculo unitário x2 + y2 = 1.
Figura 1: Círculo unitário x2 + y2 = 1.
De�nimos o cosseno de θ, denotado por cos θ, como sendo a abscissa do ponto P . Também de�nimos
o seno de θ, denotado por sen θ, como sendo a ordenada do ponto P . Isto é,
cos θ = x e sen θ = y.
Deste modo, �xados o eixo das abssissas como cos e o eixo das ordenadas como sen do círculo unitário
acima, temos o chamado círculo trigonométrico. A partir destas observações, de�niremos as funções
trigonométricas.
1
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De�nição 1 (Função Seno). A função seno é uma função f de R em R que associa a cada x ∈ R o número
real y = senx, isto é,
f : R → R
x 7→ f(x) = senx.
O domínio de f(x) = senx é R e o conjunto imagem é o intervalo [−1, 1]. Da forma como foi de�nida,
é possível notar que existe um padrão de repetição nos valores que a função assume, a cada certo intervalo.
O comprimento deste menor intervalo de repetição é denominado de período da função f e é igual a 2π.
O grá�co de f(x) = senx, denominado de senóide, pode ser visualizado a seguir.
Figura 2: Grá�co de f(x) = senx.
De�nição 2 (Função Cosseno). A função cosseno é uma função f de R em R que associa cada x ∈ R ao
número real y = cosx, isto é,
f : R → R
x 7→ f(x) = cosx.
De forma semelhante à função seno, o domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo
[−1, 1]. Como esta função também foi de�nida a partir do círculo unitário, é possível notar que existe um
padrão de repetição. Desse modo, essa função é periódica e de período igual a 2π.
O grá�co de f(x) = cosx, denominado de cossenóide, pode ser visualizado a seguir.
Figura 3: Grá�co de f(x) = cosx.
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante, apresentadas a seguir, serão de�nidas em termos
de seno e cosseno.
De�nição 3 (Função Tangente). Para todo número real x, tal que cosx 6= 0, de�nimos a função tangente
(denotada por tg x) pela regra
f(x) = tg x =
senx
cosx
.
O domínio da função tangente é o conjunto de todos os números reais x, para os quais cosx 6= 0.
Portanto, para todo x na forma π
2 + kπ, com k ∈ Z, a função tangente não é de�nida.
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Pode-se veri�car que a função tangente é periódica, mas de período igual a π. Seu grá�co pode ser
visto na �gura abaixo.
Figura 4: Grá�co de f(x) = tg x.
As funções secante, cossecante e cotangente são de�nidas, respectivamente, da seguinte forma:
secx =
1
cosx
, cossec x =
1
sen x
, cotg x =
cosx
sen x
Funções Trigonométricas Inversas
De�nição 4. A função inversa da cosseno é a função chamada arco-cosseno, denotada por arccos ou
cos−1, de�nida por:
y = arccos(x) ⇔ x = cos(y)
e 0 ≤ y ≤ π.
Figura 5: Grá�co da função y = arccosx.
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De�nição 5. A função inversa do seno é a função chamada arco-seno, denotada por arcsen ou sen−1,
de�nida por:
y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y)
e −π
2
≤ y ≤ π
2
.
Figura 6: Grá�co da função y = arcsenx.
De�nição 6. A função inversa do tangente é a função chamada arco-tangente, denotada por arctg ou
tg−1, de�nida por:
y = arctg(x) ⇔ x = tg(y)
e −π
2
< y <
π
2
.
Figura 7: Grá�co da função y = arctg x
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2 Funções Exponenciais e Logarítmicas
A Função Exponencial
Consideremos um número real a > 0 e a 6= 1. De�nimos a função exponencial como sendo a função
f : R→ R dada por
f(x) = ax.
O conjunto imagem da função exponencial é R∗+ e seu grá�co é dado por:
Figura 8: Função exponencial com base a > 1.
Figura 9: Função exponencial com base 0 < a < 1.
As principais propriedades da função exponencial, conhecidas como propriedades da potência, serão
muito úteis em nosso estudo. São elas:
(P1) ax+y = ax · ay;
(P2) ax−y =
ax
ay
;
(P3) ax·y = (ax)y;
(P4) a−x =
1
ax
;
(P5) a
m
n = n
√
am
(P6) Se x < y então ax < ay, para a > 1 e ax > ay, para 0 < a < 1
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Observando as propriedades, podemos destacar que a propriedade (P1) nos leva a entender que a função
exponencial "transforma somas em produtos", de fato:
f(x+ y) = ax+y = ax · ay = f(x) · f(y),
e a propriedade (P6) nos garante que a função exponencial é crescente para a > 1 e decrescente para
0 < a < 1, fato esse que pode ser observado nos grá�cos.
Observação 1. Tomando, por exemplo, a função exponencial f(x) = 2x, o que é o número 2x?. Se x for
um número inteiro positivo, o número 2x é o resultado da multiplicação da base por ela mesma x vezes,
por exemplo:
f(3) = 23 = 2 · 2 · 2 = 8.
Se x for um número inteiro negativo, utilizaremos a propriedade (P4) para determinar 2x, como por
exemplo:
f(−2) = 2−2 =
1
22
=
1
4
.
Agora, se x for um número racional, para obtermos 2x, tomamos a sua forma fracionária e utilizamos a
propriedade (P5), por exemplo:
f
(
2
3
)
= 2
2
3 =
3
√
22 =
3
√
4.
Mas e se x for um número irracional, por exemplo, x =
√
2, que número seria f(
√
2) = 2
√
2? Para isso,
devemos lembrar que
√
2 = 1, 4142135624..., dessa forma, utilizando a propriedade (P6), temos a seguinte
aproximação
1, 4 <
√
2 < 1, 5 ⇒ 21,4 < 2
√
2 < 21,5 ⇒ 2, 639015 < 2
√
2 < 2, 828427
1, 41 <
√
2 < 1, 42 ⇒ 21,41 < 2
√
2 < 21,42 ⇒ 2, 657371 < 2
√
2 < 2, 675855
1, 414 <
√
2 < 1, 415 ⇒ 21,414 < 2
√
2 < 21,415 ⇒ 2, 664749 < 2
√
2 < 2, 666597
...
...
...
Logo, 2
√
2 pode ser descrito como sendo o número maior que todos os
21,4, 21,41, 21,414, ...
e menor que todos os números
21,5, 21,42, 21,415, ...
Um Caso particular
Queremos determinar a solução do seguinte problema:
Qual é o valor de a para que a função exponencial f(x) = ax possua reta tangente com
inclinação igual a 1 no ponto (0,1)?
Em outras palavras, qual a função exponencial cuja equação da reta tangente em (0,1) é dada
por y = x+ 1?
Esse problema possui solução e a base dessa função exponencial é um número irracional, denotado por
e ≈ 2, 71828182.... Seu aparecimento de forma explícita se deu quando da resolução de um problema
de juros compostos com capitalização contínua, resolvido pelo matemático suíço Jakob Bernoulli e será
estudado na seção de limites.
Mas esse número tem grande importância no estudos de vários fenômenos naturais como o crescimento
populacional, decaimentos radioativos, dentre outros.
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Figura 10: Função f(x) = ex.
A Função Logarítmica
Note que pela propriedade (P6), a função exponencial é sempre crescente ou sempre decrescente,
dependendo do valor da base a. Logo, ela é injetora, pois para cada x < y, ou seja, x 6= y, temos,
para qualquer valor de a, que ax 6= ay. E se restringirmos o contradomínio ao conjunto R∗+, obtemos
a função f : R → R∗+ de�nida por f(x) = ax, que é bijetora. Desse modo, f possui inversa que é a
denominada função logarítmica, de�nida da seguinte forma:
f : R∗+ → R
x 7→ y = loga x
onde
y = loga x ⇔ x = ay
Como se trata de uma função inversa, a função logarítmica possui propriedades que "desfazem" o que
a função exponencial faz, por exemplo, ao passo que a função exponencial "transforma uma soma em
produto", a função logarítmica transforma um produto em soma (o logaritmo do produto é a soma dos
logaritmos). Veja a tabela a seguir:
Função Exponencial Função Logarítmica
ax+y = ax · ay loga(x · y) = loga x+ loga y
ax−y=
ax
ay
loga
(
x
y
)
= loga x− loga y
ax·y = (ax)y loga(x
y) = y loga x
O grá�co da função logarítmica pode ser obtido pela propriedade grá�ca da função inversa. Dessa forma,
Figura 11: Função logarítmica com base a > 1.
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Figura 12: Função logarítmica com base 0 < a < 1.
Observação 2. Quando a base do logaritmo é o número e, costuma-se denotar por ln x. Dessa forma,
f(x) = ln x = loge x.
Observação 3. Uma forma de de�nir a função logarítmica de x na base e é através do cálculo de uma
área da região localizada abaixo da função g(t) =
1
t
entre as retas t = 1 e t = x, como mostrado na �gura
abaixo:
Figura 13: f(x) = ln x.
Contudo, essa abordagem será discutida mais a frente no nosso curso.
3 Funções Hiperbólicas
Nesta seção, apresentaremos funções que são obtidas a partir da combinação das funções ex e e−x. Elas
são análogas, de muitas maneiras, às funções trigonométricas e relacionam-se com a hipérbole da mesma
forma que as trigonométricas relacionam-se com o círculo. Por essa razão, são chamadas de funções
hiperbólicas.
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� Função Seno Hiperbólico é a função f : R → R dada por f(x) = senh (x) =
ex − e−x
2
. O seu
grá�co é
Figura 14: Grá�co da função f(x) = senh x.
� Função Cosseno Hiperbólico é a função g : R→ R∗+, dada por g(x) = cosh(x) =
ex + e−x
2
, e seu
grá�co é:
Figura 15: Grá�co da função f(x) = cosh x.
A partir dessas duas funções podemos de�nir as outras que seguem abaixo.
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� Função Tangente Hiperbólica é a função f : R → (−1, 1) dada por f(x) = tgh (x) =
senh x
cosh x
=
ex − e−x
ex + e−x
, o seu grá�co é o seguinte:
Figura 16: Grá�co da função f(x) = tgh x.
� Função Secante Hiperbólica é a função g(x) =
1
cosh(x)
e cujo grá�co é:
Figura 17: Grá�co da função f(x) = sech x.
� Função Cossecante Hiperbólica é a função f(x) =
1
senh(x)
e cujo grá�co é:
Figura 18: Grá�co da função f(x) = cossech x.
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� Função Cotangente Hiperbólica é a função g(x) =
1
tgh(x)
=
cosh(x)
senh x
e cujo grá�co é:
Figura 19: Grá�co da função f(x) = cotgh x.
Vejamos alguns exemplos de cálculos simples.
Exemplo 1. Calcule o valor de:
(a) senh 0.
(b) cosh 0.
(c) tgh 1.
(d) senh (ln 2).
(e) sech 0.
(f) cotgh (ln 3).
(g) cossech (ln 2).
Solução:
(a) senh 0 =
e0 − e−0
2
=
0
2
= 0.
(b) cosh 0 =
e0 + e−0
2
=
2
2
= 1.
(c) tgh 1 =
senh 1
cosh 1
=
e1 − e−1
e1 + e−1
=
e− e−1
e+ e−1
=
e2 − 1
e2 + 1
.
(d) senh (ln 2) =
eln 2 − e− ln 2
2
=
2−
(
1
2
)
2
=
3
2
2
=
3
4
.
(e) sech 0 =
1
cosh 0
=
1
1
= 1
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(f) cotgh (ln 3) =
cosh ln 3
senh ln 3
=
eln 3 + e− ln 3
2
eln 3 − e− ln 3
2
=
eln 3 + e− ln 3
eln 3 − e− ln 3
=
3 +
1
3
3− 1
3
=
10
3
8
3
=
5
4
.
(g) cossech (ln 2) =
1
senh x
=
2
eln 2 − e− ln 2
=
2
2− 1
2
=
2
3
2
=
4
3
.
�
A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade como
a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse
decaimento representado por esse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para
descrever a forma de um �o dependurado entre duas hastes, como por exemplo o �o elétrico entre dois postes.
Em geral, esse �o assume a forma de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c+ a cosh
(
x
a
)
.
Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda
aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada
pela função
v =
√
gL
2π
tgh
(
2πd
L
)
,
onde g é a aceleração da gravidade.
A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas.
Proposição 1. Sejam x,∈ R. Então:
(i) senh (−x) = − senh x.
(ii) cosh(−x) = coshx.
(iii) cosh2 x− senh2 x = 1.
(iv) 1− tgh2 x = sech2 x.
(v) senh(x+ y) = senh x cosh y + senh y cosh x.
(vi) cosh(x+ y) = coshx cosh y + senh x senh y.
Demonstração:Provaremos os itens (iii) e (iv) e os outros �cam como exercício.
(iii) Note que
cosh2 x− senh2 x =
(
ex + e−x
2
)2
−
(
ex − e−x
2
)2
=
(
e2x + 2exe−x + e−2x
4
)
−
(
e2x − 2exe−x + e−2x
4
)
=
��e
2x + 2 +���e−2x −��e
2x + 2−�
��e−2x
4
=
4
4
= 1.
(iv) Observe que
1− tgh2x = 1− senh2 x
cosh2 x
=
cosh2 x− senh2 x
cosh2 x
=
1
cosh2 x
= sech2 x.
�
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Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.2, 1.5 e 1.6 e no Apêndice G do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 1.2, 1.5 e 1.6 os do Apêndice G do livro texto.
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